Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-11-28 | 288 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пример 10.1. Вычислить
► Рассмотрим функцию y = . Вычислим ее производную в точке x = 1: y`(1) = 1/3.
По формуле малых приращений имеем (Dx = 0,02):
◄
Пример 10.2. Вычислить sin 290
► Рассмотрим функцию y = sinx. Ее производная в точке x = p/6 = 300 равна . Тогда по формуле малых приращений получим (Dx =-p/180)
sin29 = sin(p/6-p/180)» sinp/6 – = 1/2(1 – ) = 0,484 ….◄
1) sin60015' 2) cos60015' 3) tg60015' 4) ctg60015'
5) 20.013' 6) 50.012 7) 90.501 8) 2.013
9) 5.012 10) 91/3 11) 801/4 12) 1001/8
13) 10001/11 14) lg11 15) arctg1.05 16) sin46
17) cos 44 18) (7.01)3 19) (7.01)4 20) (7.01)7
21) arcsin0.99 22) arccos0.09 23) cos29 24) tg44
25) ctg46 26) arctg0.99 27) 28)
29) 160.503 30) sin14.5cos14.5
11. Найти уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке с абсциссой x0. Сколько общих точек имеет график данной функции с искомой касательной
Пример 11.1. y = x2/2 x0 = 0
► y`=x по формуле уравнения касательной получим y = 0 + 0 = 0 Þ y = 0.
Найдем точки пересечения графика функции и касательной
x2/2 = 0 Þ x = 0 единственная точка совпадения графика функции с касательной – точка (0,0).◄
Пример 11.2. y = sinx, x0 = p/2.
►y`=cosx, y(x0)=1, y`(x0) = 0. Запишем уравнение касательной y = 1. Таким образом в точках пересечения графика функции и касательной получаем уравнение
sinx = 1 Þ x = p/2+2pk, kÎZ.
То есть, график функции имеет бесконечное число общих точек со своей касательной. Легче было решить эту задачу графически, так как, очевидно, что прямая y =1 будет касаться графика y = sinx во всех его «верхних» точках, а таких точек на всей числовой оси бесконечно много. ◄
1) y = sin3x +2, при x0 = 0. 2) y = cos5px +6, при x0 = 1
3) y = sin5(x - 2), при x0 = 2 4) y = cos5px +8, при x0 = 1
5) y = tgpx +2, при x0 = 1 6) y= ctg(px/2) +2, при x0 =1
7) y = arctg2x +4, при x0 = 1 8) y= arcctg3x +6, при x0 = 1/6
9) y = ax2+bx +c, при x0 = –b/(2a) 10) y = ax+b, при x0 = –b/(2a)
11) y = 1/x2, при x0 = –1 12) y = x3+bx +c, при x0 = 0
13) y = (x+1)/(x-1), при x0 = –1/2 14) y = x2/(1+x), при x0 = –1
15) y = (x+1)/(3-x)1/3, при x0 = 2 16) y = sin4x – 1, при x0 = p/8
|
17) y = sin2(x - 1), при x0 = 3 18) y = cos2x +3, при x0 = 0
19) y = tg4px +2, при x0 = 1 20) y= ctg(3px/2) +2, при x0 = 1
21) y = arctgx/2 +1, при, x0 = 1 22) y= arcctg3x/4 +6, при x0 = 1/8
23) y = 3/2x2, при x0 = 7/2 24) y = x2+5x +23/24, при x0 = 5/4
25) y = (2x+3)/(7x-15), при x0 = 7/5 26) y = x4/2(4+2x), при x0 = 1/2
27) y = tg46x –1/e, при x0 = 2e 28) y = ctg(3x/8) -5, при x0 = 1
29) y = (3x+9)/(6-2x)1/5, при x0 =–2/3 30) y = sin4x/11 – 2, при x0 = 11p/8
12. Найти k-ю производную от функции y = f(x)
Пример 12.1. y=ax-m, k=3
► Последовательно дифференцируя, имеем:
y` = –max-m-1;
y`` = –ma(x-m-1)` = am(m+1)x-m-2;
y``` = am(m+1)(x-m-2)`= –am(m+1)(m+2)x-m-3◄
Пример 12.2. y= , k = 100.
