История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Интересное:
Искусственное повышение поверхности территории: Варианты искусственного повышения поверхности территории необходимо выбирать на основе анализа следующих характеристик защищаемой территории...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-11-27 | 362 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Пусть – одномерная функция отклика. Ее оценка в любой точке имеет вид:
. (15)
Если – МНК-оценка вектор-столбца неизвестных параметров β = (b1 b2... b p) T, полученная по наблюдениям в точках x 1, x 2,..., x N, и ранг матрицы планирования X равен p, то оценка (15) является несмещенной и при заданной матрице плана (12) в классе линейных несмещенных оценок имеет минимальную дисперсию.
Пример 1. Пусть ; тогда оценка будет иметь вид .
Если столбцы матрицы планирования попарно ортогональны, т. е. при i ¹ j (i, j = 1, 2,..., p) выполняются равенства
fi (x 1) fj (x 1) + fi (x 2) fj (x 2) +... + fi (x N) fj (x N) = 0, (16)
то говорят, что имеет место ортогональное планирование.
Обозначим X j = (fj (x 1), fj (x 2),..., fj (x N)), тогда имеем
fi (x 1)2 + fi (x 2)2 +... + fi (x N)2 = | X j |2 . (17)
Заметим, что вектор X j, рассматриваемый как вектор‑столбец, совпадает с j -м столбцом матрицы X, поэтому из (16) и (17) следует
,
откуда и по формуле (9)
.
Отсюда при всех j = 1, 2,..., p следует
. (18)
Равенство (10) показывает, что МНК-оценки (18) некоррелированы и при этом .
Пример 2. Пусть , и . Тогда f 0(x) = 1, f 1(x) = x,
,
причем , так что имеет место ортогональное планирование. Поскольку
| X 1|2 = 12 + 12 + + 12 + 12 = 4,
,
то по формуле (18) получаем
,
.
Если планирование не является ортогональным, но матрицу X можно разбить на подматрицы: X = (X 1 X 2... X l) так, что будет (i < j; i, j = 1, 2,..., l; O – нулевая матрица), то для оценок можно получить формулу, обобщающую формулу (18). Например, пусть имеет место случай l = 2, т. е.
,
где . Пусть β = (b1 b2... b p) T, β 1 = (b1 b2... b q) T и β 2 = (b q +1 b q +2... b p) T, тогда .
В п. 3 было доказано, что МНК-оценка вектора удовлетворяет нормальному уравнению (8), поэтому имеем , или, поскольку ,
|
.
Отсюда следует , , и, таким образом, получаем формулы
, . (18´)
Пример 3. Пусть заданы , и вектор-столбец наблюдений .
Тогда fj (x) = xj (j = 1, 2, 3, 4), следовательно, . Полагая , где , , имеем , , .
По формулам (18´) находим
,
.
8. Оценивание параметров модели при повторных наблюдениях. Пусть задана функция отклика, определенная в области G: . Введем в рассмотрение вектор-функцию f = (f 1, f 2,..., fp) (отождествляемую, как обычно, с одностолбцовой матрицей (f 1 f 2... fp) T ). Тогда функцию отклика можно записать в матричном виде
.
Пусть также задан план, спектр которого m 1, m 2,..., mn (mi – число наблюдений в точке x i).
Наблюдения в одной точке называют повторными. Матрица плана при наличии повторных наблюдений имеет вид , где каждый блок – матрица размера , имеющая одинаковых строк. Вектор-столбец наблюдений можно записать в виде , где блок соответствует матрице .
Матрица планирования также может быть записана в блочном виде: , где – матрица размера (i = 1, 2,..., n). Отсюда где
,
так что и, следовательно,
. (19)
Определим теперь матрицы
, .
Матрица состоит из строк матрицы , отвечающих различным точкам плана.
Легко убедиться, что . Отсюда и из (19) следует матричное равенство
. (20)
Обозначим (среднее значение повторных наблюдений в точке , i = 1, 2,..., n), тогда получаем
,
где обозначено .
Используя этот результат и формулы (9) и (20), получаем .
Если, в частности, , при всех i = 1, 2,..., n, то и тогда имеем .
Пример. Пусть даны функция отклика и матрица плана
.
Знаком «» указаны наблюдения в соответствующих точках плана. Здесь , а значит, .
Имеем , , , где ; . Следовательно, = = .
§ 2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика и гипотеза адекватности
1. Дополнительные сведения из дисперсионного анализа. В этом параграфе будет предполагаться, что наблюдения yis (i = 1, 2,..., n; s = 1, 2,..., mi) нормально распределены и при этом выполняются условия:
|
; , (1)
где , – матрица размера с одинаковыми строками (i =1, 2,..., n), β = (b1 b2... b p) T и .
Из первого уравнения (1) получаем при всех i = 1, 2,..., n где обозначено . Следовательно, имеем
(i = 1, 2,..., n; s = 1, 2,..., ml).
