Пусть имеется выборка результатов испытаний

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4	Столбец 5
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
4.22	117.00	4.14	112.58	4.20	116.18	4.17	114.23	3.71	89.89
4.08	109.32	3.44	77.16	3.57	83.29	4.08	109.12	3.51	80.42
3.59	83.82	4.06	108.45	3.99	104.67	4.39	127.32	4.31	122.32
4.17	114.48	4.67	144.03	4.35	124.64	3.47	78.42	3.81	95.21
4.06	108.41	3.85	97.31	3.86	97.60	3.46	77.66	4.26	119.62
3.55	82.29	3.59	84.20	3.75	92.15	3.09	61.54	4.43	129.80
3.74	91.68	3.32	71.68	3.67	87.80	3.71	90.13	3.37	73.56
3.25	68.56	4.12	111.71	3.74	91.60	3.82	95.46	3.81	94.98
4.62	141.25	3.80	94.52	3.73	90.79	3.41	75.40	4.02	106.08
3.76	92.47	3.09	61.50	3.98	104.09	3.96	102.85	3.95	102.18
Столбец 6	Столбец 7	Столбец 8	Столбец 9	Столбец 10
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y
4.39	127.41	4.16	113.98	3.50	79.82	4.53	135.36	4.56	137.33
4.05	107.47	3.34	72.44	3.42	75.84	3.56	82.58	4.16	113.93
3.30	70.41	4.00	104.74	3.62	85.32	3.51	80.18	3.24	68.20
4.61	140.41	4.57	137.84	3.61	85.22	4.31	122.69	3.80	94.29
4.33	123.40	4.40	127.68	4.31	122.34	4.24	118.58	4.53	135.55
4.06	108.22	4.57	138.05	3.15	64.29	4.70	146.14	3.83	95.92
4.16	113.97	4.06	108.50	3.93	101.01	3.68	88.22	4.20	115.89
3.46	77.92	3.43	76.55	4.42	128.98	3.60	84.53	3.54	81.49
4.51	134.19	4.04	107.16	4.20	116.16	3.67	87.73	3.77	93.19
4.53	135.43	3.86	97.62	4.12	111.35	4.40	127.44	3.37	73.59

В данном примере объем выборки n =100

Для того, чтобы суждения о законах распределения СВ X или об ее числовых характеристиках были объективны, необходимо, чтобы выборка была представительной (репрезентативной), т.е. достаточно хорошо представляла исследуемую случайную величину. В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Выборка считается большой, если ее объем n >30, в противном случае выборка называется малой.

 

2. ПОСТРОЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА.

 

Пусть изучается некоторая дискретная или непрерывная СВ, закон распределения которой известен. Статистический материал, полученный в результате измерений, представляют в виде таблицы, состоящей из двух строк, в первой из которых находятся расположенные в возрастающем порядке значения признака (для дискретной СВ) или интервалы (для непрерывной СВ), а во второй – их частота ; (число одинаковых значений дискретной СВ или число наблюдений в i -м интервале в случае непрерывной СВ). Такое представление признака и частот называется вариационным рядом.

На основе имеющейся выборки составляем интервальный статистический ряд для непрерывной СВ.

Для выбора оптимальной длины интервалов h воспользуемся формулой:

где – соответственно максимальное и минимальное значения признака X в выборке; l – количество интервалов. В данной работе мы будем использовать следующую формулу: , где n – объём выборки (можно воспользоваться формулой ).

Для нашего случая:

Найдём количество интервалов: .

Найдём длину интервалов (шаг): Примем значение шага равным 0.17.

Нижнюю границу первого интервала принимаем равной минимальному значению признака в выборке, т.е. .

Зная нижнюю границу первого интервала и длину интервала , построим весь интервальный ряд (Таблица 1. Столбец «Интервалы»).

Найдем середину каждого интервала (Таблица 1. Столбец «Середина интервала»), используя формулу: , где – конечное и начальное значения определённого интервала.

