Математический и функциональный анализ

Мера и измеримые функции. Интеграл Лебега и его сравнение с интегралом Римана. Теорема Егорова. Теорема Фубини. Теоремы Лебега, Леви, Фату о предельном переходе под знаком интеграла.

Пространства L_p. Разложения по ортогональным системам функций в L ₂. Ряды и преобразования Фурье. Теорема Планшереля.

Метрические и топологические пространства. Компактность. Непрерывные функции на компакте. Теорема Стоуна-Вейерштрасса. Связность.

Линейные топологические и банаховы пространства. Теорема Хана-Банаха. Компактные операторы.

Гильбертовы пространства. Теорема Рисса-Фишера о представлении линейных функционалов.

Линейные операторы в гильбертовом пространстве. Ограниченные операторы. Понятие о спектре оператора. Спектр компактного самосопряженного оператора. Спектральное представление линейного оператора.

Линейные операторы и их матрицы в конечномерном вещественном и комплексном пространстве. Нормальная форма матрицы линейного оператора. Канонический вид матрицы симметрического, унитарного и кососимметрического оператора.

Обобщенные функции и операции над ними. Преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста. Соболевские пространства H_s. Теорема вложения Соболева.

Комплексный анализ

Теорема Коши. Интегральная формула Коши. Лемма Шварца и принцип максимума модуля.

Разложение голоморфных функций в ряды Тейлора и Лорана. Характеристика изолированных особых точек в терминах ряда Лорана.

Нули голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип аргумента и теорема Руше.

Теорема Коши о вычетах. Целые функции. Теорема Лиувилля.

Принцип сохранения области и теорема Гурвица. Принцип соответствия границ. Теорема Римана.

Аналитическое продолжение. Теорема о монодромии. Точки ветвления аналитических функций. Римановы поверхности.

Принцип симметрии. Теорема Пикара.

Дифференциальные уравнения

Линейные дифференциальные уравнения и системы. Фундаментальные системы решений. Метод вариации постоянных.

Дифференциальные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Квазиполиномы. Общие и частные решения. Функция Грина.

Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Асимптотическая устойчивость.

Элементы вариационного исчисления. Лагранжиан и уравнения Эйлера—Лагранжа. Гамильтониан и уравнения Гамильтона.

Принцип максимума Понтрягина.

Теоремы Фредгольма для интегральных уравнений. Теорема Гильберта—Шмидта.

Характеристики уравнений в частных производных. Задача Коши и теорема Коши—Ковалевской. Классификация уравнений в частных производных. Метод разделения переменных.

Уравнение Лапласа и эллиптические уравнения. Гармонические функции. Принцип максимума. Фундаментальное решение. Задачи на собственные значения и разложения по собственным функциям.

Уравнение теплопроводности и параболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши. Принцип максимума и теорема единственности.

Волновое уравнение и гиперболические уравнения. Фундаментальное решение. Задача Коши.

Алгебра и топология

Группы, алгебры и кольца. Свободные группы и соотношения.

Нетеровы кольца и модули. Теорема Гильберта о базисе.

Поля и их алгебраические расширения. Поле разложения многочлена. Основная теорема теории Галуа.

Группы и алгебры Ли. Основные типы алгебр Ли.

Линейные представления групп и их характеры. Лемма Шура. Индуцированные представления. Закон взаимности Фробениуса.

Фундаментальная группа. Односвязность. Накрытия. Лемма о накрывающей гомотопии. Универсальное накрытие.

Гомологии и когомологии симплициальных комплексов. Их гомотопическая инвариантность. Группы гомологий и фундаментальная группа компактных двумерных поверхностей, их классификация.

Локально тривиальные и векторные расслоения. Пространства путей и петель. Точная гомотопическая последовательность расслоения. Расслоение Хопфа и классификация отображений трехмерной сферы в двухмерную.

Степень отображения и индекс особой точки векторного поля. Индекс пересечения и коэффициент зацепления. Эйлерова характеристика.

Геометрия

Гладкие многообразия и их отображения. Дифференциал гладкого отображения и его якобиан. Теорема Сарда. Касательные векторы и касательное расслоение.

Примеры гладких многообразий: проективные пространства, матричные группы Ли, многообразия Грассмана и Штифеля.

Тензоры и тензорные поля. Дифференциальные формы и внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Тензоры и дифференциальные формы на комплексных многообразиях.

Интегрирование дифференциальных форм. Теорема Стокса. Ее связь с формулами Грина и Гаусса—Остроградского. Двойственность Пуанкаре.

Римановы многообразия и метрики. Геодезические. Связности, их тензоры кривизны и кручения. Параллельный перенос.

Гладкие кривые, их кривизна и кручение. Формулы Френе.

Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Теорема Менье и формула Эйлера. Главные направления и кривизны. Формула Гаусса—Бонне.

Симплектические многообразия. Теорема Дарбу. Комплексная и контактная структуры.

Теория вероятностей

Вероятностные пространства. Случайные величины и их математические ожидания. Дисперсия. Независимые случайные величины. Условные вероятности и математические ожидания.

Нормальное распределение и распределение Пуассона. Характеристические функции. Теорема Бохнера-Хинчина. Центральная предельная теорема. Законы больших чисел.

Корреляционные функции. Цепи Маркова и марковские случайные процессы. Гауссовские процессы и процесс Пуассона.

Броуновское движение. Стохастический дифференциал и формула Ито. Стохастические дифференциальные уравнения.

Элементы математической статистики. Точечное и интервальное оценивание. Задача проверки статистических гипотез.

Физические разделы

Механика

Уравнения движения. Принцип наименьшего действия. Функция Лагранжа. Теорема Нетер и законы сохранения.

Одномерное движение. Движение в центральном поле.

Свободные и вынужденные колебания. Колебания при наличии трения.

Движение твердого тела. Угловая скорость, моменты инерции и количества движения. Уравнения Эйлера.

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Лиувилля. Уравнение Гамильтона—Якоби.

Теория поля

Принцип относительности. Преобразования Лоренца. Интервал.

Релятивистская механика. Принцип наименьшего действия. Энергия и импульс.

Заряд в электромагнитном поле. Четырехмерный потенциал. Калибровочные преобразования. Уравнения движения заряда. Тензор электромагнитного поля.

Уравнения электромагнитного поля. Действие электромагнитного поля. Тензор энергии-импульса.

Постоянное электромагнитное поле. Закон Кулона. Электростатическая энергия заряда. Диполь. Магнитный момент. Теорема Лармора. Система зарядов в электромагнитном поле.

Электромагнитные волны. Волновое уравнение. Плоские и монохроматические волны. Спектральное разложение.

Распространение электромагнитных волн. Отражение и преломление. Принцип взаимности.

Поле движущегося заряда. Запаздывающие потенциалы и потенциалы Льенара-Вихерта. Излучение электромагнитных волн.

Поле системы зарядов на далеких расстояниях.