Тема 1 Логика – наука о мышлении. Логическая культура специалиста

ЛОГИКА

 

 

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» в качестве методических указаний для студентов, обучающихся по программам высшего профессионального образования направления подготовки 031300.62 Журналистика, 031600.62 Реклама и связи с общественностью, 050100.62 Педагогическое образование, 030300.62 Психология, 030100.62Философия, 031800.62 Религиоведение, 072500.62 Дизайн, 080100.62 Экономика

 

Оренбург

УДК 378.016:16(076.5)

ББК 74.58я7+87.4я7

Г 12

 

Рецензент – профессор, доктор философских наук М. Х. Хаджаров

 

 

Габдуллин, И. Р.

Г 12 Логика: методические указания / И. Р. Габдуллин, Я.В. Парусимова;

Оренбургский гос. ун-т. – Оренбург: ОГУ, 2013 – 79 с.

 

Основное содержание: содержание дисциплины, планы семинарских занятий, краткий конспект лекционного курса, практические задания и упражнения по отдельным темам, практические задания для контрольных работ, разработанные в соответствии с требованиями высшего профессионального образования и утвержденным УМКД по соответствующим дисциплинам.

Методические указания «Логика» по курсам «Логика», «Логика и теория аргументации», «Теория и практика аргументации» предназначены для студентов направления подготовки 031300.62 Журналистика, 031600.62 Реклама и связи с общественностью, 050100.62 Педагогическое образование, 030300.62 Психология, 030100.62 Философия, 031800.62 Религиоведение, 072500.62 Дизайн, 080100.62 Экономика дневной и заочной форм обучения.

 

 

УДК 378.016:16(076.5)

ББК 74.58я7+87.4я7

 

© Габдуллин И.Р.,

Парусимова Я.В., 2013

© ОГУ, 2013

Содержание

 

 

1 Содержание дисциплины. 4

2 Конспект-лекция и методические рекомендации по усвоению дисциплины.. 9

3 Планы семинарских занятий. 44

4 Вопросы для подготовки к экзамену (зачету) 57

5 Тематика контрольных работ. 62

6 Практические задания…...........................................................................................63

7 Рекомендуемая литература. 78

 

1 Содержание дисциплины

 

Содержание курса приводится без распределения по часам, т.к. является общим для разных дисциплин. Точное соответствие тем и часов указывается в рабочих программах дисциплин.

 

Тема 1 Логика – наука о мышлении. Логическая культура специалиста

Мышление, его понятие и структура. Соотношение чувственного познания и абстрактно-рационального мышления. Мышление как предмет исследования диалектической и формальной логики.

Становление логики как науки, основные исторические вехи в ее развитии. Современная логика.

Логика как инструмент мыслительной деятельности человека. Социальное назначение и функции логики. Понятие логической культуры и способы ее формирования. Взаимосвязь логической культуры и культуры речи. Соотношение логики, интуиции и здравого смысла.

 

Тема 2 Понятие логической формы и формальный язык логики

Мышление и язык. Синтаксический и семантический аспекты языка. Понятия формы мышления и логической формы. Формализация логической формы (мышления), понятия «субъект» и «предикат». Связка и квантор как структурные элементы логической формы.

Основные логические термины. Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, их грамматическое выражение и логическое обозначение. Отрицание, его грамматический эквивалент и логическая сущность. Кванторы общности и существования, их словесное выражение и логическое значение. Основные языки современной логической теории. Алфавиты логики высказываний и логики предикатов.

 

 

Тема 3 Понятие

Занятие 1 Понятие как форма мышления. Виды понятий и отношения между ними

Понятие как исходный элемент мышления, его сущность и функции. Основные логические методы формирования понятия. Понятие, слово, объект. Омонимы и синонимы, их соотнесенность с понятиями.

Классификация понятий: единичные и общие, регистрирующие и нерегистрирующие, конкретные и абстрактные, безотносительные и соотносительные.

