Основы электродинамики. Магнитное поле. Электромагнитные явления. Электромагнитные волны.

Примеры решения задач

Пример 1. Три точечных заряда Q ₁ = Q ₂ = Q ₃ = 1 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника. Какой заряд Q ₄ нужно поместить в центре треугольника, чтобы указанная система зарядов находилась в равновесии?

Дано: Решение.

Q ₁ = Q ₂ = Q ₃ = 1 нКл Все три заряда, расположенные по вершинам

Q ₄ -? треугольника, находятся в одинаковых условиях.

Поэтому достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре

треугольника, чтобы какой-нибудь один из трех зарядов, например Q ₁, находился в равновесии. Заряд Q ₁ будет находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю (рис. 2).

₂ + ₃ + ₄ = + ₄ = 0 (1)

где ₂, ₃, ₄ – силы, с которыми

соответственно действуют на

заряд Q ₁ заряды Q ₂, Q ₃, Q ₄;

– равнодействующая сил

₂ и ₃.

 

 

 

Рис.2

Так как силы и ₄ направлены по одной прямой в противоположные стороны, то векторное равенство (1) можно заменить скалярным.

F – F ₄ = 0, откуда F ₄ = F.

Выразив в последнем равенстве F через F ₂ и F ₃ и учитывая, что F ₃ = F ₂, получим

.

Применив закон Кулона и имея в виду, что Q ₁ = Q ₂ = Q ₃, найдем

, откуда

. (2)

Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что

, соs α = cos 60^o = 1/2.

С учетом этого формула (2) примет вид

Q ₄ = Q ₁ / .

Произведем вычисления.

= 5,77∙ 10 ^{– 10} Кл = 577 пКл.

Ответ: Q ₄ = 577∙ 10 ^{– 12} Кл = 577 пКл

Пример 2. Два точечных электрических заряда Q ₁ = 1 нКл и Q ₂ = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга.

 

Определить напряженность и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда Q ₁ на расстояние r ₁ = 9 см и от заряда Q ₂ на r ₂ = 7 см.

Дано: Решение.

Q ₁ = 1 нКл

Q ₂ = - 2 нКл

d = 10 см

r ₁ = 9 см

r ₂ = 7 см

Е =? φ =?

 

 

Рис.3

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей ₁ и ₂ полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: = ₁ + ₂. Напряженность электрического поля, создаваемого в воздухе (ε = 1) зарядами Q ₁ и Q ₂,

, (1)

. (2)

Вектор ₁ (рис. 9) направлен по силовой линии от заряда Q ₁, так как этот заряд положителен; вектор ₂ направлен также по силовой линии, но к заряду Q ₂, так как этот заряд отрицателен.

Модуль вектора найдем по формуле векторной алгебры.

Е = , (3)

где α – угол между векторами ₁ и _2;

сos α может быть найден из треугольника со сторонами r ₁, r ₂ и d по теореме косинусов (рис. 3)

; сos (π-α) = - cos α. Тогда

.

Во избежание громоздких записей удобно значение cos α вычислить отдельно.

.

Подставляя выражение Е ₁ из (1) и Е ₂ из (2) в (3) и вынося общий множитель 1/(4πε₀) за знак корня, получаем

. (4)

= = 3,58 ∙ 10 ³ В/м = 3,58 кВ/м.

В соответствии с принципом суперпозиции электрических полей потенциал φрезультирующего поля, создаваемого двумя зарядами Q ₁ и Q ₂, равен алгебраической сумме потенциалов

φ = φ₁ + φ_2. (5)

Потенциал электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом Q на расстоянии r от него, выражается формулой

. (6)

Согласно формулам (5) и (6) получим

 

, или

.

= - 157 В.

Ответ: Е = 3,58 кВ/м; φ = - 157 В

Пример 3. На пластинах плоского конденсатора находится заряд Q = 20 нКл. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 100 см ², диэлектрик – воздух. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным.

