Классическое определение вероятности.

Теория вероятностей И

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Часть I.

Теория вероятностей

 

Учебное пособие для студентов

специальности 230401 Информационные системы (по отраслям)

среднего профессионального образования

 

РПК «Политехник»

Волгоград

УДК

 

Теория вероятностей и математическая статистика. Часть I. Теория вероятностей. Состав. Е.В.Морозова, С.В.Мягкова: Волгоград. гос. техн. ун. – Волгоград, 2011г.-с. 84

 

 

Учебное пособие ставит своей целью оказать помощь студентам специальности 230401-«Информационные системы (по отраслям)» в организации работы по овладению системой знаний, умений, навыков и компетенций в объеме действующей программы по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».

 

Рецензенты:

 

 

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета.

 

 

© Волгоградский

государственный

технический

университет, 2011

Введение

 

Учебное пособие составлено в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом среднего профессионального образования (ФГОС СПО) по специальности 230401 Информационные системы (по отраслям).

В процессе изучения дисциплины студенты должны усвоить основные понятия, утверждения и методы изложенные в программе.

Усиленный поток научной информации, математизация наук требует постоянного совершенствования подготовки специалистов с современным математическим образованием. Стране нужны специалисты нового типа, высокой квалификации, с широким кругозором, способные быстро осваивать новое в науке и технике.

Согласно федеральному государственному образовательному стандарту по специальности 230401-«Информационные системы (по отраслям)» программа дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» состоит из двух основных разделов, охватывающих вопросы теоретического и практического характера. К этим разделам относятся теория вероятностей и математическая статистика.

В соответствии с требованиями ФГОС СПО в области теории вероятностей и математической статистики студент должен:

уметь:

вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики;

использовать методы математической статистики;

знать:

основы теории вероятностей и математической статистики;

основные понятия теории графов.

В данном учебном пособии рассмотрен первый раздел дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» − теория вероятностей и математическая статистика.

Теория вероятностей - раздел математики, в котором изучаются случайные явления (события) и выявляются закономерности при массовом их повторении.

Пособие содержит большое число заданий различного уровня сложности, что позволяет подходить к обучению студентов дифференцированно, учитывать индивидуальный темп каждого студента овладения знаниями по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика».

 

 

КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ

Студент должен знать:

- основные понятия теории вероятностей;

- классическое определение вероятности;

-основные формулы теории вероятностей

Студент должен уметь:

- находить вероятность в простейших задачах;

- находить вероятность, используя классические определения вероятности;

- вычислять вероятность событий с использованием элементов комбинаторики.

Литература: [1] стр.370-414, [4] стр. 200-213, [5] стр.8-10, 18-33.

Примеры

Пример 1. В ящике 6 белых и 9 черных шаров. Наугад вынимают 1 шар. Найти вероятность того, что будут вынуты шары черного цвета

Решение: Пусть A - событие, состоящее в том, что вынутый черный шар.

=6+9=15 – число всех равновозможных исходов опыта.

=9 – число исходов благоприятствующих событию .

Воспользуемся формулой классической вероятности: ;

.

Пример 2. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет больше четырех очков?

Решение. При одном броске может выпасть 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Благоприятные, то есть влекущие появление рассматриваемого события, исходы 5 и 6. Поэтому n = 6, m = 2, p = 2/6 = 1/3.

 

Пример 3. Какова вероятность того, что взяв две карты из колоды, получим два туза?

Решение. Будем считать, что в колоде 32 карты. Взять две из них можно способами. Двух тузов можно взять способами. Поэтому .

Пример 4. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность того, что оба шара – белые?

Решение. Из 10 шаров вынули два шара, следовательно число всех случаев будет равно числу сочетаний из 10 элементов по два, то есть: . Число же случаев, благоприятствующих данному событию, определяется равенством

.

Итак, .

Пример 5. В ящике 15 деталей, среди которых 10 нестандартных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей две будут нестандартные.

Решение: Пусть Событие А – среди извлеченных 4 деталей 2 нестандартные.

– общее число четверок, которые можно сформировать из 15 деталей

– число четверок, благоприятствующих событию А.

По формуле

Пример 6: Какова вероятность угадать пароль из четырех цифр, если известно только, что все цифры пароля различны?

Решение. Событие А – пароль отгадан.

Количество благоприятствующих исходов m=1 (есть только один правильный набор цифр).

