Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Топ:
Эволюция кровеносной системы позвоночных животных: Биологическая эволюция – необратимый процесс исторического развития живой природы...
Устройство и оснащение процедурного кабинета: Решающая роль в обеспечении правильного лечения пациентов отводится процедурной медсестре...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Дисциплины:
2017-11-17 | 2199 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Эта теорема устанавливает связь между абсолютным, относительным и переносным ускорениями точки при сложном движении. Ее называют теоремой Кориолиса по имени доказавшего ее французского ученого.
Теорема Кориолиса
Абсолютное ускорение точки при сложном движении равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений.
Доказательство
Запишем полученную при доказательстве теоремы сложения скоростей формулу (33) в виде:
Вычислив полную производную по времени от обеих частей этого равенства, получим
(35)
В этой формуле полная производная от абсолютной скорости равна абсолютному ускорению
а полные производные от векторов и , заданных в подвижной системе координат, следует вычислить по формуле Бура:
Тогда выражение (35) перепишется в виде
Учитывая, что локальная производная от относительной скорости равна относительному ускорению
раскрывая скобки и приводя подобные члены из последнего выражения получим
(36)
Если мысленно остановить относительное движение, положив , то из формулы (36) получим выражение для переносного ускорения:
После этого выражение (36) можно переписать в виде
(37)
где
(38)
ускорение Кориолиса.
Теорема полностью доказана. Она выражается векторным равенством (37).
Поясним далее физический смысл и методы вычисления векторов в правой части равенства (37).
Относительное ускорение характеризует изменение вектора относительной скорости за счет относительного движения. Для его вычисления надо мысленно остановить переносное движение и представить себе, что точка движется по относительной траектории. В зависимости от вида относительной траектории относительное ускорение может иметь одну или две составляющих (см. рис. 24).
|
Рис. 24
Переносное ускорение характеризует изменение вектора переносной скорости за счет переносного движения. Для его вычисления надо мысленно остановить относительное движение и представить себе, что точка движется по переносной траектории. В зависимости от вида переносной траектории переносное ускорение тоже может иметь одну или две составляющих (см. рис. 25).
Рис. 25
Ускорение Кориолиса характеризует изменение вектора относительной скорости за счет переносного движения, а также изменение вектора переносной скорости за счет относительного движения. В соответствии с формулой (38) величина кориолисова ускорения может быть вычислена как модуль векторного произведения:
(39)
где - модуль переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы координат), - модуль относительной скорости точки, α – угол между векторами и
Направление ускорения Кориолиса можно определить по правилу векторного произведения. Для этого нужно в рассматриваемой точке, совершающей сложное движение, построить векторы и , провести перпендикуляр к плоскости указанных векторов и направить ускорение Кориолиса вдоль этого перпендикуляра по правилу правого винта, поворачивая винт в сторону кратчайшего совмещения вектора с вектором (см. рис. 26).
Рис. 26
Направление ускорения Кориолиса можно также определить по правилу Жуковского. Для этого нужно спроецировать вектор на плоскость, перпендикулярную вектору , и повернуть полученную проекцию в указанной плоскости на угол в направлении переносного вращения (см. рис. 27).
Рис. 27
Отметим особо частные случаи, когда ускорение Кориолиса обращается в нуль:
1) при , т. е. в те моменты времени, когда относительная скорость
равна нулю;
2) при , т. е. если подвижная система координат движется поступательно;
|
3) при , т. е. если относительная скорость параллельна оси переносного вращения.
Пример 5
Прямолинейная трубка прикреплена к вертикальной оси под углом и вращается вокруг нее по закону . Вдоль трубки по закону движется шарик М (см. рис. 28). Положительное направление отсчета угла показано на рисунке дуговой стрелкой, считается положительным вниз по трубке от точки О. Требуется определить величину абсолютного ускорения точки М в момент времени
Рис. 28
Решение
Мысленно свяжем подвижную систему координат с трубкой. Тогда переносным движением будет вращение трубки вокруг вертикальной оси, а относительным движением будет прямолинейное движение шарика вдоль трубки.
Определим сначала положение шарика в трубке в момент Для этого вычислим
Отложим полученное расстояние от точки О в положительном направлении отсчета . Проведем через найденное положение шарика относительную и переносную траектории (см. рис. 29).
Запишем теперь выражение для абсолютного ускорения точки М в соответствии с теоремой сложения ускорений:
(40)
В связи с тем, что переносная траектория окружность, переносное ускорение здесь разложено на нормальную и тангенциальную составляющие. Вычислим далее величину каждого из векторов в правой части выражения (40) для момента времени и изобразим эти векторы на рис. 29.
Рис. 29
Относительное ускорение имеет только тангенциальную составляющую, так как траектория относительного движения прямая линия. Его алгебраическое значение равно
В момент времени Следовательно, для величины относительного ускорения имеем Знак алгебраического значения показывает, что вектор направлен в сторону отрицательных значений Изобразим вектор на рис. 29.
Вычислим теперь для момента времени составляющие переносного ускорения:
Здесь
Покажем на рис. 29 вектор направив его к центру кривизны переносной траектории. Так как то переносное угловое ускорение будет направлено в сторону положительного направления отсчета угла и вектор следует направить по касательной к переносной траектории в направлении (см. рис. 29).
Определим теперь величину и направление ускорения Кориолиса для момента времени . Для этого момента времени алгебраическое значение переносной угловой скорости будет равно
|
Поэтому угловая переносная скорость будет направлена в сторону отрицательных значений угла и вектор будет направлен вниз вдоль оси переносного вращения (см. рис. 30). Алгебраическое значение относительной скорости для момента времени
Следовательно, вектор направлен вдоль относительной траектории в сторону положительных значений . Для модуля ускорения Кориолиса получим
В соответствии с правилом векторного произведения вектор будет направлен перпендикулярно плоскости рисунка вдоль оси x. Покажем этот вектор на рис. 29 и 30.
Рис. 30
Для нахождения абсолютного ускорения точки выберем в точке М оси декартовой системы координат и запишем векторное равенство (40) в проекциях на эти оси:
Через найденные проекции величину абсолютного ускорения вычислим по формуле
|
|
Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!