Дано: Решение.

Q = 20 нКл Заряд Q одной пластины находится в поле

S =100 см ² напряженностью Е, созданном зарядом другой пластины

F -? конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует

сила

F = Q ∙ Е. (1)

Так как

,

где σ - поверхностная плотность заряда пластины, то формула (1) примет вид

.

Произведем вычисления.

= 22,6∙ 10 ^-4 Н

Ответ: F = 22,6∙ 10 ^-4 Н

Пример 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью τ = 10 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстоянии a ₁ = 0,5 см и a ₂ = 2 см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Дано: Решение.

R = 1 см Для определения разности потенциалов

τ=10 нКл/м воспользуемся соотношением между напряженностью

a ₁ = 0,5 см поля и изменением потенциала.

a ₂ = 2 см = - φ;.

φ ₁ - φ ₂ =? Для поля с осевой симметрией, каким является поле

цилиндра, это соотношение можно записать в виде

, или dφ = - E dr.

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на расстояниях r ₁ и r ₂ от оси цилиндра

. (1)

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой напряженности поля, создаваемого бесконечно длинным цилиндром.

.

Подставив выражение Е в (1), получим

,

или

. (2)

Произведем вычисления, учитывая, что величины r ₁ и r ₂, входящие в формулу (2) в виде отношения, можно выразить в сантиметрах (r ₁ = R + a ₁ = 1,5 см, r ₂ = R + a ₂ = 3 см).

= 1∙ 10 ^{– 8} ∙1,8 ∙ 10 ¹⁰ ∙ ln (3/1,5) = 1,8 ∙ 10 ² ∙ 2,3 ln 2 = 125 В.

Ответ: = 125 В

Пример 5. Электрическое поле создается двумя зарядами Q ₁ = 4 мкКл и Q ₂ = - 2 мкКл, находящимися на расстоянии а = 0,1 м друг от друга. Определить работу А _{1, 2} сил поля по перемещению заряда Q = 100 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 4).

Дано: Решение.

Q ₁ = 4 мкКл

Q ₂ = - 2 мкКл

Q = 100 нКл

а = 0,1 м

А _{1, 2} -?

 

 

Рис. 4

Для определения работы А _{1, 2} сил поля воспользуемся соотношением

А _{1, 2} =Q .

Применяя принцип суперпозиции электрических полей, определим потенциалы φ ₁ и φ ₂ точек 1 и 2 поля

;

.

Тогда

,

или

.

Проверим, дает ли правая часть равенства единицу работы (Дж).

Подставим числовые значения физических величин в СИ (Q = 100∙10 ^{– 9} Кл, Q ₁ = 4∙10 ^{– 6} Кл, Q ₂ = -2∙10 ^{– 6} Кл, а = 0,1 м, 1/(4πε₀)= 9 ∙ 10 ⁹ м/Ф) и произведем вычисления.

=28,6 мДж

Ответ: А _{1, 2} = 28,6 мДж

ЗАДАНИЯ НА КОНТРОЛЬНУЮ РАБОТУ № 2

Таблица вариантов к контрольной работе №2

Алфавит	Номера задач по первой букве
фамилии	имени	отчества
А,К,Ф
Б,Л,Х
В,М,Ц
Г,Н,Ч
Д,О,Ш
Е,П,Щ
Ё,Р
Ж,С, Э
З,Т,Ю
И,У,Я

Например, студент Сиделов Никита Игоревич должен решить следующие задачи: по первой букве фамилии С – (203, 218), по первой букве имени Н – (227, 234) и по первой букве отчества И – (241, 260).

201. На проводник длиной 50 см с током 2 А однородное магнитное поле с магнитной индукцией 0,7 Тл действует с силой 0,05 Н. Определить угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

202. На провод обмотки электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 1 Н. Определите магнитную индукцию в месте расположения провода, если его длина 20 см.

