Вычисление сумм и произведений элементов массивов

Пакет Mathcad обладает широкими возможностями численного решения уравнений и систем уравнений.

1.2.1 Функция root, блоки Given…Find и Given…Minerr

В ходе нахождения корней уравнения обычно выделяют два этапа:

1) отделение корней − определение интервала нахождения каждого корня или определение приблизительного значения корня. В Mathcad наиболее наглядным является отделение корней уравнения графическим способом;

2) уточнение корней − нахождение численного значения корня с заданной точностью.

Точность нахождения корня устанавливается с помощью системной переменной TOL (Convergence Tolerance − Допустимое отклонение), значение которой по умолчанию равно 10^-3. Чем меньше значение TOL, тем с большей точностью, вообще говоря, находится корень уравнения.

Чтобы переопределить значение системной переменной TOL, необходимо посредством команды Math / Options открыть диалоговое окно математических свойств документа Options, перейти на вкладку Build-In Variables (Встроенные переменные) и в поле TOL (Convergence Tolerance) ввести новое значение, например, 0.0001. Это значение распространяется на весь документ Mathcad. Присваивание системной переменной TOL непосредственно в документе Mathcad нового значения, например,

, (3)

изменяет TOL для всех формульных и графических областей, расположенных правее и ниже оператора присваивания (3).

Для решения одного уравнения с одной неизвестной предназначена встроенная функция root, формат обращения к которой имеет вид:

root(f(x), x, [ a, b ]).

Данная функция возвращает значение переменной x, при котором функция f (x) обращается в ноль. Аргументы функции root:

f (x) – функция в левой части уравнения f (x) = 0;

x – переменная, относительно которой требуется решить уравнение;

a, b – необязательные действительные числа, такие что a < b, причем на интервале [ a, b ] находится только один корень.

Если функция root не может найти корни уравнения, то рекомендуется уточнить начальное приближение, изменить границы интервала [ a, b ] нахождения корня или увеличить значение системной переменной TOL.

Для решения уравнений или систем нескольких уравнений и неравенств используются функции Find или Minerr, каждая из которых завершает формирование в документе Mathcad вычислительного блока, начинающегося ключевым словом Given и включающего в себя набор уравнений и неравенств.

Функция

Find(x 1, x 2, …, x n)

возвращает значения n неизвестных x 1, x 2, … x n, обращающих уравнения в тождества, т. е. возвращает решение системы уравнений. В случае решения системы из n уравнений с n неизвестными эта функция возвращает вектор, состоящий из n элементов.

Функция Find позволяет находить и решение одного уравнения с одной неизвестной, хотя для этой цели обычно используется функция root.

Если в результате поиска не может быть получено решение с заданной точностью, то функция Find выдает сообщение об ошибке. В этом случае можно использовать функцию

Minerr(x 1, x 2, …, x n),

возвращающую решение системы уравнений или одного уравнения (число уравнений должно быть равно числу неизвестных).

Порядок применения вычислительных блоков Given..Find и Given..Minerr для численного решения уравнений и систем уравнений:

· всем неизвестным, входящим в систему, присваивается начальное приближение;

· при необходимости задаются требуемые значения системным переменным TOL и CTOL (Constraint Tolerance − Допустимое отклонение ограничений);

· вводится ключевое слово Given, начинающее вычислительный блок;

· набираются уравнения и ограничения в виде неравенств (если необходимо) в произвольном порядке, каждое в отдельной формульной области, причем для записи используются операции отношения панели Boolean (Логические). Допускается использование двусторонних неравенств вида a ≤ x ≤ b;

· применяется функция Find или Minerr.

Внутри блока решения недопустимы следующие операции и выражения:

· ранжированные переменные;

· выражения, содержащие знак ≠;

· локальное (:=) или глобальное (≡) определение переменных и функций, за исключением выражения, в с которое входит функция Find или Minerr;

· вложенный вычислительный блок.

В случае появления сообщения об ошибке вида

,

означающей, что решение не было найдено, рекомендуется изменить начальное приближение или значения системных переменных TOL и CTOL.

Пример 5. Решить уравнение

. (4)

Решение.