Положим , ( – произвольный вектор-столбец размерности p). Возведем в квадрат обе части тождества и просуммируем по s и по i. Получим
поскольку (i = 1, 2,..., n). Таким образом, имеем равенство
S 0 = S 1 + S 2, (2)
где обозначено , , . Предположим теперь, что эти суммы получены при условии, что – МНК-оценка вектора β параметров функции отклика, найденная в п. 8 § 1, и введем в рассмотрение следующие величины
, , .
Можно доказать, что при сделанных предположениях эти величины обладают свойствами, аналогичными свойствам величин , и , установленным в пунктах 3 и 4 § 4 гл. 1. Именно, все они являются несмещенными оценками дисперсии s2 и при этом случайные величины
, и
распределены по закону с числами степеней свободы соответственно N – p, n – p и N – n, причем две последние из них являются независимыми.
2. Доверительные интервалы для параметров функции отклика. Напомним (см. гл. 1, § 2, п. 1), что доверительным интервалом называют интервал, который с заданной надежностью g покрывает оцениваемый параметр.
Пусть – вектор-столбец МНК-оценок параметров функции отклика. Поскольку , где y – случайный вектор с независимыми компонентами, распределенными по нормальному закону, то все также распределены по нормальному закону. Так как МНК-оценки являются несмещенными (см. § 1, п. 3), имеем (j = 1, 2,..., p). Кроме того, равенство (10) из п. 4 § 1 показывает, что , где – элемент матрицы . Значит, случайная величина
распределена по нормальному закону c параметрами Mx = 0 и Dx = 1. Обозначим также
,
где сумма S 0 построена по оценкам так же, как в п. 1. Поскольку эта случайная величина распределена по закону χ2 с числом степеней свободы N – p, случайная величина
(3)
распределена по закону Стьюдента с N – p степенями свободы.
При заданном g (0 < g < 1) по таблице для распределения Стьюдента можно найти число t g, удовлетворяющее уравнению P (| tN-p | < t g) = g, так что с вероятностью g будем иметь , или, что равносильно,
,
откуда следует что – доверительный интервал для параметра с надежностью g.
|
Замечание. Случайная величина (3) может быть использована для проверки гипотезы H 0 о том, что некоторый параметр функции отклика равен 0. Действительно, если эта гипотеза верна, то получаем
,
причем эта случайная величина должна распределяться по закону Стьюдента с N – p степенями свободы. При альтернативной гипотезе HA: критическая область является двусторонней. Найдем для заданного уровня значимости a и числа степеней свободы N – p по таблице 4 правую критическую точку . Тогда имеем следующие возможности: , в этом случае нет оснований отвергать гипотезу H 0; если же , то гипотеза H 0 отвергается.
3. Проверка гипотезы адекватности модели. Пусть определенная в области G функция отклика
неизвестна, т. е. неизвестны функции и параметры b j, и задан спектр плана: ; , где . Если – повторные наблюдения в точке x i (i = 1, 2,..., n), то матрица плана имеет вид , где – матрица размера , строки которой одинаковы, и – вектор-столбец наблюдений в точке x i, соответствующий матрице (это соответствие показано стрелками).
Положим
, (4)
где – заданные функции.
Гипотезу H 0 о том, что при всех x Î G выполняется равенство , называют гипотезой адекватности регрессионной модели или функции отклика (4). Она проверяется при альтернативной гипотезе H А: .
Если гипотеза H 0 верна, то МНК-оценка функции отклика равна
.
Пусть и (i = 1, 2,..., n). Рассмотрим суммы
,
, где .
Как доказано в п. 1, для таких сумм имеет место равенство (2). Заметим также, что сумма S 1 должна, очевидно, быть небольшой, если модель адекватна, так что ее величина является характеристикой степени адекватности; сумма S 2 связана с дисперсией ошибок наблюдения, поэтому ее называют ошибкой эксперимента. Обозначим
, .
Если гипотеза H 0 верна, то эти величины совпадают соответственно с величинами и , рассмотренными в п. 1, значит, случайные величины
и
независимы и распределены по закону с числами степеней свободы соответственно и N – n. Отсюда следует, что если основная гипотеза верна, то случайная величина
имеет распределение Фишера с и N – n степенями свободы.
|
Вычислив и найдя по таблице распределения Фишера по уровню значимости a и степеням свободы n – p 0 и N – n , получаем следующие возможности:
, в этом случае нет оснований отвергать основную гипотезу;
, тогда основную гипотезу отвергаем.
Если гипотеза H 0 отвергается, модель (4) считается неадекватной и приходится выбирать другую модель. Выбор новой модели зависит от характера задачи, стоящей перед исследователем. Может возникнуть необходимость в проведении дополнительных наблюдений для проверки новой гипотезы.
§ 3. Полные факторные эксперименты типа 2 k.
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!