Проанализируем каждое значение имеющейся выборки на факт попадания в определённый интервал, а число значений, попавших в интервал, запишем в столбец «Частота». Проведём проверку полученных значений частот: .

В столбец «Накопленная частота» запишем значения, полученные по формуле:

Все вычисленные значения представим в виде таблицы 1.

 

3. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ РЯДОВ

 

Для наглядности статистические ряды представляют графиками, наиболее распространёнными являются полигон и гистограмма. Полигон применяется для изображения как дискретных, так и интервальных статистических рядов, гистограмма – для изображения только интервальных рядов. Покажем построение этих графиков на примере.

 

Таблица 1.

I	Интервалы	Середина интервала,	Частота,	Относительная частота,	Накопленная частота,	Относит. накопл. частота,
	[3,09; 3,26)	3,175	*****		0,05		0,05
	[3,26; 3,43)	3,345	*******		0,07		0,12
	[3,43; 3,60)	3,515	**************		0,14		0,26
	[3,60; 3,77)	3,685	*************		0,13		0,39
	[3,77; 3,94)	3,855	***********		0,11		0,5
	[3,94; 4,11)	4,025	**************		0,14		0,64
	[4,11; 4,28)	4,195	**************		0,14		0,78
	[4,28; 4,45)	4,365	***********		0,11		0,89
	[4,45; 4,62)	4,535	********		0,08		0,97
	[4,62; 4,79]	4,705	***		0,03
			Проверка: Σ=100

 

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы значений случайной величины , на каждом из которых строим прямоугольник, высота которого равна соответствующей частоте интервала .

Если на гистограмме частот соединить середины верхних сторон элементарных прямоугольников, то полученная замкнутая ломаная образует полигон распределения частот (рисунок 1).

Рисунок 1. – Графическое изображение вариационного ряда.

В теории вероятностей гистограмме и полигону относительных частот соответствует график плотности распределения. По виду полигона делают первоначальное предположение о законе распределения исследуемой случайной величины.

 

4. ЭМПИРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

 

Пусть известен статистический ряд количественного признака X. Введем обозначения: – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака меньше х (накопленная частота); n – объем выборки; – относительная частота события Х < х (относительная накопленная частота).

Эмпирической функцией распределения называют функцию , равную относительной накопленной частоте события Х < х.

В отличие от эмпирической функции распределения выборки интегральную функцию распределения генеральной совокупности называют теоретической функцией распределения. Теоретическая функция распределения определяет вероятность события Х < х, т.е. Р(Х < х), эмпирическая – относительную частоту этого события. Вследствие закона больших чисел (теорема Бернулли) относительная частота события Х < х, т.е. F *(x) стремится к вероятности этого события, т.е. к F (x). обладает всеми свойствами F (x), а именно:

1) 0< <1;

2) – неубывающая функция;

3) =0 при х ,

4) =1 при х > .

Эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности.

Для построения графика эмпирической функции распределения (кумуляты) на оси абсцисс откладывают интервалы, на оси ординат – относительные накопленные частоты, соответствующие правым границам интервала. на левой границе первого интервала равна нулю. Кумулята представляет собой ломаную линию (рисунок 2).

Рисунок 2. – График эмпирической функции распределения.

5. ОСНОВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

К основным выборочным характеристикам (показателям) относятся: средняя арифметическая, мода, медиана, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесса. Для определения перечисленных показателей удобно составить таблицу 2.

Таблица 2

i
	3,175		15,875	–0,748	2,79752	–2,09254	1,565224
	3,345		23,415	–0,578	2,338588	–1,3517	0,781285
	3,515		49,21	–0,408	2,330496	–0,95084	0,387944
	3,685		47,905	–0,238	0,736372	–0,17526	0,041711
	3,855		42,405	–0,068	0,050864	–0,00346	0,000235
	4,025		56,35	0,102	0,145656	0,014857	0,001515
	4,195		58,73	0,272	1,035776	0,281731	0,076631
	4,365		48,015	0,442	2,149004	0,94986	0,419838
	4,535		36,28	0,612	2,996352	1,833767	1,122266
	4,705		14,115	0,782	1,834572	1,434635	1,121885
	392,3		16,4152	–0,05896	5,518533

 

В зависимости от характеризуемых особенностей распределения обобщающие показатели можно разбить на три группы:

1. показатели центра распределения (центра группирования);

2. показатели степени рассеяния (вариации);

3. показатели формы распределения.