Общее число равновозможных исходов n= (так как для составления определенной комбинации цифр порядок выбора значение имеет, то по формуле размещений выбираем 4 цифры из 10)

, где

Значит,

 

Пример 7. Шифр сейфа состоит из русской буквы (их 33) и двух цифр. Чему равна вероятность с первого раза набрать правильный шифр?

Решение: Воспользуемся формулой классической вероятности: .

Число исходов, благоприятствующих появлению данного события равно . Число всевозможных исходов можно найти, воспользовавшись теоремой умножения в комбинаторике:

Здесь , размещение из по с повторениями. В данном случае , . Таким образом:

Искомая вероятность:

.

 

Пример 8. Девять различных книг расставлены наудачу на одной полке. Найдите вероятность того, что четыре определенные книги окажутся поставленными рядом.

Решение

Здесь число всех исходов есть перестановка из 9 элементов . Подсчитаем число исходов m, благоприятствующих данному событию. Представим, что четыре определенные книги связаны вместе, тогда эту связку можно расположить на полке способами (связка плюс остальные пять книг). Внутри связки четыре книги можно переставлять способами. При этом каждая комбинация внутри связки, может сочетаться с каждым из способов образования связки, то есть . Следовательно

.

Пример 9. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих, 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар: белый; черный; синий; красный; белый или черный; синий или красный; белый, черный или синий.

Решение.

Имеем ,

, , , .

Применив теорему сложения вероятностей, получим:

;

;

или

.

Пример 10. На отрезке [0; 1] случайным образом выбираются две точки a и b. Какова вероятность того, что длина отрезка [a; b] окажется меньше ½?

Решение. Обозначим координаты точек a и b через x, y. Каждому выбору точек a, b поставим в соответствие точку на плоскости с координатами (x, y). Множеством всех возможных исходов являются точки квадрата со стороной, равной 1. Множеством благоприятных исходов те точки квадрата, для которых

Считая все точки квадрата равновозможными, применим формулу

Упражнения.

1. Найдите среди следующих случайных событий достоверные и невозможные события:

А₁ – появление 10 очков при бросании игральной кости,

А₂ – появление 10 очков при бросании трех игральных костей,

А₃ – появление 20 очков при бросании трех игральных костей,

А₄ – наугад выбранное двузначное число не больше 100,

А₅ – появление двух гербов при бросании двух монет.

2. Являются ли несовместными события А₁ и А₂:

а) испытание – бросание монеты; события: А₁ – появление герба, А₂ – появление цифры;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – появление трех очков, А₂ – появление нечетного числа очков,

в) испытание – бросание двух монет; события: А₁ –появление герба на одной монете, А₂ – появление герба на другой монете?

3. Являются ли равновозможными события А₁ и А₂:

а) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – появление двух очков, А₂ – появление пяти очков;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А₁ – появление двух очков, А₂ – появление четного числа очков;

в) испытание – два выстрела по мишени; события: А₁ –промах при первом выстреле, А₂ – промах при втором выстреле?

4. Образуют ли полную группу события:

а) испытание – бросание монеты; события: А₁ – появление герба, А₂ – появление цифры;

б) испытание – два выстрела по мишени; события: А₁ – ни одного попадания, А₂ – одно попадание, А₃ – два попадания?

5. Найти сумму событий:

а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – появление одного очка, В – появление двух очков, С – появление трех очков;

в) испытание – приобретение лотерейных билетов; события: А – выигрыш 10 рублей; В – выигрыш 20 рублей; С – выигрыш 25 рублей.

6. Найти произведение событий:

а) испытание – два выстрела по мишени; события: А – попадание первым выстрелом, В – попадание вторым выстрелом;

б) испытание – бросание игральной кости; события: А – непоявление трех очков, В – непоявление пяти очков, С – появление нечетного числа очков.

Задачи

1. Из слова НАУГАД выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что это буква А? Какова вероятность того, что это гласная?

2. Бросают игральную кость. Какова вероятность выпадания номера 4? Какова вероятность выпадания номера большего 4?

3. Подлежат контролю 250 деталей, из которых 5 нестандартных. Какова вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется:

а) нестандартной;

б) стандартной?

4. На карточках написаны буквы О, К, Т. Карточки наудачу расставлены в ряд. Какова вероятность прочесть слово КОТ?

5. На каждой из шести одинаковых карточек написаны буквы Т, Р, С, О, А, М. Карточки перемешиваются и из них четыре выкладываются наудачу в ряд. Какова вероятность появления слова ТРОС?