Структура понятия. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями по их содержанию и объему: понятия сравнимые и несравнимые, совместимые и несовместимые. Отношения между совместимыми понятиями – равнозначность, подчинение, перекрещивание. Отношения между несовместимыми понятиями – соподчинение, противоречие, противоположность. Значение выявления отношений между понятиями.

Занятие 2 Операции с понятиями

Определение понятий. Виды определений. Правила определения понятий. Ошибки определения.

Деление понятий. Виды деления. Правила деления, ошибки деления понятий. Деление понятий и процедура классификации в мышлении и познании.

Обобщение и ограничение понятий, отрицание понятий.

 

Тема 4 Суждение

Занятие 1 Суждение и его виды

Понятие суждения, его значение в науке и в жизни. Суждение и предложение. Виды суждения. Качественная и количественная харак­теристики суждения. Модальность простого суждения. Типы модаль­ности. Отрицание суждений.

Занятие 2 Сложное суждение

Сложное суждение. Понятие и роль пропозициональных связок в сложных суждениях. Соединительные (конъюнктивные), разделительные (дизъюнктивные), условные (импликативные), эквивалентные суждения. Таблица истинности суждений.

Занятие 3 Основные понятия классической логики высказываний*

Понятие тождественно-истинной, тождественно-ложной и выполнимой формулы. Основные способы проверки тождественно-истинных формул. Логическое исчисление. Система натурального исчисления высказываний. Выражение суждений на языке логики предикатов.

Занятие 4 Вопрос, его связь с суждением

Понятие вопроса, его функции в познании и коммуникации. Соотношение вопроса и суждения. Виды вопросов. Связь вопроса с проблемой. Логическая структура вопроса. Корректные и некорректные вопросы.

Виды ответов – релевантные, истинные и ложные, прямые и косвенные, краткие и развернутые, полные и неполные. Требования к ответу – соответствие, истинность, полнота.

 

Занятие 1

Понятие формально-логического закона. Роль в познавательной и коммуникативной деятельности человека.

Закон тождества, определенность мысли как требование закона тождества. Омонимия и синонимия в мыслительном процессе, их опасность в нарушении требований закона тождества.

Закон противоречия. Непротиворечивость и последовательность как свойство мышления, виды противоречия. Структура противоречия. Понятие о членах противоречия. Требования непротиворечивости мысли. Условия реализации противоречий в мыслительном процессе, взаимодействие законов противоречия и тождества, парадоксы и софизмы.

Занятие 2

Закон исключенного третьего. Роль логического союза «либо … либо» в этом законе, понятие «члены альтернативы», контрарные (противоположные) и контрадикторные (противоречащие) суждения. Взаимодействие закона противоречия и закона исключенного третьего.

Закон достаточного основания, его гносеологическая и социально-коммуникативная функции. Доказательность логического мышления. Рациональный скептицизм как методологический элемент закона достаточного основания.

Закон Дунса Скотта как предпосылка и методологический принцип истинного мышления и знания.

Закон двойного отрицания. Роль, условия и ограничения его применения в логических системах.

 

Тема 7 Умозаключение, его структура и виды

Занятие 1 Умозаключение и его типы

Умозаключение как форма логического мышления. Его роль в познавательной деятельности и интеллектуально-речевой коммуникации. Структура умозаключения.

Типы умозаключения – индукция, дедукция. Демонстративные и вероятностные умозаключения.

Занятие 2 Простой категорический силлогизм

Понятие силлогизма, его характеристика. Понятие о фигурах и модусах силлогизма. Правила фигур и модусов простого категорического силлогизма. Аксиома силлогизма, ее роль в мышлении, познании, методологии науки.

Неполные и сложные силлогизмы.

Занятие 3 Условные и разделительные умозаключения

Условное умозаключение. Умозаключения по свойствам сложных суждений – условно-категорическое умозаключение и его правильные модусы.

Разделительно-категорическое умозаключение и его модусы. Условно-разделительное умозаключение (дилемма), его разновидности.

Занятие 4 Индукция и аналогия

Индуктивное умозаключение. Виды индуктивного умозаключения – полная и неполная, популярная, научная, селекционная индукции. Индукция Бэкона-Милля (причинной зависимости явлений), ее методы, взаимосвязь индукции и дедукции в процессе познания.