1. Показатели центра распределения

Для характеристики центра распределения в вариационном ряду используются:

1) Средняя арифметическая, которая определяется по формуле:

где – значение признака для дискретного ряда или середина интервала для интервального статистического ряда.

В нашем случае: .

2) Мода – наиболее часто встречающееся значение признака. Для дискретного ряда мода – значение признака, соответствующего наибольшей частоте. Для интервального ряда мода вычисляется по следующей приближенной формуле:

,

где – нижняя граница модального интервала, то есть интервала, имеющего наибольшую частоту;

– длина интервала;

– частота модального интервала;

– частота интервала, предшествующего модальному;

– частота интервала, следующего за модальным.

В примере модальным является 6 интервал.

Мода может быть определена приближенно графическим способом. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника – с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых приближенно будет модой распределения. В рассматриваемом примере = 4.11 (рисунок 1).

3) Медиана – значение признака, которое делит весь упорядоченный ряд значений пополам. Для дискретного ряда, если число вариант нечетно, т. е. n = 2k+l, Me = , при четном n = 2k Me = /2. Для интервального статистического ряда медиана вычисляется по следующей приближенной формуле:

где – нижняя граница медианного интервала, то есть интервала, которому соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину объема совокупности; – длина интервала; – частота медианного интервала; – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

В примере медианным является 3-й интервал.

.

По кумуляте (рисунок 2) приближённо определим значение медианы: на уровне 0.5 (накопленная относительная частота) проведем горизонтальную линию до пересечения с кумулятой; в точке пересечения опустим перпендикуляр на ось абсцисс; точка, в которой перпендикуляр пересекает ось абсцисс, показывает приближенное значение медианы. В нашем примере .

2. Показатели рассеяния

Для характеристики отклонения значений признака от среднего арифметического используются:

1) Дисперсия, которая определяется по формуле:

В нашем случае: .

2) Среднее квадратическое отклонение

В нашем случае: .

3) В качестве относительной характеристики рассеяния используют коэффициент вариации, который показывает, насколько велико рассеяние значений признака по сравнению со средней арифметической. Коэффициент вариации определяется по формуле:

В отличие от дисперсии и среднего квадратического отклонения коэффициент вариации – величина безразмерная, что позволяет сравнивать изменчивость признаков как в пределах одной совокупности, так и разных совокупностей, независимо от единиц измерения разных сопоставляемых признаков.

Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 % (для распределений, близких к нормальному).

Исходя из величины коэффициента вариации, можно установить характеристику изменчивости, например, по следующей схеме:

Коэффициент вариации,	До 5%	6–10%	11–20%	21–50%	50%
Изменчивость	слабая	умеренная	значительная	большая	очень большая

В нашем случае: , следовательно, изменчивость умеренная, совокупность однородна.

3. Показатели формы распределения

На практике приходится встречаться с самыми различными распределениями. Однородные совокупности характеризуются, как правило, одновершинным распределением. Многовершинность свидетельствует о неоднородности изучаемой совокупности. При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят такие характеристики, как коэффициент асимметрии и коэффициент эксцесса ε. Для нормального распределения эти характеристики равны нулю. Поэтому, если для изучаемого распределения асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения ;‌‌ , то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

Коэффициент асимметрии определяется по формуле:

.

Если =0, то ряд симметричен относительно моды.

При >0 скошенность вправо, средняя арифметическая правее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена справа от моды. При правосторонней асимметрии .

При <0 скошенность вправо, средняя арифметическая левее моды, «длинная часть» кривой распределения расположена слева от моды. При левосторонней асимметрии .