6. Из пяти карточек с буквами А, Б, В, Г, Д наугад одна за другой выбираются три и располагаются в ряд в порядке появления. Какова вероятность того, что получится слово ДВА?

7. Абонент забыл две последние цифры телефона и, набирая номер наугад, помнил лишь, что они различные. Найти вероятность того, что выбраны нужные цифры.

Решить задачу, если забыты три последние цифры.

8. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что вынутые наугад два шара окажутся черными?

9. Подброшены медная и серебряная монеты. Какова вероятность того, что на обоих монетах появится ГЕРБ?

10. В ящике имеется 15 деталей, среди которых 10 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает три детали. Найти вероятность того, что извлеченные детали окажутся окрашенными.

11. В упаковке на складе 10 смывных бачков, среди них 4 с пластмассовыми поплавками. На удачу взяты 2 бачка. Найти вероятность того, что оба бачка с пластмассовыми поплавками.

12. Устройство состоит из пяти элементов, из которых два изношены. При включении устройства включаются случайным образом два элемента. Найти вероятность того, что включенными окажутся неизношенные элементы.

13. Для облицовки жилого дома завезена облицовочная плитка. В ящике находится 300 плиток. Брак продукции составляет 2 %. Найти вероятность того, что первые три взятые плитки не будут бракованными.

14. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.

15. На складе имеется 15 кинескопов, причем 10 из них изготовлены Львовским заводом. Найти вероятность того, что среди пяти взятых наудачу кинескопов окажутся три кинескопа Львовского завода.

16. В группе 12 студентов, среди которых 8 отличников. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов пять отличников.

17. Десять книг наудачу расставлены на полке. Найти вероятность того, что три определенные книги окажутся рядом.

18. Оля и Коля договорились встретить Новый год в компании из 10 человек. Они оба хотели сидеть за праздничным столом рядом. Найти вероятность исполнения их желания, если среди друзей принято места распределять по жеребьевке.

19. Среди 20 билетов 5 выигрышных. Найти вероятность того, что среди купленных билетов окажется:

а) все три выигрышные;

б) ни одного выигрышного;

в) 2 выигрышных;

г) 1 выигрышный.

20. На пятиместную скамейку случайным образом садятся 5 человек. Какова вероятность того, что 3 определенных лица окажутся рядом?

21. В команде из 12 спортсменов – 5 мастеров спорта. По жеребьевке из команды выбирают 3-х спортсменов. Какова вероятность того, что все выбранные являются мастерами спорта?

22. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7 билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 4 девушки?

23. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?

24. В партии из 60 изделий 5 бракованных. Из партии выбираются наугад 6 изделий. Определить вероятность того, что среди этих 6 изделий 2 окажутся бракованными.

25. В лотерее n билетов, из которых m выигрышных. Участник лотереи покупает k билетов. Определить вероятность того, что выиграет хотя бы один билет.

26. Имеется r шаров, которые случайным образом разбрасываются по n ящикам. В одном и том же ящике могут находиться несколько шаров и даже все шары. Найти вероятность того, что в первый ящик попадут ровно r₁ шаров, во второй r₂ шаров и т.д., в n-ый ящик r_n шаров.

27. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли 3 человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти вероятности следующих событий:

А={все пассажиры выйдут на четвертом этаже};

В = {все пассажиры выйдут одновременно на одном и том же этаже};

С={все пассажиры выйдут на разных этажах}.

28. Найти вероятность того, что дни рождения 12 человек придутся на разные месяцы года.

29. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние, не меньшее, чем l.

30. Точка брошена в круг радиуса R. Найдите вероятность того, что она попадет внутрь вписанного в этот круг квадрата.

31. Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что карточки с буквами вынимаются в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».

32. Пятитомное собрание сочинений расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что книги стоят слева направо в порядке нумерации томов (от 1 до 5)?

33. Среди 25 студентов, из которых 15 девушек, разыгрываются четыре билета, причем каждый может выиграть только один билет. Какова вероятность того, что среди обладателей билета окажутся: а) четыре девушки; б)четыре юноши; в) три юноши и одна девушка?

34. Из 20 сбербанков 10 расположены за чертой города. Для обследования случайным образом отобрано 5 сбербанков. Какова вероятность того, что среди отобранных банков окажется в черте города: а) 3 сбербанка; б) хотя бы один?