Умозаключение по аналогии, его виды. Место и роль аналогии в науке. Аналогия и моделирование.

 

Логика - наука о мышлении

Логика (от греч. Logos – мысль, слово, разум, закономерность) – наука об основных принципах, законах, формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, которые позволяют отличать правильное рассуждение от неправильного, на основании одной только их формы. Центральное место в логических исследованиях на протяжении всей их истории занимает рассуждения как главной познавательной операции. Рассуждение – это процедура последовательного выведения необходимых для познания высказываний на основе других, ранее уже известных высказываний. Наиболее известным и в большей степени изучаемым в учебных курсах логики видом рассуждения является умозаключение как непосредственный переход от одного или нескольких высказываний к другому (новому) высказыванию.

Основные исторические этапы и разделы формальной логики: Традиционная логика. Основатель логики - Аристотель (IVв.до н.э.). Он разработал важнейшие разделы логики, сформулировал основные законы. Традиционная логика использует естественный язык при изучении правильности мышления.

Классическая (символическая или математическая) логика. Родоначальником символической логики считается Г.Лейбниц (1646-1716 гг.). Однако только во второй пол. XIX в. в логике произошла настоящая революция, связанная с проникновением в нее математических методов. Хотя было сохранено следование принципу двузначности, символическая логика применяет строгие методы анализа, формализованные языки и исчисления.

Неклассическая логика зарождается в начале XX века и развивается наряду с другими разделами – традиционной и классической – дополняя и сохраняя в отношении их некоторую теоретическую преемственность. Основным отличием неклассической логики является выход за границы применения принципа двузначности, т.е. кроме значений высказываний «истинное» или «ложное» вводится, например, значение «неопределенное» или иные. Также в неклассической логике получило развитие понятие модальности, новая интерпретация основных логических констант (логических союзов) и другие аспекты логической теории и практики, отчасти уже задействованных в классической логике.

 

Операции с понятиями

 

Определение или дефиниция – это логическая операция, состоящая в придании точного смысла языковому выражению; это логическая операция, раскрывающая содержание понятия.

Цель определения – уточнить содержание используемых понятий. Задача определения – выделить систему признаков, общую и отличительную для предметов, обозначаемых термином.

Логическими элементами определения являются:

1) определяемое (дефиниендум) понятие – понятие, содержание которого требуется раскрыть;

2) определяющее (дефиниенс) понятие – понятие, раскрывающее содержание определяемого понятия.

Виды определений:

1. По функции, выполняемой в познании:

- номинальные – объясняют значения слова, имени, термина. Это предписания. Они не имеют истинностного значения;

- реальные – раскрывают сущность или отличительные особенности понятия. Это описательные высказывания. Являются истинными или ложными.

И реальные и номинальные определения могут быть как правильными, так и неправильными.

2. По форме:

- явные – раскрывают существенные признаки предмета. Основным видом явного определения является родовидовое определение. Родовидовые определения по характеру видового отличия подразделяются на несколько типов:

а) атрибутивно-реляционные. В них видовыми отличиями являются качества и свойства, присущие предметам самим по себе (атрибуты), а также отношения предметов к другим предметам (реляции);

б) генетические. В них указывается способ создания или путь возникновения того или иного явления;

в) операционное определение. В них признак указывает на действие (операцию), с помощью которого можно распознать определяемый предмет из рода;

г) определение через перечисление. В них в определяющей части просто перечисляются те предметы, которые подпадают под определяемое понятие;

д) определение через абстракцию. В них содержаться указания особого рода отношений (типа равенства). Такое равенство указывает на то, что предметы (будучи разными) обладают одинаковой величиной какой-то своей характеристики;

- неявные – определяемое и определяющее не имеют четких различий. К ним относят:

а) контекстуальные. В них не дается специально сформулированной дефиниции, но из сообщения, сделанного письменно или устно, становится ясно, что подлежит обсуждению;

б) индуктивные. Это специально-научные определения. Объем определяемого понятия задается перечислением разновидностей предметов, входящих в него. Эти определения позволяют из исходных объектов путем применения к ним определенных операций получать новые объекты;

в) рекурсивные. Это специально-научные определения, похожие на индуктивные, но в них задаются не классы предметов, а функции;

г) аксиоматические. Это специально-научные определения, в которых содержание терминов задается системой аксиом, куда входит определяемое понятие;

д) определение через указание на отношение предмета к своей противоположности.

