Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Процедура выполнения команд. Рабочий цикл процессора: Функционирование процессора в основном состоит из повторяющихся рабочих циклов, каждый из которых соответствует...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Интересное:
Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны...
Подходы к решению темы фильма: Существует три основных типа исторического фильма, имеющих между собой много общего...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Дисциплины:
2017-11-27 | 162 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Построим на графике функции y = ln x секущую MN, где M(1,0), N(1+h,ln(1+h)). Тогда tg (NMK) = ln(1+h) / h. При N®M секущая переходит в касательную и tg NMK ® tg 450 = =1, т.е. lim (ln(1+h)/h) = 1. Используем тождество elny = y. Тогда
lim (1+h)1/h = lim eln (1+h)/h = elim (ln(1+h)/h) = e при h ® 0
При замене h = 1/x, где x ® ¥, получаем другую запись предела
(a) lim ln(1+x) / x = 1; (b) lim (1+x)1/x = e; (c) lim (1+1/x)x = e
x ® 0 x ® 0 x ® ¥
Общие правила раскрытия неопределенностей
1. {0/0} При вычислении пределов дробно-рациональных функций
используется основная теорема алгебры, т.е. многочлены представляется как произведение двучленов (Пр. x2 + bx + c = (x – x1)(x – x2)) и взаимно сокращаются одинаковые.
Пр.
2. {¥ / ¥} Вынесем х в максимальной степени за скобки в Rn(x), Qm(x) и сократим
Пр. = {¥/¥} =
3. {¥ - ¥} Проведем вычитание дробей или умножим числитель и знаменатель разности на сопряженный двучлен
Пр. {¥ - ¥} =
4. Для того чтобы избавится от двучленов с корнями можно умножить их на сопряженные двучлены
Пр. {0/0} = =
5. {0 ¥} В общем случае: = {0 ¥} = = {0/0}
6. { }, { }, { } В случае показательно-степенной функции тип
неопределенности меняем с помощью тождества eln y= y, т.е.
= exp(ln ) = exp(
= exp( ln ) = eB lnA = AB
где A = > 0; B =
т.е. при переходе к пределу показательно-степенной функции основание и степень заменяются на их пределы.
Пр. =AB =(3/4)1/2 , т.к. A = ;B =
В случае А = 1, В = ¥ используют преобразование
= = exp { [f(x) – 1] },
т.е. А = e, B = [f(x) – 1]
Пр. = exp { } = e-7 , т.к.
А = 1, В = ¥
Непрерывность функции.
С понятием предела функции связано другое важное понятие – непрерывность функции. На графике непрерывным функциям соответствуют непрерывные линии.
Пусть y = f(x) определена в точке хo и ее окрестности. Величина х = х – хo наз. приращением аргумента, y = y – yo - соответствующим приращением функции.
|
Опр.1 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке х, если она определена в этой точке и ее окрестности и бесконечно малому приращению аргумента х соответствует бесконечно малое приращение функции y, т.е.
lim y = 0 при х 0 (1)
Следствие: Основные элементарные функции являются непрерывными во всех точках области определения D(f), т.к. они имеют предел в каждой из точек и удовлетворяют условию (1)
y = ax, y = , lim y = lim (a - 1) = 0 при х 0
y = loga x, y = loga(x + x) - loga x = loga (1 + x/x), lim y = lim loga(1 + x/x) = 0
y = x2, y = (x + x)2 - x2 = 2x x + ( x)2, lim y = lim [2x x + ( x)2 ] = 0
Опр.2 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке хo, если ее предел в хo совпадает со значением функции в этой точке.
lim f(x) = f(xo) при x xo (2)
Покажем эквивалентность этих определений:
lim y = 0 lim(f(x) – f(xo)) = 0 lim f(x) = f(xo), при
x 0 x xo const x xo
Условие (2) позволяет для непрерывных функций переход к пределу функции заменить на переход к пределу аргумента
lim f(x) = f (lim x), при (3) x xo x xo
Для y = f(x) определенной на [a,b] предельный процесс около внутренней точки x (a < x < b) можно организовать двумяспособами, подходя к точке x слева или справа lim f(x) = f(xo – 0), lim f(x) = f(xo + 0)
x xo - 0 x xo + 0
Это левосторонний и правосторонний пределы.
Опр.3 Функция y = f(x) наз. непрерывной в точке хo, если ее левосторонний и правосторонний пределы совпадают f(xo – 0) = f(xo+ 0) = f(xo)
Опр. Функция y = f(x) наз. непрерывной на промежутке [a,b], если она непрерывна в каждой его точке. На концах lim f(x) = f(a), lim f(x) = f(b)
x a + 0 x b - 0
Точки разрыва.
Непрерывность функции может быть нарушена в отдельных точках. Три типа точек разрыва:
1) x0 - устранимая точка разрыва, когда f(x0 - 0) = f(x0 + 0), но в самой точке х0 функция не определена;
2) x0 - точка разрыва 1 рода, когда f(x - 0) f(x + 0), но пределы конечны;
3) x0 - точка разрыва 2 рода, когда f(x - 0) f(x + 0) и пределы бесконечны;
Пр.
y = sinx/ x, x = 0 f(x) = |x| /x, x = 0 y = 1/x, x = 0
Свойства функций, непрерывных в точке.
1) Если функции g(x) и h(x) непрерывны в точке хo, то функции g(x) + h(x),
|
g(x) h(x), g(x)/h(x) при h(xo) 0 также являются непрерывными функциями.
lim (g(x) + h(x)) = lim g(x) + lim h(x) = g(xo) + h(xo)
x xo x xo x xo
Для остальных функций доказательство аналогично.
2) Сложная функция, составленная из непрерывных функций, также является непрерывной.
Док-во. Пусть функция y = g(z) непрерывна в точке zo, а z = h(x) в точке хo, причем, zo = h(xo). По определению непрерывности lim h(x) = zo, lim g(z) = g(zo)
x – xo z – zo
Т.к. предел сложной функциипри х хo равен значению функции в точке хo
lim g(h(x)) = lim g(z) = g(zo) = g (h(xo))
то функция является непрерывной.
Следствие. Элементарные функции образуются из основных элементарных функций с помощью арифметических операций или являются их суперпозициями. Поскольку основные элементарные функции непрерывны, то в силу свойств 1) и 2) все составленные из них элементарные функции также непрерывны и изображаются на графиках сплошными линиями в области своего определения.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!