35. Из ящика, содержащего 5 пар обуви, из которых три пары мужской, а две пары женской обуви, перекладывают наудачу 2 пары обуви в другой ящик, содержащий одинаковое количество пар женской и мужской обуви. Какова вероятность того, что во втором ящике после этого окажется одинаковое количество пар мужской и женской обуви?

36. В магазине имеются 30 телевизоров, причем 20 из них импортных. Найти вероятность того, что среди 5 проданных в течение дня телевизоров окажется более 3 импортных телевизоров, предполагая, что вероятности покупки телевизоров разных марок одинаковы.

37. Наудачу взятый телефонный номер состоит из 5 цифр. Какова вероятность того, что в нем все цифры: а) различные; б) одинаковые; в) нечетные? Известно, что номер телефона не начинается с цифры ноль.

38. Для проведения соревнований 16 волейбольных команд разбиты по жребию на две подгруппы (по восемь команд в каждой). Найти вероятность того, что две наиболее сильные команды окажутся: а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.

39. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Зачет считается сданным, если студент ответит не менее чем на три из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на первый вопрос билета, студент обнаружил, что он его знает. Какова вероятность того, что студент: а) сдаст зачет; б) не сдаст зачет?

40. У сборщика имеются 10 деталей, мало отличающихся друг от друга, из них четыре – первого, по две – второго, третьего и четвертого видов. Какова вероятность того, что среди шести взятых одновременно деталей три окажутся первого вида, два – второго и одна – третьего?

41. Найти вероятность того, что из десяти книг, расположенных в случайном порядке, 3 определенные книги окажутся рядом.

42. В старинной игре в кости необходимо было для выигрыша получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. Найти вероятности: а) выпадения 11 очков; б) выигрыша.

43. На фирме работают 8 аудиторов, из которых 3 – высокой квалификации, и 5 программистов, из которых 2 – высокой квалификации. В командировку надо отправить группу из 3 аудиторов и 2 программистов. Какова вероятность того, что в этой группе окажется по крайней мере 1 аудитор высокой квалификации и хотя бы 1 программист высокой квалификации, если каждый специалист имеет равные возможности поехать в командировку?

44. Два лица условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами и договорились, что пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность их встречи, если приход каждого в течение указанного часа может произойти в любое время и моменты прихода независимы.

45. Какова вероятность того, что наудачу брошенная в круг точка окажется внутри вписанного в него квадрата.

46. При приеме партии изделий подвергается проверке половина изделий. Условие приемки – наличие брака в выборке менее 2 %. Вычислить вероятность того, что партия из 100 изделий, содержащая 5 % брака, будет принята.

 

Ответы

	1/3, 1/2	19 б	91/228	33 а
	1/6, 1/3	19 в	5/38	33 б
	1/50, 49/50	19 г	35/76	33 в
	1/6		3/10	34 а
	1/360		1/22	34 б
	1/60		0,302
	1/90		0,2381
	7/15		0,049	37 а
	1/6			37 б
	24/91			37 в
	2/15	27 а	1/216	38 а
	0,3	27 б	1/36	38 б
		27 в	5/54	39 а
	½			39 б	0,099
	0,4
	14/55		.
	1/15	31 а	1/ Р7 =1/7!= =0,000198		а) 0,125; б) 0,5
	1/5	31 б	Р2Р3Р2Р2 / Р10 =2!3!2!2!/10! = 0,0000132
19 а	1/114		1/ Р5 =1/5!= =,00833		0,4375

Примеры

 

Пример 1. Два стрелка стреляют по одной и той же цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,9, для второго- 0,8. Найти вероятность того, что оба стрелка попадут в цель.

Решение. Обозначим события:

А – попадание в цель первым стрелком,

В – попадание в цель вторым стрелком.

Так как события А и В независимы, то

P(AB) = P(A)×P(B) = 0,9×0,8 = 0,72.

Пример 2. В ящике имеется 90 стандартных деталей и 10 нестандартных. Из ящика наудачу берут одну за другой две детали. Определить зависимы ли события А-«первой взята стандартная деталь» и В –«второй взята стандартная деталь».

Решение. Вероятность появления стандартной детали при первом испытании (событие А) равна P(A) = 90/100 = 0,9. Вероятность появления стандартной детали при втором испытании (событие В) зависит от результата первого испытания: если в первом испытании событие А произошло, то P(B) = 89/99, если же событие А не произошло, то P(B) = 90/99 = 10/11. Следовательно, события А и В – зависимые.