Иногда используют приемы, сходные с определением. Среди таковых можно выделить остенсивные определения, объяснения, характеристики, описания, сравнения, различения. Остенсивное определение – это определение, устанавливающее значение термина путем демонстрации предмета, обозначаемого этим термином. Объяснение не столько заменяет определение того или иного явления, сколько дополняет его или делает его понятным. Это достигается за счет того, что незнакомые термины выражают через другие, известные.С помощью характеристики указывают на черты или особенности предмета, важные в каком-либо отношении. Задача описания наиболее точно и полно указать признаки предмета.

Правила определения понятий

 

1. Определение должно быть точным и ясным. Определение должно указывать на известные признаки, не нуждающиеся в определении. Иначе возникает ошибка, называемая определением неизвестного через неизвестное. Определение будет неясным, если определяющий термин – двусмысленный, метафорический, представлен сравнением. Оно не раскрывает сущности предмета.

2. Определение должно быть соразмерным. Слишком узкое определение, когда объем определяющего понятия уже, чем определяемого. Бывают также слишком широкие определения. В них определяющие понятия являются более емкими, чем определяемые. Могут быть определения, слишком широкие в одном отношении и слишком узкие в другом.

3. Определение не должно быть тавтологичным (не должно образовывать круга).

4. Определение не должно быть отрицательным.

Операция добавления новых признаков в содержание и перехода к более узким понятиям называется ограничением.

Операция отбрасывания от данного понятия некоторых признаков и перехода к более широким понятиям называется обобщением.

Деление понятия – логическая операция, раскрывающая объем понятия через перечисление его видов.

Различают следующие способы деление понятий:

1. Мереологическое деление – это членение понятия по типу «целое-часть».

2. Таксономическое деление предполагает членение по типу «род-вид».

Правила деления:

1. Деление должно быть соразмерным. Объем делимого понятия должен быть в точности равен сумме объемов членов деления.

2. Деление по одному основанию не должно перемежаться с делением по другому основанию.

3. Деление должно быть непрерывным и последовательным.

4. Члены деления должны исключать друг друга.

 

Суждение как форма мышления

Суждение – форма мышления, в которой посредством связи понятий утверждается или отрицается наличие признака предмета или отношения между предметами. Суждениевыражается повествовательным предложением и характеризуется как истинное или ложное.

Субъект (S) - это понятие, отображающее предмет, о котором идет речь. Предикат(P) выражает свойства, приписываемые предметам из объема понятия-субъекта или отрицаемые у них. Квантор служит для указания количественной характеристики суждения и выражается словами "все", "каждый", "всякий", "никакой", "некоторый", "большинство", "отчасти", "почти все" и пр. Связка задает качество суждения: когда свойство, отмечаемое в предикате, приписывается субъекту, оно утвердительное, когда же отмечается его отсутствие, - отрицательное. Связка обозначается словами "есть", "является", "представляет собой" и другими эквивалентными им выражениями.

Типы суждений

Суждения делятся на простые и сложные. Простым называется суждение, выражающее связь двух понятий. Суждение, состоящее их нескольких простых суждений, называется сложным.

Простые суждения

Выделяют следующие виды простых суждений:

1. суждения свойств (атрибутивные или категорические). В них указывается принадлежность (или не принадлежность) предметам тех или иных свойств.

