Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-27 | 1163 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Проблема
Рассмотрим инварианты геометрий: Отношения между точками прямой
Евклидова геометрия | Равенство расстояний между точками |
Аффинная геометрия | Отношение расстояний между тремя точками прямой |
Проективная геометрия | ? |
Повторение
На языке векторов: Задача о делении отрезка в данном отношении.
Точка С делит направленный отрезок
в отношении l, если
()
Точка С делит отрезок АВ внутренним образом, если l >0,
внешним образом, если l <0.
При l =1 точка С – середина отрезка АВ.
Простое отношение точек
На расширенной аффинной прямой
Определение 25
Простым отношением трех точек прямой называют отношение
, (5.1)
где точка С – делящая, точки А и В – основные (базисные).
Пусть дана расширенная (собственная с несобственной точкой) прямая l. Точки А и В – фиксированные точки прямой l.
Выберем на ней направление:
положительное АВ, отрицательное ВА.
Пусть С – точка прямой, .
1) Рассмотрим
простое отношение для собственных точек прямой:
С¹A, С¹В
С=А (отрезок АА – нулевой)
С=В (отрезок ВВ – нулевой)
т.к. ,
С=С 0, где С 0 – середина АВ
т.к.
2) Рассмотрим
простое отношение для несобственной точки прямой:
С=Р∞
т.к. при С ® Р∞, ВС ® ∞,
СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ
Простое отношение точек не является инвариантом центрального проектирования. Покажем это, для этого достаточно одного примера.
Пусть дан пучок прямых a, b, c с центром О.
Пересечем этот пучок прямых двумя прямыми m, n и
отметим точки пересечения.
Пересечем так, что АО < ВО, А′О > В′О. Пусть ОС – биссектриса треугольника АВС. Тогда ОС′ – биссектриса треугольника А′В′С′
|
.
Значит, простое отношение не сохраняется.
Понятие между точками прямой, которое является инвариантом центрального проектирования и заменяет простое отношение трех точек прямой – сложное отношение четырех точек прямой.
Из материала предыдущих лекций знаем, что на проективной прямой l рассматривают четыре точки – две пары точек AB, CD
Пара точек A и B разделяет пару точек C и D.
Определение 26
Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых отношений трех точек
(5.2)
Точки А, В называют базиснойпарой,
точки C, D – делящей парой.
Сложное отношение точек в координатах
Пусть на прямой l дан проективный репер . Рассмотрим А, В, С, D Î l
Пусть точка D в репере R имеет координаты D (х 1: х 2)
Определение 27
Число называется сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек и записывается (АВ, СD), т.е.
. (5.3)
Теорема 4 (о существовании и единственности точки D)
Если А, В, С – различные точки прямой, а l – любое действительное число, то на данной прямой существует одна и только одна
точка Х, такая, что (АВ, СХ)= l
Дано: прямая l, точки А, В, С Î l,
l – действительное число,
Доказать: $(!) Х / Х Î l, (АВ, СХ)= l
Доказательство.
На прямой l введем репер .
Рассмотрим точку Х (l; 1)
1) Существование.
По определению сложного отношения
Значит, точка Х, удовлетворяющая требованиям существует.
2) Единственность.
Предположим противное.
Пусть существует точка Х′ (х 1; х 2),
такая, что (АВ, СХ ′)= l.
Тогда по определению
Это означает, что точки Х (l; 1) и Х′ (х 1; х 2) имеют пропорциональные координаты и задают на прямой l одну и ту же точку, т.е. Х = Х′
Теорема 5 (о координатах точки D)
Если точки А, В, С, D, принадлежащие прямой l, имеют в репере R координаты A(а 1: а 2 ), B(b 1: b 2 ), C(с 1: с 2 ), D(d 1: d 2 ), причем точки A, B, C различны и точка D не совпадает с точкой А, то
|
. (5.4)
Дано: произвольный репер R,
прямая l, точки А, В, С, D Î l,
Точки A, B, C различны, D≠А,
A (а 1: а 2) R, B (b 1: b 2) R, C (с 1: с 2) R, D (d 1: d 2) R
Доказать:
Доказательство.
Рассмотрим репер из данных точек . Запишем матрицу перехода от R к R 0:
, где – условие согласованности координат.