► Преобразуем данную функцию к удобному для дифференцирования виду
y = 2(1-x)-1/2-(1-x)1/2
После 100-кратного дифференцирования получаем:
◄
1) k = 38, y = xex 2) k = 45, y = ex2
3) k = 30, y = sinx +ex 4) k = 39, y = cosx+ex
5) k = 68, y = cos2x +ex 6) k = 100, y = ln2x +ex
7) k = 50, y = 2x+ex 8) k = 618, y = (3x)121+ex
9) k = 63, y = 1+ex 10) k = 87, y = +ex+1/(x+1)
11) k = 88, y = 1/(1-x2)+ex 12) k = 98, y = 1/x+ex
13) k = 78, y = 756x8+56x6+ex 14) k = 6, y = 1+cos(x)ex
15) k = 5, y = +sin(x)ex 16) k = 6, y = x(2x–1)2(x+3)3
17) k = 3, y = 18) k = 100, y =
19) k = 20, y = x2e2x 20) k = 10, y =
21) k = 6, y = sin2xlnx 22) k =100, y = xshx
23) k = 10, y = sinxsin2xsin3x 24) k = 50, y = x2sin2x
25) k = 5, y = xlnx 26) k = 5, y =
27) k = 8, y = 28) k = 10, y =
29) k = 6, y = cosxchx 30) k = 10, y = (2x–1)23x32x
13. С помощью правила ЛОПИТАЛЯ найти предел функции y =f(x) при x x0.
Пример 13.1.
►Непосредственное применение правила Лопиталя не эффективно, поэтому, произведя замену 1/x2 = y и применив правило Лопиталя к полученному выражению получим
◄
Пример 13.2.
► Здесь имеется неопределенность вида 00, поэтому предварительно воспользуемся представлением (u>0, v>0), а также соотношением , вытекающим из непрерывности функции ex.
После очевидных преобразований и применения правила Лопиталя получаем
◄
1) x0 = +0 y = xx. 2) x0 = a y = (ax–xa)/(x–a)
3) x0 = п/2 y = tg(3x)/tgx. 4) x0 = 0 y = (tg(x)–x)/(x–sinx).
5) x0 = 0 y = sinax/sinbx. 6) x0 =1 y = x1/(1–x).
7) x0 = +0 y = (ln(1/x))x. 8) x0 = 0 y = xalnx (a>0).
9) x0 = 0 y = ((1+x)1/x-e)/x. 10) x0 = 0 y = (1-cos(x2))/(x2sin(x2)).
11) x0 =¥ y = lnx/xa(a>0). 12) x0 = 0 y = sinax/tgbx.
13) x0=0 y = ln(sin(ax))/ln(sin(bx)). 14) x0 = 0 y = ln(cos(bx))/ln(cos(ax))
15) x0 = 0 y = (cos(sinx))-cosx)/x4. 16) x0 = 0 y =
17) x0=0 y= 18) x0 = 1 – 0 y = lnx×ln(1-x)
19) x0=0 y= 20) x0 ® +¥ y = (thx)x
21) x0 = 0 y = 22) x0 = 0 y =
23) x0 = 0 y = 24) x0 = 0 y =
25) x0 = 0 y = 26) x0 = 0 y =
|
27) x0 = 1 y = 28) x0 = 0 y =
29) x0 = +0 y = -1 30) x0 = p/4 y = (tgx)tg2x
14.Найти второй дифференциал функции y = f(x) определяемой уравнением
Пример 14.1. y=lnx
► Находим последовательно
dy = – dx/x;
◄
Пример 14.2. y = f(x), где x – функция от некоторой независимой переменной.
► Исходя из определения дифференциалов высших порядков, имеем:
dy = f`dx; d2y = d(f`dx) = f``(dx)2 + f`d2x;
d3y = d(f``(dx)2 + f`d2x) =
f```(dx)3 + 2f``dxd2x + f``dxd2x + f`d3x = f```(dx)3 + 3d2xdxf`` + f`d3x.◄
1) sin(x + y) =y 2) tg(x + y) = y
3) exy + x + y = 0 4) log3(x + y) = x + y
5) log4(x2 + y) = 1-y 6) arccos(3x4 + y2) = y
7) (1 + x2 + y2)1/3= x-y2 8) arctg(x4 + 3y) = x + y6
9) arcctg(x5 + 2y) = x + y3 10) 2xy + y= xy + x
11) 31/(x + y)= xy 12) xy= x + y
13) yx = x2 + y3 14) (x + y)(x + y) = x4 + y7
15) logxy = x+y2 16) sin2(x + y) = 3y
17) logxy = (x+y)2 18) 3x + y + 2x + 5y = 0
19) y3 = x3 + 3y 20) arctg(x – y) = x + y
21) x2y = xx 22) ln(2x + 3y) = x – 2y2
23) = x2-y2 24) cos(xy) = sin(x + y)
25) tg(cosxy) = lnx3 26) (x + y)3 = xy
27) log3xx + y = y2 28) 2x + y = xy
29) lncos(x3 + y) = x + y5 30) x3x + y3 = 2xy
15. Построить с помощью элементарных преобразований графики функций
1. | 2. |
3. | 4. |
5. | 6. |
7. | 8. |
9. | 10. |
11. | 12. |
13. | 14. |
15. | 16. |
17. | 18. |
19. | 20. |
21. | 22. |
23. | 24. |
25. | 26. |
27. | 28. |
29. | 30. |
|
|
Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Археология об основании Рима: Новые раскопки проясняют и такой острый дискуссионный вопрос, как дата самого возникновения Рима...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!