Пример 3. В урне a белых и b черных шаров. Из урны наудачу последовательно вынимают два шара. Найти вероятность того, что второй шар окажется черным при условии, что первый шар был черным.

Решение. Обозначим события:

А – первый шар черный;

В – второй шар черный.

Если произошло событие А, то в урне осталось всего a + b - 1 шаров, из них b - 1 черных. Поэтому условная вероятность события В при условии, что произошло событие А, есть:

Пример 4. В ящике находится 7 деталей первого сорта, 5 второго сорта и 3 третьего сорта. Из ящика последовательно вынимают три детали. Найти вероятность того, что первая наугад вынутая деталь окажется первого сорта (событие А₁), вторая деталь – второго сорта (событие А₂) и третья деталь – третьего сорта (событие А₃).

Решение.

Пример 5. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. Вероятность получить на экзамене «2» равна 0,1; «3» – 0,6; «4» – 0,2; «5» – 0,1. Какова вероятность того, что студент получит на экзамене положительную оценку?

Решение: Пусть событие А – студент получит на экзамене положительную оценку.

, т.к. событие А и событие – «получить двойку» на экзамене являются противоположными.

.

Пример 6. Вероятность того, что первый стрелок поразит мишень равна 0,8, второй – 0,5. Найти вероятность того, мишень будет поражена только один раз.

Решение: Пусть событие А – попадет первый стрелок. . Событие В – мишень поразит второй стрелок. . Интересующее нас событие D– будет ровно одно попадание по мишени, если стрелки сделают только по одному выстрелу.

Вероятность того, что первый стрелок не попадет: . Второй стрелок не попадет с вероятностью .

Вероятность события равна:

.

 

Пример 7. Две пушки стреляют по мишени. Вероятность поражения мишени первой пушкой равна =0,75, второй =0,6. Какова вероятность того, что мишень будет поражена, если пушки сделают по одному залпу? События А и В независимы.

Решение: Интересующие нас событие С – будет поражена мишень.

Мишень будет поражена либо когда будет одно попадание, либо два. Таким образом, необходимо найти вероятность хотя бы одного попадания по мишени. Воспользуемся теоремой сложения совместных событий:

Поскольку события и независимы, данную формулу перепишем в следующем виде:

.

 

Задачи

 

1. Три стрелка произвели залп по цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,8, вторым 0,8, третьим 0,9. Найти вероятность того, что все три стрелка поразят цель.

2. Экспедиция издательства отправляет газеты в два почтовых отделения. Вероятность доставки газет вовремя в каждое почтовое отделение равна 0,9. Найти вероятность того, что:

а) оба отделения почты получат газеты вовремя;

б) оба отделения почты получат газеты с опозданием;

в) хотя бы одно почтовое отделение получит газеты вовремя.

3. Рабочий обслуживает 3 станка. Вероятность того, что в течении 1 часа станок не потребует внимания рабочего равна для первого станка 0,9, для второго станка 0,8, для третьего станка 0,85. Найти вероятность того, что в течение некоторого часа ни один станок не потребует внимания рабочего.

4. В двух ящиках находятся детали. В первом 10 деталей, из них три стандартные, во втором 15 деталей, из них 6 стандартных. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными? Обе бракованными? Хотя бы одна стандартная?

5. В ящике 10 красных и 6 синих пуговиц. Вынимаются наудачу 2 пуговицы. Какова вероятность того, что пуговицы будут одноцветными?

6. В одном ящике 5 белых и 10 красных шаров, в другом ящике 10 белых и 5 красных шаров. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет вынут белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.

7. 12 служащих военного подразделения имеют профессию слесарей-сантехников, 9 из них имеют наивысший шестой разряд. Для монтажа оборудования на объект надо направить четырех высококвалифицированных слесарей, чтобы закончить работу в срок и качественно. Выбраны первые четверо военнослужащих по алфавитному списку. Какова вероятность того, что все четверо имеют шестой разряд?

8. В цехе 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наугад выбрали 3 человека. Какова вероятность того, что выбраны мужчины?

9. Из двух колод карт наудачу вынули по карте. Какова вероятность того, что обе карты пиковые?

10. Определить надежность двух дублирующих друг друга приборов. Надежность каждого равна p. При выходе из строя одного из них происходит мгновенное переключение на второй.