Найдем коэффициенты a, b:
, , ,
откуда по формулам Крамера
.
Запишем формулы преобразования при переходе от R к R 0:
.
Так как точка D (d 1: d 2) R, и D (х 1: х 2) R ′, тогда формулы будут выглядеть так:
.
Откуда , , ,
откуда по формулам Крамера:
Тогда
Таким образом,
Теорема 2 позволяет вычислить сложное отношение по координатам точек и, наоборот, координаты точки D (х 1: х 2), если известно сложное отношение точек (АВ, СD).
Задача.
Дано: , А (1:0), В (1:1), С (0:1), D (d 1: d 2).
Найти: (АВ, СD).
Решение.
По теореме 2
(5.5)
Пример 1. Дано: ,
А (1:0), В (1:1), С (0:1), (АВ, СD)=2
Найти координаты точки D.
Решение.
Так как (АВ, СD)=2, то
.
Откуда D (1:–1) с точностью до пропорциональности.
Свойства сложного отношения (АВ, СD):
1. Двойное отношение обладает свойством симметричности
(АВ, СD)=(ВА, DС)
2. Сложное отношение не изменится от перестановки базисной и делящей пар точек
(АВ, СD)= (СD, АВ)
3. Если D=С, то (АВ, СС)=1
4. Если D=В, то (АВ, СВ)=0
5. Если (АВ, СD)<0, то пара АВ разделяет пару СD.
6. Если (АВ, СD)>0, то пара АВ не разделяет пару СD.
7. ,
если (АВ, СD)≠0
8. (АВ, СD)=(ВА, DС).
9. (АВ, СD)+(АС, ВD)=1.
Понятие разделенности пар точек не зависит от порядка рассматриваемых пар точек.
(Задание: свойства 3,4,7-9 самостоятельно «проверить на определителях»)
Теорема 6
Если А, В, С, D – собственные точки расширенной прямой l, а Р¥ – ее несобственная точка, то
, (8.1)
(АВ, СР ¥)= – (АВ, DР ¥), (8.2)
где и – простые отношения соотв. точек.
Доказательство
(по определению 2).
Можно показать, что это выполняется и по теореме 2.
Выберем репер .
Запишем координаты базисных точек:
Р ∞(1:0), А (0:1), В (1:1).
Пусть C (с 1: с 2), D (d 1: d 2). Пусть
, .
1) Тогда по формуле (7):
т.к. .
2) Если А (х 1: х 2) – проективные координаты точки и , то А (l) – аффинные координаты .
Тогда А (0), В (1), С (с), D (d) – координаты в аффинной системе координат .
(8.3)
,
,
(8.4)
Сложное отношение
|
Четырех прямых пучка
Определение 28
Простым отношением трех прямых пучка называют отношение
,
где прямая с – делящая, прямые а и b – основные (базисные).
Определение 29
Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех прямых пучка называется отношение двух простых отношений прямых этого пучка
(8.5)
Точки А, В называют базиснойпарой, точки C, D – делящей парой.
(Задание 4: понятие сложного отношения четырех прямых пучка – с.32-34-Ат.)
Определение 30
Если (АВ, СD)= –1, то пара точек А, В гармонически разделяетпару точек С, D или, еще говорят, гармонически сопряжена с парой точек С, D.
(АВ, СD)= –1 (8.6)
Свойство гармонически разделенных пар:
(АВ, СD)=(ВА, СD)=(АВ, DС)=(СD, АВ)=–1.
Полный четырехвершинник
Определение 31
Фигура, состоящая из четырех точек плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой (общего положения), и шести прямых, соединяющих попарно эти точки, называется полным четырёхвершинником.
Вершины – A, B, C, D.
Стороны – АВ, ВС, АD, АС, CD, BD.
Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными.
Стороны АВ и CD – противоположные, ВС и АD – противоположные, АС и ВD – противоположные.
Точки пересечения противоположных сторон
называются диагональными точками
четырёхвершинника.
Точки P,Q,R – диагональные.
Прямые PQ, PR, QR – диагонали.
Теорема 8
Следствие 1.
Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки.