203. По горизонтально расположенному проводнику длиной 20 см и массой 4 г течет ток 10 А. Найдите индукцию (модуль и направление) магнитного поля, в которое нужно поместить проводник, чтобы сила тяжести уравновесилась силой Ампера.

204. На провод обмотки якоря электродвигателя при силе тока 20 А действует сила 7 Н. Определите магнитную индукцию поля в месте расположения провода, если длина провода 0,2 м.

205. С какой силой действует магнитное поле с индукцией 10 мТл на проводник, в котором сила тока 50 А, если длина активной части проводника 0,1 м? Поле и ток взаимно перпендикулярны.

206. Однородное магнитное поле с индукцией 200 мТл действует на помещенный в него проводник длиной 50 см с силой 0,7 мН. Определите силу тока в проводнике, если угол между направлением тока и индукцией магнитного поля равен 450.

207. На прямолинейный проводник, расположенный в однородном магнитном поле с индукцией 0,05 Тл под углом 30º к полю, действует сила 0,5 Н при пропускании по нему тока 20 А. Какова длина проводника?

208. Проводник длиной 0,15 м с током 8 А перпендикулярен вектору магнитной индукции однородного поля, модуль которого 0,4 Тл. Определить работу поля по перемещению проводника на 2,5 мм.

209. С какой средней силой действовало магнитное поле с индукцией 0,2 Тл на проводник длиной 0,3 м, если в проводнике ток равномерно возрастал от нуля до 10 А?

210. По круговому витку радиусом 10 см циркулирует ток 4 А. Определить напряженность и индукцию магнитного поля в центре витка.

211. Квадратная рамка помещена в однородное магнитное поле. Нормаль к плоскости рамки составляет с направлением магнитного поля угол 600. Сторона рамки 19 см. Определите индукцию магнитного поля, если известно, что среднее значение ЭДС индукции, возникающей в рамке при выключении поля в течение 0,01 с, равно 50 мВ.

212. Проволочный виток диаметром 5 см и сопротивлением 0,02 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,3 Тл. Плоскость витка составляет угол 400 с линиями индукции. Какой заряд протечет по витку при равномерном уменьшении магнитного поля до нуля?

213. Кольцо из проволоки сопротивлением 10^–3 Ом находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,4 Тл. Определить заряд, который потечет по кольцу, если его выдернуть из поля. Площадь кольца 10 см², а плоскость составляет угол 90º с линиями магнитной индукции.

214. Проволочный виток радиусом 4 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,2 Тл. Плоскость витка составляет с линиями индукции угол 30º. Определить поток магнитной индукции, пронизывающий виток.

215. При равномерном изменении магнитного потока, пронизывающего контур проводника на 6,6 Вб, ЭДС индукции в контуре была равна 7,2 В. Найти время изменения магнитного потока.

216. С какой скоростью надо перемещать проводник, длина активной части которого 1 м под углом 60º к линиям индукции магнитного поля, чтобы в проводнике возбуждалась ЭДС индукции в 7 В? Индукция магнитного поля 0,2 Тл.

217. Самолет, имеющий размах крыльев 31,7 м, летит горизонтально со скоростью 400 км/ч. Определить разность потенциалов на концах крыльев, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля Земли 5·10^-5 Тл.

218. Магнитный поток, пронизывающий замкнутый проволочный контур с сопротивлением 0,5 Ом, равномерно увеличился с 0,2 мВб до 7 мВб. Какой заряд прошел за это время через поперечное сечение проводника при равномерном изменении потока. Сила тока, ЭДС – постоянны.

219. Горизонтальный стержень длиной 1 м вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через один из его концов. Ось вращения параллельна магнитному полю с индукцией 50 мкТл. При какой частоте вращения стержня разность потенциалов на его концах U = 7 мВ?

220. Автомобиль движется со скоростью 120 км/ч. Определить разность потенциалов на концах передней оси машины, если длина оси 180 см, а вертикальная составляющая вектора индукции магнитного поля земли равна 5·10^-5 Тл.

221. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией 5·10^-3 Тл со скоростью 107 м/с, направленной перпендикулярно линиям индукции. Найти силу, действующую на электрон в магнитном поле, и радиус окружности, по которой он движется.

222. Найдите кинетическую энергию протона, движущегося в магнитном поле по окружности радиусом 50 см. Индукция поля 100 мТл.

223. В направлении, перпендикулярном линиям магнитной индукции, влетает в магнитное поле электрон со скоростью 107 м/с. Найти индукцию поля, если электрон описал в поле окружность радиусом 1 см.

224. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом в 30º. Найти радиус винтовой линии, если В = 1,3 Тл.

225. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 10 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом в 60º. Найти шаг винтовой линии, если В = 1,3 Тл.

226. Магнитное поле с В=5 Тл, направлено перпендикулярно электрическому полю напряженностью Е = 10 В/см. Пучок электронов летит с некоторой скоростью V, в пространство, где расположены эти поля, их скорость перпендикулярна плоскости, в которой лежат Е и В. Найти скорость электронов, если при одновременном действии обоих полей пучок электронов не испытывает отклонения.

227. Циклотрон предназначен для ускорения протонов до энергии 5 МэВ. Определить наибольший радиус орбиты, по которой движется протон, если индукция магнитного поля циклотрона 1 Тл.

228. Сравнить отношение q/m для протона и электрона, если они, влетая со скоростью 106 м/с, в однородное магнитное поле напряженностью 3 А/м, движутся по окружности радиуса 9 см.

229. Магнитное поле с В=3 Тл направлено перпендикулярно электрическому с напряженностью Е = 6 В/см. Пучок электронов влетает с некоторой скоростью v, в пространство, где расположены эти поля. Скорость электронов перпендикулярна плоскости, в которой лежат Е и В. Найти радиус кривизны траектории электронов, если включено только магнитное поле.

230. Найти отношение q/m для заряженной частицы, если она, влетая со скоростью 108 м/с в однородное магнитное поле напряженностью 2,5 А/м, движется по окружности радиуса 8,3 см.

231. Поток магнитной индукции сквозь соленоид равен 5·10^-6 Вб. Найти магнитный момент этого соленоида, если его длина 25 см.

232. Сколько ампер-витков потребуется для того, чтобы внутри соленоида малого диаметра и длиною 30 см объемная плотность энергии магнитного поля стала равна 7,75 Дж/м³.

233. В обмотке трансформатора с индуктивностью 0,6 Гн сила тока равна 20 А. Определите энергию магнитного поля, запасенную обмоткой. Как изменится энергия магнитного поля, если сила тока в обмотке уменьшится в 2 раза?

234. Сколько витков имеет катушка индуктивностью 10^-3 Гн, если при силе тока 1 А магнитный поток через поперечное сечение равен 2·10^-6 Вб? Чему равна энергия магнитного поля катушки?

235. Катушка с железным сердечником сечением 20 см² имеет индуктивность 2·10^-2 Гн. Какова должна быть сила тока, чтобы индукция поля в сердечнике была 10^-3 Тл, число витков равно 1000?

236. Найти индуктивность проводника, в котором равномерное изменение силы тока на 2 А в течение 0,25 с возбуждает ЭДС самоиндукции 20 мВ.

237. Какой магнитный поток пронизывал каждый виток катушки, имеющей 1000 витков, если при равномерном исчезновении магнитного поля за время t = 7 мс в катушке индуцируется ЭДС 100 В?

238. По катушке с индуктивностью 8 мкГн течет ток силой 6 А. Определите среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей в контуре, если сила тока изменяется практически до нуля за время t = 5 мс.

239. Соленоид имеет индуктивность 2·10^-7 Гн. При какой силе тока энергия магнитного поля внутри соленоида равна 10^-3 Дж?

240. В катушку с площадью поперечного сечения S = 20 см² и числом витков N = 500 вставлен сердечник. Индуктивность катушки с сердечником 0,28 Гн при I = 5 А. Найти магнитную проницаемость сердечника.

