Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Основы обеспечения единства измерений: Обеспечение единства измерений - деятельность метрологических служб, направленная на достижение...
Интересное:
Национальное богатство страны и его составляющие: для оценки элементов национального богатства используются...
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Дисциплины:
2017-11-27 | 879 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть на прямой l дан проективный репер . Рассмотрим А, В, С, D Î l
Пусть точка D в репере R имеет координаты D (х 1: х 2)
Определение 27
Число называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек и записывается (АВ, СD), т.е.
. (5.3)
Теорема 4 (о существовании и единственности точки D)
Если А, В, С – различные точки прямой, а l – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что (АВ, СХ)= l
Дано: прямая l, точки А, В, С Î l,
l – действительное число,
Доказать: $(!) Х / Х Î l, (АВ, СХ)= l
Доказательство.
На прямой l введем репер .
Рассмотрим точку Х (l; 1)
1) Существование.
По определению сложного отношения
Значит, точка Х, удовлетворяющая требованиям существует.
2) Единственность.
Предположим противное.
Пусть существует точка Х′ (х 1; х 2),
такая, что (АВ, СХ ′)= l.
Тогда по определению
Это означает, что точки Х (l; 1) и Х′ (х 1; х 2) имеют пропорциональные координаты и задают на прямой l одну и ту же точку, т.е. Х = Х′
Теорема 5 (о координатах точки D)
Если точки А, В, С, D, принадлежащие прямой l, имеют в репере R координаты A(а 1: а 2 ), B(b 1: b 2 ), C(с 1: с 2 ), D(d 1: d 2 ), причем точки A, B, C различны и точка D не совпадает с точкой А, то
. (5.4)
Дано: произвольный репер R,
прямая l, точки А, В, С, D Î l,
Точки A, B, C различны, D≠А,
A (а 1: а 2) R, B (b 1: b 2) R, C (с 1: с 2) R, D (d 1: d 2) R
Доказать:
Доказательство.
Рассмотрим репер из данных точек . Запишем матрицу перехода от R к R 0:
, где – условие согласованности координат.
Найдем коэффициенты a, b:
, , ,
откуда по формулам Крамера
.
Запишем формулы преобразования при переходе от R к R 0:
|
.
Так как точка D (d 1: d 2) R, и D (х 1: х 2) R ′, тогда формулы будут выглядеть так:
.
Откуда , , ,
откуда по формулам Крамера:
Тогда
Таким образом,
Теорема 2 позволяет вычислить сложное отношение по координатам точек и, наоборот, координаты точки D (х 1: х 2), если известно сложное отношение точек (АВ, СD).
Задача.
Дано: , А (1:0), В (1:1), С (0:1), D (d 1: d 2).
Найти: (АВ, СD).
Решение.
По теореме 2
(5.5)
Пример 1. Дано: ,
А (1:0), В (1:1), С (0:1), (АВ, СD)=2
Найти координаты точки D.
Решение.
Так как (АВ, СD)=2, то
.
Откуда D (1:–1) с точностью до пропорциональности.
Свойства сложного отношения (АВ, СD):
1. Двойное отношение обладает свойством симметричности
(АВ, СD)=(ВА, DС)
2. Сложное отношение не изменится от перестановки базисной и делящей пар точек
(АВ, СD)= (СD, АВ)
3. Если D=С, то (АВ, СС)=1
4. Если D=В, то (АВ, СВ)=0
5. Если (АВ, СD)<0, то пара АВ разделяет пару СD.
6. Если (АВ, СD)>0, то пара АВ не разделяет пару СD.
7. ,
если (АВ, СD)≠0
8. (АВ, СD)=(ВА, DС).
9. (АВ, СD)+(АС, ВD)=1.
Понятие разделенности пар точек не зависит от порядка рассматриваемых пар точек.
(Задание: свойства 3,4,7-9 самостоятельно «проверить на определителях»)
Геометрический смысл сложного отношения точек
Теорема 6
Если А, В, С, D – собственные точки расширенной прямой l, а Р¥ – ее несобственная точка, то
, (8.1)
(АВ, СР ¥)= – (АВ, DР ¥), (8.2)
где и – простые отношения соотв. точек.
Доказательство
(по определению 2).
Можно показать, что это выполняется и по теореме 2.
Выберем репер .
Запишем координаты базисных точек:
Р ∞(1:0), А (0:1), В (1:1).
Пусть C (с 1: с 2), D (d 1: d 2). Пусть
, .
1) Тогда по формуле (7):
т.к. .
2) Если А (х 1: х 2) – проективные координаты точки и , то А (l) – аффинные координаты .
Тогда А (0), В (1), С (с), D (d) – координаты в аффинной системе координат .
(8.3)
,
,
(8.4)
Сложное отношение
Четырех прямых пучка
Определение 28
Простым отношением трех прямых пучка называют отношение
|
,
где прямая с – делящая, прямые а и b – основные (базисные).
Определение 29
Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех прямых пучка называется отношение двух простых отношений прямых этого пучка
(8.5)
Точки А, В называют базиснойпарой, точки C, D – делящей парой.
(Задание 4: понятие сложного отношения четырех прямых пучка – с.32-34-Ат.)
|
|
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!