Две вершины А и В, лежащие на стороне полного четырехвершинника АВ, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки Q и точки N, в которой эта сторона пересекает диагональ РR, проходящую через две другие диагональные точки
(АВ, QN) = –1
Следствие 2.
Две противоположные стороны полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали, проходящие через точку пересечения этих
сторон.
Две противоположные стороны АВ и DC полного четырехвершинника гармонически разделяют две диагонали QR и QP, проходящие через точку Q пересечения этих сторон.
|
Определение 32
Пару точек К и М произвольной прямой называют гармонически сопряжённой с парой точек Q и R той же прямой, если Q и R – диагональные точки некоторого четырёхвершинника, а точки К и М – точки пересечения этой прямой QR с двумя противоположными сторонами четерёхвершинника AD и ВС, проходящими через третью диагональную точку Р.
По трем точкам
Дано: точки P,Q,М Î l
Построить: точку Х / (PQ,MX)=–1.
Решение.
Строим полный четырехвершинник с диагональными точками P и Q.
Дано: | |
Строим прямую р Э Р (р≠l) | |
Отмечаем две вершины – точки А и В | |
Проводим прямые QA (сторона), QB (сторона), MA | |
Отмечаем точку С = QB Ç МА | |
Строим прямую РС | |
Отмечаем точку D = РС Ç АQ | |
Четырехвершинник ABCD | |
Проводим сторону BD Полный четырехвершинник ABCD | |
Отмечаем точку X=BD Ç PQ |
Здесь: точки Р и Q – диагональные точки, точка М – точка пересечения диагонали PQ со стороной, проходящей через третью диагональную точку R:
Примечания.
1. Понятие, двойственное полному четырехвершиннику, – полный четырехсторонник – фигура, состоящая из четырех прямых общего положения (никакие три не проходят через одну точку) и шести точек их пересечения.
2. Аналогично теореме Дезарга для двух трёхвершинников, существует подобная теорема для двух четырёхвершинников.
Теорема 9
Пусть даны ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 – два четырёхвершинника с двумя общими диагональными точками P и Q – пересечениями противоположных сторон AB, CD и A 1 B 1, C 1 D 1; AC, BD и A 1 C 1, B 1 D 1. Тогда, если стороны BC и B 1 C 1 четырёхвершинников пересекаются в точке S прямой PQ, то стороны AD и A 1 D 1 пересекаются в точке T этой же прямой.
Если пара точек P и Q гармонически сопряжена с парой точек S и T, то и обратно пара точек S и T гармонически сопряжена с P и Q.
Пары взаимно гармонические. Как и свойство взаимной разделенности пар, свойство гармонической сопряжённости инвариантно относительно проектирования (это инвариант проективной геометрии), т.e. если P, Q и S, T гармонически сопряжённые пары, то после проектирования из некоторого центра O на прямую и получим тоже гармонически сопряжённые пары P 1, Q 1 и S 1, T 1.
Определение 33
Взаимнооднозначное отображение f множества точек прямой l на множество точек l¢ называется проективным, если оно сохраняет сложное отношение четырех точек.
Теорема 10
Если и – произвольные реперы прямых l и l¢, то существует единственное проективное отображение, который репер R переводит в R¢.
Пусть l и l¢ – прямые, S – точка, не лежащая на них. Каждой точке М Î l поставим в соответствие М ¢Î l ¢, так что М ¢ – проекция М из точки S:
|
f: М ® М ¢.
Так как l и l¢ пересекаются, то f – взаимнооднозначное, т.е. отображение единственно. При таком отображении сохраняется сложное отношение четырех точек, т.е. f – проективное отображение.
f: l ® l ¢.
Определение 34
Отображение f: l ® l¢, М ® М¢ (М Î l, М¢ Î l¢), при котором точки S, М и М¢ коллинеарны, называется перспективным отображением с центром S прямой l на прямую l¢.
Следствие
Если даны две произвольные прямые, то существует бесконечное количество проективных отображений одну из них на другую.
http://shedevrs.ru/materiali/254-perspektiva.html
Теорема 11
Для того чтобы проективное отображение f: l ® l¢ было перспективным, необходимо и достаточно, чтобы точка пересечения прямых l и l¢ переходила сама в себя.
