История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного хозяйства...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-17 | 613 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
КУБИЧЕСКИЕ СПЛАЙНЫ.
Математически сплайн описывается полиномом k - той степени. Чаще всего используют полиномы третьей степени - кубические сплайны. Конкретный вид кубического сплайна определяется координатами точек, через которые его надо провести (концевых точек) и наклоном в этих точках.
Если требуется провести гладкую кривую между точками, то используется совокупность сплайнов - так называемые сплайновые сегменты. При этом предъявляется требование непрерывности второго порядка в местах соединений.
Уравнение единственного кубического сплайнового сегмента в параметрической форме выглядит следующим образом:
, где - вектор положения произвольной точки на сплайне.
Коэффициенты определяются координатами концов сегмента ( и ) и касательными векторами на концах и , которые являются произвольными по параметру .
Внутри сплайнового сегмента параметр меняется от до ( соответствует ).
Обычно полагают . Тогда
Отсюда получим
Окончательно имеем
,
Отсюда уравнение одного кубического сплайнового сегмента:
Кубические сплайновые кривые широко распространены, однако имеют ряд недостатков. Например, с их помощью нельзя точно передать дугу окружности, а только приближенно. Примеры:
КРИВЫЕ БЕЗЬЕ
Кривая Безье определяется несколькими точками – так называемыми вершинами многоугольника. При этом кривой принадлежат лишь первая и последняя точки, а остальные задают ее форму.
В методе Безье порядок любого криволинейного сегмента может быть увеличен путем задания дополнительных вершин.
Математически кривая Безье описывается полиномиальной функцией, построенной в так называемом базисе Бернштейна. Базисная функция в нем задается соотношением
|
, где ,
Здесь - степень полинома; – порядковый номер отдельной вершины.
Точки кривой в базисе Бернштейна задаются как
,
то есть -й порядок полинома характеризуется – й вершиной.
В начальной точке
,
В конечной точке
То есть и , вершины и действительно являются началом и концом криволинейного сегмента.
В-СПЛАЙНЫ
Еще одним методом гладкой кривой между двумя точками (концами), форма отдельных участков которой определяется промежуточными точками, является метод В -сплайнов. Вначале определим понятие В –сплайна. Произвольная точка кривой ,то есть ее вектор положения, задается в В -сплайн базисе следующим образом:
Здесь - вершины характеристического многоугольника, ; – базисные функции; - порядок кривой; – параметр, изменяющийся в диапазоне от 0 до В отличие от метода кривых Безье, где в методе В -сплайнов величина и определяется порядком кривой, а также наличием так называемых кратных вершин
Для определения базисных функций введем понятие узлового вектора. Узловой вектор или вектор параметрических узлов представляет собой последовательность целых положительных чисел
в которой . Примерами узлового вектора является или и т. д. Значения рассматриваются как параметрические узлы, характеризующие различные интервалы изменения параметра . Размерность узлового вектора и конкретные значения узлов зависят от числа вершин задающего многоугольника, то есть от , порядка кривой и сложности вершин.
Сложная (или кратная) вершина это две или более вершины с одинаковыми координатами. В узловом векторе сложным вершинам соответствует последовательность одинаковых по величине компонент , где – кратность вершины.
Алгоритм формирования узлового вектора следующий. Входными параметрами являются:
1) массив вершин задающего многоугольника, в котором - кратная вершина представлена как - простых вершин с совпадающими координатами - массив ;
|
2) – число вершин без l;
3) – порядок кривой.
На выходе формируется вектор . Размерность вектора определяется, как , то есть
1) Для ;
2) Для , если , то если , то
3) Для
Отметим одно общее правило: начальные и конечные вершины условно считываются - кратными, однако, в отличии от кратных промежуточных вершин, это не приводит к увеличению , а лишь отражается в узловом векторе.
Теперь определим базисные функции . Они задаются рекуррентным соотношением
отсюда видно, что если порядок кривой равен , то функция , соответствующая i- вершине , не равна нулю только на промежутке то есть каждая вершина имеет ограниченное (локальное) влияние на форму кривой. Если порядок кривой равен числу вершин и отсутствуют сложные вершины, то В -сплайн кривая совпадает с кривой Безье; с уменьшением порядка форма кривой приближается к форме описывающего ее многоугольника.
При кривая полностью совпадает с многоугольником. При k = 4 – это кривая Безье; при k = 3 – промежуточное положение.
Чем выше порядок, тем больше форма кривой отличается от формы задающего многоугольника.
|
|
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!