Случай симметричного или обратносимметричного внешнего воздействия

В симметричных статически неопределимых системах, подверженных симметричному или обратносимметричному внешнему воздействию (силовому, температурному, кинематическому), при использовании симметричной основной системы упрощение системы канонических уравнений метода сил достигается за счёт обращения в нуль части её свободных членов. Если во всех единичных состояниях основной системы эпюры внутренних усилий симметричны или обратносимметричны, то в случае симметричных внешних воздействий (рис. 18.4,а) обратносимметричные неизвестные метода сил в заданном сооружении будут равны нулю, а в случае обратносимметричных воздействий (рис. 18.4,б) – симметричные неизвестные метода сил равны нулю.

Покажем это на примере рамы, подверженной симметричному силовому воздействию (рис. 18.4,а). Используя группировку неизвестных, в единичных состояниях основной системы метода сил этой рамы (рис. 18.3) будем иметь симметричные эпюры изгибающих моментов и от симметричных групповых неизвестных = 1 и = 1 и обратносимметричные – и от обратносимметричных групповых неизвестных = 1 и = 1. В системе канонических уравнений в этом случае произойдёт разделение симметричных и обратносимметричных неизвестных метода сил, и она запишется в виде двух независимых друг от друга систем уравнений:

(18.3)

(18.4)

 

При симметричном воздействии на раму в системе уравнений (18.4) свободные члены будут равны нулю, так как в основной системе метода сил эпюры изгибающих моментов в единичных состояниях и обратносимметричны, а грузовая эпюра M_F – симметрична, т.е.

Система уравнений (18.4) преобразуется в однородную:

(18.5)

В силу однозначности решения задачи по определению внутренних усилий в заданной раме, для системы линейных алгебраических однородных уравнений (18.5) имеем:

.

Если определитель системы уравнений (18.5) не равен нулю, то неизвестные этой системы уравнений равны нулю, т.е. = 0, = 0, что и требовалось доказать.

Используя систему уравнений (18.3) и аналогичный ход рассуждений, покажем, что в симметричной статически неопределимой раме от обратносимметричной нагрузки (рис. 18.4,б) симметричные неизвестные метода сил равны нулю, т.е. = 0, = 0.

Вопросы для самопроверки

1. За счёт чего может быть произведено упрощение системы канонических уравнений метода сил при расчёте на произвольное внешние воздействие (силовое, температурное, кинематическое) статически неопределимых систем, имеющих хотя бы одну ось симметрии?

2. При каких условиях произойдёт разложение системы канонических уравнений метода сил на две независимые друг от друга системы уравнений? Какой характер имеют неизвестные метода сил, содержащиеся в каждой из этих систем уравнений?

3. Задана симметричная статически неопределимая система (балка, рама или ферма). Определите степень статической неопределимости этого сооружения и выберите для его расчёта симметричную основную систему метода сил. Какой характер носят неизвестные метода сил в полученной основной системе (симметричный, обратносимметричный, несимметричный)? Произведите, при необходимости, группировку несимметричных неизвестных метода сил. Запишите в общем виде систему канонических уравнений относительно принятых неизвестных для расчёта заданного сооружения. Какие побочные коэффициенты этой системы уравнений будут равны нулю и почему? Что произойдёт с системой канонических уравнений после исключения из неё членов с нулевыми побочными коэффициентами?

4. Задано симметричное статически неопределимое сооружение, подверженное симметричному (обратносимметричному) внешнему силовому, температурному или кинематическому воздействию. Выберите симметричную основную систему метода сил, произведите, при необходимости, группировку неизвестных метода сил, запишите в общем виде систему канонических уравнений для расчёта заданного сооружения на симметричное (обратносимметричное) внешнее воздействие. Укажите неизвестные метода сил, равные нулю, при симметричном (обратносимметричном) внешнем воздействии. Объясните, почему при указанном характере внешнего воздействия эти неизвестные метода сил равны нулю?

18.6. Рекомендуемая литература

1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем: Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.

Гл. 6. Метод сил. § 6.8. Возможные упрощения при расчёте статически неопределимых систем методом сил. – С. 142–147.

2. Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В. Дар­ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высш. школа, 1986. – 607 с.