241. Эффективная сила тока равна 7 А. Какова средняя сила тока?

242. При каком эффективном значении напряжения по обмотке катушки, имеющей омическое сопротивление 35 Ом и индуктивность 0,1 Гн, пойдет ток 3 А? Частота тока 50 Гц.

243. Какой электроемкости надо взять конденсатор, чтобы его сопротивление было таким же, как у реостата сопротивлением 500 Ом, если частота тока равна 50 Гц?

244. В катушке с омическим сопротивлением 10 Ом при частоте 50 Гц получается сдвиг фазы между напряжением и током, равный 60°. Определите индуктивность катушки.

245. На картонный цилиндр длиной 50 см и диаметром 5 см навиты 500 витков медного провода диаметром 0,5 мм. При какой частоте полное сопротивление такой катушки в 2 раза больше ее омического сопротивления?

246. К сети переменного тока (120 В; 50 Гц) присоединены параллельно конденсатор (20 мкФ) и катушка (100 Ом; 0,5 Гн). Определите силы тока в конденсаторе, катушке и общую силу тока.

247. Измерительные приборы на щитке у генератора переменного тока показывают силу тока 540 А, напряжение 235 В и мощность 108 кВт. Каков сдвиг фазы?

248. Определите потери мощности в проводке от магистрали к потребителю при следующих данных: передаваемая мощность 100 кВт; напряжение на станции 220 В; сопротивление проводки 0,01 Ом, сдвиг фазы 37°.

249. Параллельно соединенные реостат (60 Ом) и катушка (20 Ом; 0,05 Гн) присоединены к сети переменного тока (50 Гц). По катушке идет ток 4 А. Какой ток идет по реостату и чему равен полный ток, идущий от источника?

250. Мгновенное значение ЭДС синусоидального тока для фазы 30º равно 120 В. Каково амплитудное и эффективное значение ЭДС?

251. В цепь включены конденсатор емкостью 2 мкФ и катушка индуктивностью 0,05 Гн. При какой частоте тока в этой цепи будет резонанс?

252. Напряжение на концах участка цепи изменяется по закону u = U ₀sin ( t + /6) В. В момент времени t = Т /12 с мгновенное значение напряжения 10 В. Определить амплитудное значение напряжения и циклическую частоту колебаний, если период колебаний 0,01 с.

253. Напряжение на обкладках конденсатора изменяется с течением времени по закону u = 100sin(10⁴ t) В. Емкость конденсатора 10^-8 Ф. Найти период колебаний и индуктивность контура.

254. Каков диапазон частот собственных колебаний контура, если его индуктивность 0,1 мкГн, а емкость изменяется от 50 до 5000 пФ?

255. Какую индуктивность надо включить в колебательный контур, чтобы при емкости в 2 мкФ получить звуковую частоту 1000 Гц? Сопротивлением контура пренебречь.

256. Колебательный контур состоит из индуктивности в 10^-2 Гн, емкости 0,405 мкФ и сопротивления 2 Ом. Во сколько раз уменьшится разность потенциалов на обкладках за один период?

257. Чему равно отношение энергии магнитного поля колебательного контура к энергии его электрического поля для момента времени t = Т /8 с?

258. На какой диапазон волн можно настроить контур, если его индуктивность 2 мГн, а емкость меняется от 6 пФ до 4,8 пФ?

259. Батарея, состоящая из двух конденсаторов электроемкостью по 2 мкФ каждый, разряжается через катушку индуктивностью 1 мГн и сопротивлением 50 Ом. Возникнут ли при этом колебания, если конденсаторы соединены: а) параллельно; б) последовательно?

260. Максимальное напряжение в колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивностью 5 мкГн и конденсатора емкостью 0,013 мкФ, равно 1,2 В. Определить эффективную силу тока в контуре, максимальное значение магнитного потока, если число витков равно 28.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 3