11. Экзаменующему преподавателю подан список группы из 26 человек. Известно, что 8 студентов в группе занимаются на “хорошо”. Наудачу из списка вызваны 2 студента. Найти вероятность того, что эти 2 студента хорошисты.

12. В барабане револьвера 7 гнезд, из них в 5 заложены патроны, а 2 оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, то выстрела не происходит. Найти: а) вероятность того, что повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим, б) вероятность того, что оба раза выстрел произойдет.

13. Два стрелка сделали по одному выстрелу по мишени. Известно, что вероятность попадания в мишень для одного из стрелков равна 0,6, а для другого 0,7. Найдите вероятность того, что: а) только один из стрелков попадет в мишень; б) оба стрелка попадут в мишень; в) ни один из стрелков не попадет в мишень; г) хотя бы один из стрелков попадет в мишень.

14. Найти вероятность того, что наудачу взятое двухзначное число будет кратным либо 2, либо 5, либо тому и другому вместе.

15. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,15, во вторую зону 0,2, в третью 0,3. Найти вероятность промаха.

16. Стрелок выбивает 10 очков с вероятностью 0,1, а 9 очков с вероятностью 0,3. Найти вероятность выбить не менее 9 очков.

17. Три стрелка попадают в мишень соответственно с вероятностью 0,9; 0,8; 0,7. Какова вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень?

18. Производится огневой налет на склады боеприпасов. Вероятность попадания в первый склад равна 0,05, во второй 0,08, в третий 0,15. При попадании хотя бы в один из складов происходит взрыв всех трех складов. Определить вероятность уничтожения всех трех складов.

19. Для оштукатуривания клуба было предложено использовать два насоса, один из которых имеет 60 % износа, второй 30 %. Насколько можно быть уверенным, что хотя бы один из насосов всегда будет в действии?

20. Два стрелка произвели по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7, вторым 0,6. Найти вероятность того, что хотя бы один стрелок попал в мишень.

21. Три электролампочки последовательно включены в сеть. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в сети превысит номинальное, равна 0,6. Найти вероятность того, что при повышении напряжения тока в цепи не будет.

22. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй 0,3, третий 0,4. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

23. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 4 бомбы, вероятности попадания которых равны 0,3, 0,4; 0,6; 0,7.

24. На стройке 4 автокрана. Для каждого автокрана вероятность того, что он работает в данный момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы один автокран.

25. Пусть вероятность того, что покупателю женской обуви потребуется обувь 37 размера равна 0,25. Найти вероятность того, что из четырех первых покупателей обувь этого размера:

а) никому не понадобится;

б) понадобится хотя бы одному.

26. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу выбранное изделие окажется высшего сорта равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.

27. Вероятность попадания в цель при одном залпе из двух орудий равна 0,38. Найти вероятность поражения цели при одном выстреле из первого орудия, если вероятность поражения цели из второго оружия равна 0,8.

28. Вероятность выигрыша по одному билету равна 1/7. Какова вероятность, купив 5 билетов, выиграть: а) по всем 5 билетам; б) ни по одному билету; в) хотя бы по одному билету.

29. В урне 5 белых, 7 черных шаров и 3 красных шара. Из этой урны один за другим вынимают все шары без возвращения и записывают их цвета. Найдите вероятность того, что в этом списке белый шар встретится раньше черного.

30. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Найти вероятность того, что номер набран правильно.

31. Студент успел подготовить к экзамену 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что из трех наудачу выбранных вопросов студент знает не менее двух?

32. Для одной торпеды вероятность попасть в корабль равна ½. Какова вероятность того, что 4 торпеды потопят корабль, если для его потопления достаточно одного попадания торпеды в цель.

33. Ящик содержит 90 годных и 10 дефектных деталей. Сборщик последовательно без возвращения достает из ящика 10 деталей. Найти вероятность того, что среди взятых деталей: а) нет дефектных; б) менее 3 дефектных.

34. В урне 2 белых и 4 черных шара. Два игрока достают из этой урны поочередно по одному шару, возвращая каждый раз извлеченный шар. Игра продолжается до появления белого шара. Определите вероятность того, что первым достанет белый шар начинающий игрок.

35. Решить предыдущую задачу в предположении, что шары не возвращаются в урну.

36. В урне 10 шаров. Вероятность того, что 2 извлеченных шара окажутся белыми, равна 2/15.