Модуль 2. Функции нескольких переменных

Лекция 5. Метрика и окрестности в . Граница множества. Открытые, замкнутые, ограниченные и связные множества в . Скалярная функция нескольких переменных (ФНП). Линии и поверхности уровня. Предел и непрерывность ФНП в точке, на множестве. Свойства ФНП, непрерывной на: (а) связном множестве; (б) замкнутом и ограниченном множестве. Частные производные ФНП, геометрическая интерпретация для . Частные производные высших порядков, теорема о независимости смешанных частных производных высших порядков от порядка дифференцирования. Матрица Гессе.

Лекция 6. Дифференцируемость ФНП. Необходимые условия, достаточное условие дифференцируемости. Полный дифференциал ФНП. Необходимые и достаточные условия того, что выражение является полным дифференциалом необходимость с доказательством. Производная сложной функции. Частная и полная производные ФНП. Инвариантность формы первого дифференциала. Неявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявной ФНП. Градиент и производная ФНП по направлению, их свойства.

Лекция 7. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения. Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных. Экстремум ФНП. Необходимое условие существования экстремума. Достаточные условия экстремума (формулировка с помощью матрицы Гессе).

Лекция 8. Условный экстремум ФНП, его геометрическая интерпретация (при ), функция Лагранжа. Необходимое условие существования условного экстремума. Достаточные условия. Векторная ФНП как отображение . Матрица Якоби векторной ФНП, якобиан (при ). Производная сложной векторной ФНП в матричной форме.

УПРАЖНЕНИЯ

МОДУЛЬ 1: ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

Занятие 1. Линейное пространство. Линейная зависимость. Базис и размерность пространства. Переход к новому базису.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.1–4.9 (неч.), 4.15, 4.17, 4.21, 4.24, 4.28, 4.30, 4.37 или

ДЛ-3, гл. 3: 7–17 (неч.), 21–25 (неч.), 29–33 (неч.), 40, 53–57(неч.), 63.

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.2–4.10 (четн.), 4.16, 4.18, 4.19, 4.25, 4.31 или

ДЛ-3, гл. 3: 8–14 (четн.), 22–26 (четн.), 30–34 (четн.), 42, 54–58 (четн.), 64.

Занятие 2. Ранг системы векторов. Линейная оболочка системы векторов. Подпространство линейного пространства.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.45–4.53 (неч.) или

ДЛ-3, гл. 3: 73–77 (неч.), 87–91 (неч.), 95–99 (неч.).

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.46, 4.48, 4.52, 4.54 или

ДЛ-3, гл. 3: 74–78 (четн.), 88–92 (четн.), 96–100 (четн.), гл. 4: 6–12 (четн.), 32, 38.

Занятие 3. Евклидовы пространства. Процесс ортогонализации Грама – Шмидта.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (а), 4.64 (а), 4.65 (а,б), 4.67–4.76 (неч.), или

ДЛ-3, гл. 4: 5–12 (неч.), 17– 24 (неч.), 31, 37, 39, 47, 49, 53, 57, 59.

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.63 (б), 4.64 (б), 4.65 (в), 4.67–4.76 (четн.) или

ДЛ-3, гл. 4: 5–12 (четн.) 17–24 (четн.), 32, 38, 48, 50, 54, 58, 60.

Занятие 4. Линейные операторы и их матрицы. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Действия над линейными операторами.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.83 – 4.99 (неч.), 4.103, 4.106 (б), 4.107, 4.110, 4.113 или

ДЛ-3, гл. 5: 1, 5, 7, 21, 23, 25, 32 (а), 33 (а), 44, 45 (а), 47, 49, 51 (а, б), 71.

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.84, 4.86, 4.90 – 4.100 (четн.), 4.102, 4.104, 4.108, 4.110(б), 4.118 или

ДЛ-3, гл. 5: 6, 8, 22, 24, 32 (6), 33 (б), 43, 45 (б), 48, 51 (в, г), 72.

Занятие 5. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Диагонализация симметричных матриц ортогональным преобразованием.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.129, 4.131, 4.135–4.143 (неч.), 4.174, 4.183, 4.191 или

ДЛ-3, гл. 5: 75–80 (неч.). 89–100 (неч.), 155–162 (неч.).

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.130, 4.132, 4.134–4.142 (четн.), 4.176, 4.184, 4.186 или

ДЛ-3, гл. 5: 75–80 (четн). 89–100 (четн.), 156–162 (четн.).

Занятие 6. Квадратичные формы, критерий Сильвестра. Преобразование матрицы квадратичной формы при переходе к новому базису.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.225 (четн.) или

ДЛ-3, гл. 6: 13, 15, 43, 45.

Дома: ОЛ-6, гл. 4: 4.218–4.233 (неч.) или

ДЛ-3, гл. 6: 14, 16, 44, 46.

Занятия 7–8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и ортогональным преобразованием. Приведение кривых второго порядка к каноническому виду.

Ауд.: ОЛ-6, гл. 4: 4.210, 4.211, 4.213, 4.215, 4.226, 4.228, 4.231 или

ДЛ-3, гл. 6: 19, 21, 23 (б), 29, 31, 35, 47, 49, 55.

Дома: ОЛ-7, гл. 4: 4.212, 4.214, 4.216, 4.227, 4.229, 4.230 или

ДЛ-3, гл. 6: 20, 22, 23 (а), 30, 32, 36, 48, 50, 56.

Занятие 9. Рубежный контроль по модулю 1.