Теорема 12 (Теорема Паппа)
Пусть A, B, C – точки одной прямой, A', B', C' – точки другой прямой. Пусть прямые АВ', BC', CA' пересекают прямые A'B, B'C, C'A соответственно в точках X, Y, Z. Тогда точки X, Y, Z лежат на одной прямой.
Перспективное отображение – частный случай проективных отображений.
Определение 35
Нетождественное преобразование f проективной прямой называется инволюцией, если оно совпадает со своим обратным.
Если инволюция имеет две неподвижные точки, то она называется гиперболической, если не имеет, то – эллиптической.
Домашнее задание: составьте таблицу «Виды проективных преобразований прямой и плоскости»
Вид преобразования | Определение |
Проективные преобразования прямой | |
1. Инволюция | Нетождественное преобразование проективной прямой, совпадающее со своим обратным |
Гиперболическая | Имеет 2 неподвижные точки |
Эллиптическая | Не имеет неподвижных точек |
Проективные преобразования плоскости | |
1. Инволюция | |
2. Коллинеации | |
Гомологии | |
Перспектива (центральное проектирование) | |
Линии второго порядка
На проективной плоскости
Точкой будем называть любую тройку чисел не равных одновременно нулю.
Определение.
Определение 36
Множество всех точек проективной плоскости, координаты которых в репере R удовлетворяют уравнению вида:
называется коническим сечением или линией второго порядка на проективной плоскости.
Ранг квадратичной формы , , называется рангом линии второго порядка.
Линия второго порядка называется невырожденной (вырожденной), если .
Любая прямая пересекает невырожденную линию второго порядка не более чем в двух точках.
Понятие линии второго порядка и ее ранга сохраняется при любом проективном плоскости, то есть данные понятия являются проективными.
Проблема
Рассмотрим инварианты геометрий: Отношения между точками прямой
Евклидова геометрия | Равенство расстояний между точками |
Аффинная геометрия | Отношение расстояний между тремя точками прямой |
Проективная геометрия | ? |
Повторение
На языке векторов: Задача о делении отрезка в данном отношении.
Точка С делит направленный отрезок
в отношении l, если
()
Точка С делит отрезок АВ внутренним образом, если l >0,
внешним образом, если l <0.
При l =1 точка С – середина отрезка АВ.
Простое отношение точек
на расширенной аффинной прямой
Определение 25
Простым отношением трех точек прямой называют отношение
, (5.1)
где точка С – делящая, точки А и В – основные (базисные).
Пусть дана расширенная (собственная с несобственной точкой) прямая l. Точки А и В – фиксированные точки прямой l.
Выберем на ней направление:
положительное АВ, отрицательное ВА.
Пусть С – точка прямой, .
1) Рассмотрим
простое отношение для собственных точек прямой:
С¹A, С¹В
С=А (отрезок АА – нулевой)
С=В (отрезок ВВ – нулевой)
т.к. ,
С=С 0, где С 0 – середина АВ
т.к.
2) Рассмотрим
простое отношение для несобственной точки прямой:
С=Р∞
т.к. при С ® Р∞, ВС ® ∞,
СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК ПРЯМОЙ
Простое отношение точек не является инвариантом центрального проектирования. Покажем это, для этого достаточно одного примера.
Пусть дан пучок прямых a, b, c с центром О.
Пересечем этот пучок прямых двумя прямыми m, n и
отметим точки пересечения.
Пересечем так, что АО < ВО, А′О > В′О. Пусть ОС – биссектриса треугольника АВС. Тогда ОС′ – биссектриса треугольника А′В′С′
.
Значит, простое отношение не сохраняется.
Понятие между точками прямой, которое является инвариантом центрального проектирования и заменяет простое отношение трех точек прямой – сложное отношение четырех точек прямой.
Из материала предыдущих лекций знаем, что на проективной прямой l рассматривают четыре точки – две пары точек AB, CD
Пара точек A и B разделяет пару точек C и D.
Определение 26
Сложным (двойным или ангармоническим) отношением четырех точек прямой называется отношение двух простых отношений трех точек
(5.2)
Точки А, В называют базиснойпарой,
точки C, D – делящей парой.
|
|
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!