Приведите уравнение к стандартной форме , перенося все слагаемые в его левую часть:

(5)

Определите функцию пользователя

Вставьте в документ шаблон двумерного графика в декартовой системе координат. Для этого щелкните на пиктограмме с изображением графика сначала на панели Math (Математика), затем на панели Graph (График) или выполните команду Insert / Graph / X-Y Plot (Вставка / График / X-Y график). В документе Mathcad отобразится шаблон двумерного графика

В поле ввода █ в центре под осью абсцисс наберите имя аргумента x, а слева от оси ординат – имя функции с аргументом f (x):

Щелкните левой кнопкой мыши вне шаблона. В документе Mathcad отобразится графическая область

. .

По умолчанию Mathcad при построении графика использует стандартный диапазон изменения x от –10 до 10.

Уменьшите значения левой и правой границы x, заменив число –10 на –5, а число 10 на 5 соответственно. Введите максимальное значение функции 15, а минимальное − 10.

Отформатируйте график функции f(x). Для этого щелкните правой кнопкой мыши на графической области и выполните команду Format (Формат) контекстного меню. В окне приложения Mathcad отобразится диалоговое окно, показанное на рисунке 5.

Добавьте координатную сетку, установив флажки слева от строк Grid Lines ( Вспомогательные линии) для оси X и оси Y.

Отмените режим Autogrid и установите значения 10 и 5 в полях Number of grids (Количество линий) по оси Х и Y соответственно.

Рисунок 5 – Установка параметров форматирования декартова графика

Подтвердите внесенные изменения, щелкнув последовательно на кнопках Apply (Применить) и ОК.

Графическая область примет вид:

Назначьте стиль осей графика Crossed (Пересечение, Только оси).

После указанных преобразований график функции f (x) примет вид:

Из графика функции f (x) видно, что уравнение

(6)

имеет три корня, которые приблизительно равны: x₁» –1; x₂» 1; x₃» 2,5.

Этап отделения корней завершен.

Уточните теперь корни уравнения различными способами.

1Присвойте начальное приближение переменной x и укажите точность поиска корня:

о

Уточните заданное приближение к значению корня с помощью функции root:

Выполните проверку, подтверждающую, что первый корень найден с заявленной точностью:

. .

Начальное приближение можно не задавать при использовании в качестве аргументов root границ отрезка нахождения корня. Уточнение второго корня произведите следующим образом:

2 Присвойте начальное приближение переменой x для уточнения третьего корня:

Наберите служебное слово Given, а затем уравнение f (x) = 0, разделяя его левую и правую части знаком логического равенства (полужирное равно =), который вставляется нажатием комбинация клавиш Ctrl =, или щелчком мыши на кнопке панели Boolean (Логические). Завершите вычислительный блок оператором присваивания x 3:= Find(x) и выведите значение найденного третьего корня.

Фрагмент документа Mathcad, в котором уточняется корень уравнения с помощью вычислительного блока Given…Find, имеет вид:

3 Применение вычислительного блока Given…Minerr для нахождения первого корня осуществляется следующим образом:

Примечание − Для уточнения корня в данном примере установлена точность 0,0001. Поэтому целесообразно изменить формат вывода результатов (4 знака после десятичного разделителя) в диалоговом окне форматирования результатов на вкладке Number Format.

Пример 6. Решить систему уравнений

(7)

Решение.

Отделите решения системы графически. Определите две функции аргументов х и y соответственно, выразив для этого из первого уравнения системы у, а из второго – х:

о о

Для более детального построения графика создайте ранжированные переменные:

о о

Вставьте в документ Mathcad шаблон графика X-Y Plot. Аргументы по оси абсцисс и ординат введите через запятую. После форматирования график примет вид:

Значения координат точки, в которой пересекаются линии графиков функций, являются решением системы уравнений. Присвойте приблизительные значения координат точки пересечения в качестве начального приближения для переменных x и y:

Наберите ключевое слово Given, а затем уравнения системы, каждое в отдельной формульной области, отделяя левую и правую части знаком логического равенства = (Ctrl =). Решение уточните с помощью функции Minerr:

Выполните проверку найденного решения системы уравнений. Для этого задайте значение системной переменной ORIGIN:=1. Первый элемент вектора X − это значение переменной x, а второй − значение переменной y. Подставьте их в левые части уравнений системы и произведите вычисления:

Сравните полученные значения 1 и 0,5 со значениями правых частей уравнений (7). Видно, что они совпадают. Следовательно, система уравнений решена правильно.