Совместные измерения и их статистическая обработка

В результате таких измерений находятся координаты искомой зависимости Экспериментальные координаты (где i = 1, 2,... п — число совместных измерений) отличаются от истинных координат (х,у) из-за систематических и случайных погрешностей измерений. Возникает задача наилучшей аппроксимации экспериментальной зависи­мости у = f(x) по координатам x_i, y_i.

Сущность метода наименьших квадратов состоит в том, что наивероятнейшими значениями аргументов искомой аналитической зависимости будут такие, при которых сумма квадратов отклонений экспериментальных значе­ний функции y_i от значений самой функции y, будет наименьшей:

(2.18)

Применение метода наименьших квадратов при статистической обработ­ке результатов измерений требует учета ряда условий:

• значения аргументов x_i известны точно;

• результаты измерений y_i независимы и содержат лишь случайные по­грешности с одинаковыми дисперсиями;

• погрешности измерения y_i имеют нормальное распределение.

Первое условие приближенно выполняется за счет измерения зна­чения x_i с меньшей погрешностью, чем y_i. Наличие только случайных погрешностей обеспечивается ис­ключением из результатов измере­ний возможных систематических погрешностей.

В простейшем случае, когда искомая зависимость имеет линейный характер вида . В соответствии с методом наименьших квадратов наилучшим оценкам а и b соответствует минимальное значение выражения:

(2.19)

где — отклонение измеренных значений у, от вычисленных) при

При использовании метода наименьших квадратов необходимо по набору из п экспериментальных координат найти такие оценки неизвестных постоянных а и b, при которых получается прямая линия, наилучшим обра­зом отражающая истинную анализируемую линию.

Сумма (2.19) минимальна, если ее частные производные по а и b равны нулю:

; . (2.20)

Из решения системы уравнений, находятся формулы для оценок значе­ний а и b:

(2.21)

где ; (2.22)

Степень приближения найденных значений а и b к истинным значениям этих величин оценивается с помощью их СКО и :

(2.23)

где — СКО погрешности измерения величины у, значение которой можно получить из паспортных данных на средство измерения или вычислить по формуле:

(2.24)

Пример. Требуется установить реальную зависимость сопротивления метал­лического проводника от температуры по результатам совместных измерений (табл. 3.12). При этом теоретическая зависимость определена как:

где — сопротивление проводника при 0°; — ТКС проводника; — температура, 0° С.

Т а б л и ц а 3.12. Результаты совместных измерений

t, °C
Ом	10,3	10,9	11,3	11,6

Преобразуем последнюю формулу к виду в которой

Расчеты по формулам (3.51) и (3.52) при п = 4, и дают следующие результаты: а = 9,52 Ом; b = 0,09 Ом/град.

Пусть средство измерения имеет СКО = 0,2 Ом. Тогда, проведя вычисления по формулам (3.53), получим: = 0,33 Ом; = 0,02 Ом/град. Окончательно имеем:

= (9,52+0,33) Ом; = (0,09 + 0,02) Ом/град.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Что называется неисключенной систематической погрешностью?

2. Какие измерения называются независимыми и равноточными?

3. Какими параметрами характеризуется точечная оценка результата прямых измерений с многократными независимыми и равноточными наблюдениями?

4. Как изменится точность результата многократных наблюдений с увеличением n?

5. Как повлияет увеличение числа наблюдений на систематическую составляющую погрешности измерений?

6. В каком виде должны представляться результаты интервальной оценки многократных равноточных и независимых измерений?

7. В каких случаях при проведении однократных измерений следует учитывать дополнительные погрешности?

8. Что определяет доверительная вероятность при интервальной оценке результатов наблюдений?

9. Чем отличается распределение погрешностей Стьюдента от нормального распределения?

10. В чем сущность аппроксимации экспериментальной зависимости y = f(x) по координатам x_n, y_n по методу наименьших квадратов?

11. Класс точности вольтметра 1,5. При измерении напряжения по шкале 100 мВ получен результат 85 мВ. Чему в действительности может быть равна измеренная величина напряжения?

12. Запишите выражение для определения среднеквадратического значения напряжения.

13. Запишите выражение для нахождения средневыпрямленного значения напряжения.

14. Напряжение U₁ измерено с относительной среднеквадратической ошибкой d_U1, а напряжение U₂ – с относительной среднеквадратической ошибкой d_U2. Какую относительную СКО имеет результат U₁ + U₂? U₁ – U₂?

15. В каком виде представляется результат косвенного измерения?

16. Что понимается под границей НСП?

17. Какие измерения называются совместными?