Гл. 6. Расчёт статически неопределимых систем методом сил. § 6.10. Использование симметрии. § 6.11. Группировка неизвестных. § 6.12. Симметричные и обратносимметричные нагрузки. – С. 238–245. § 6.15. Примеры расчёта рам. – С. 249–263.

3. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы: Учеб. для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащени­ков, Н.Н. Шапошников. – М.: Стройиздат, 1981. – 512 с.

Гл. XI. Метод сил. § 61. Способы разделения неизвестных в системе канонических уравнений. – С. 335–349.

4. Клейн Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. Статика стержневых систем: Учеб. пособие / Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев. – М.: Высш. школа, 1980. – 384 с.

Гл. IX. Расчёт рам методом сил. § IX.2. Использование симметрии при расчёте рам. – С. 145–159.

5. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. 2. Статически неопределимые системы: Учеб. пособие / Н.Н. Анохин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2000. – 464 с.

Гл. 5. Расчёт сооружений методом сил. § 5.1. Основная идея метода сил. Выбор рациональной основной системы. Пример 5.2. – С. 12–14. Примеры 5.6–5.9. – С. 15–19. Пример 5.11. – С. 20.

Библиографический список

1. Леонтьев Н.Н. Основы строительной механики стержневых систем: Учеб. для вузов / Н.Н. Леонтьев, Д.Н. Соболев, А.А. Амосов. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 1996. – 541 с.

2. Дарков А.В. Строительная механика: Учеб. для вузов / А.В. Дарков, Н.Н. Шапошников. – М.: Высш. школа, 1986, – 607 с.

3. Смирнов А.Ф. Строительная механика. Стержневые системы: Учеб. для вузов / А.Ф. Смирнов, А.В. Александров, Б.Я. Лащеников, Н.Н. Шапошников. – М.: Стройиздат, 1981, – 512 с.

4. Снитко Н.К. Строительная механика: Учеб. для вузов / Н.К. Снитко. – М.: Высш. школа, 1972. – 487 с.

5. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. 1. Статически определимые системы: Учеб. пособие / Н.Н. Ано­хин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 1999. – 334 с.

6. Анохин Н.Н. Строительная механика в примерах и задачах. Ч. 2. Статически неопределимые системы: Учеб. пособие / Н.Н. Ано­хин. – М.: Изд-во ассоциации строительных вузов, 2000. – 464 с.

7. Доценко И.С. Строительная механика: Учеб. пособие / И.С. Доценко. – Киев: Вища школа, 1986. – 294 с.

8. Клейн Г.К. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики. Статика стержневых систем: Учеб. пособие / Г.К. Клейн, Н.Н. Леонтьев и др. – М.: Высш. школа, 1980. – 384 с.

9. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 1. Статически определимые системы: Курс лекций (лекции № 1–7) / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2000. – 136 с.

10. Крамаренко А.А. Лекции по строительной механике стержневых систем. Ч. 2. Статически определимые системы: Курс лекций (лекции № 8–12) / А.А. Крамаренко. – Новосибирск: НГАСУ, 2000. – 104 с.

11. Крамаренко А.А. Расчёт статически неопределимых систем методом сил: Метод. указания / А.А. Крамаренко, Л.А. Ши­ро­ких. – Новосибирск: НГАСУ, 1999. – 44 с.

12. Проценко В.М. Расчёт статически неопределимых рам: Методические указания / В.М. Проценко, В.Г. Себешев. – Новосибирск: НГАС, 1993. – 56 с.

13. Крамаренко А.А. Определение перемещений в статически определимых системах. Статически неопределимые системы: Сборник задач / А.А. Крамаренко, Л.А. Ши­ро­ких. – Новосибирск: НГАС, 1996. – 40 с.

14. Себешев В.Г. Инструкция к программе "MEFOR" расчёта статически неопределимых стержневых систем в матричной форме: Учебная программа / В.Г. Себешев. – Новосибирск: НИСИ, 1988. – 14 с.

15. Себешев В.Г. Основные символы и обозначения, используемые в курсе дисциплин кафедры строительной механики / В.Г. Себешев. – Новосибирск: НГАСУ, 1998. – 27 с.