По качеству категорические суждения делятся на:

- утвердительные. Выражают наличие какого-то признака;

- отрицательные. Выражают отсутствие признака;

По количеству категорические суждения делятся на:

- общие. Если понятие, стоящее на месте субъекта, берется во всем объеме;

- частные. В том случае, когда говорится о части объема понятия-субъекта;

- единичные. Если в качестве субъекта берется единичное понятие;

Исходя из объединенной классификации, все суждения делят на четыре вида и у каждого из них есть свое обозначение латинской буквой: общеутвердительные (А), общеотрицательные (Е), частноутвердительные (I), частноотрицательные (О);

2. суждения отношений, или релятивные. Их отличительная особенность состоит в том, что отмечаемое ими свойство нельзя отнести к одному объекту. Оно возникает из взаимодействия двух или нескольких объектов;

3. суждения существования (экзистенциальные). В них отмечается наличие (или отсутствие) в действительности тех или иных явлений.

Выделяющими называютсуждения, в которых только данному субъекту приписывается указанное свойство (Все (Некоторые) S, и только S, есть (не есть) P).

Исключающими называютсуждения, в которых отражается принадлежность (или непринадлежность) признака всем предметам, за исключением некоторой их части (Все S, если они не являются S1, есть (не есть) P).

 

Сложные суждения

Сложные суждения – суждения, состоящие из нескольких простых, связанных логическими связками.

Виды сложных суждений:

- соединительные (конъюнктивные) суждения состоят из нескольких простых, связанных логической связкой «и» (p^q). Коньюктивное суждение истинно при истинности всех его конъюнктов и ложно при ложности хотя бы одного;

- разделительные (дизъюнктивные) суждения состоят из нескольких простых, связанных логической связкой «или». Различают два типа разделительных суждений:

а) нестрогая дизъюнкция – суждения, в которых связка «или» употребляется в соединительно-разделительном значении (p Ú q). Нестрогое дизъюнктивное суждение истинно при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции и ложно при ложности обоих ее членов;

б) строгая дизъюнкция (исключающая) - суждения, в которых связка «или» употребляется в разделительном значении (или p, или q) (р q).

Дизъюнктивное суждение может быть полным (закрытым), если в суждении перечислены все признаки определенного рода; или неполным (открытым) если в суждении перечислены не все признаки определенного рода. Полная дизъюнкция в схемах обозначается так: <p Ú q Ú r>.

Строгое дизъюнктивное суждение истинно при истинности одного и ложности другого члена дизъюнкции. Оно ложно, если оба члена истины или ложны;

- условные (импликативные) суждения состоят из нескольких простых, связанных логической связкой «если…, то…» (р ® q). Импликативное суждение ложно при истинности предпосылки (р) и ложности заключения (q). В других случаях оно истинно;

- эквивалентные (двойная импликация) суждения включают два суждения, связанные двойной условной зависимостью, выражаемой связкой «если и только если…, то…» (р «q). Эквивалентное суждение истинно, когда оба суждения принимают одинаковые значения.

Таблица1 - Таблица истинности суждений

Логические переменные	Логические операции
отрицание	конъюнкция	дизъюнкция	исключающая дизъюнкция	импликация	эквиваленция
p	q	p	p Ùq	pÚq	p q	p®q	p«q
и	и	л	и	и	л	и	и
и	л	л	л	и	и	л	л
л	и	и	л	и	и	и	л
л	л	и	л	л	л	и	и

 

В сложном логическом выражении следующий порядок выполнения логических операций: инверсия (отрицание) – конъюнкция – дизъюнкция –импликация - эквивалентность. Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

Отношения между суждениями

Отношения между простыми суждениями:

1. Несравнимые суждения имеют различные субъекты и предикаты;

2. Сравнимые сужденияимеют один и тот же субъект и предикат. Их называют суждениями одинаковой материи. Они могут различаться между собой кванторами и связками. Между суждениями этого рода устанавливаются определенные твердые соотношения по их истинностным значениям, которые удобно изображать графически с помощью логического квадрата (Рисунок 1).

Сравнимые суждения разделяются на совместимые и несовместимые.

К совместимым относятся суждения, которые одновременно могут быть истинными. Различают три вида совместимости:

- эквивалентность (полная совместимость). Эквивалентными являются такие суждения, которые имеют одинаковые логические характеристики: одинаковые субъекты и предикаты, однотипную — утвердительную или отрицательную — связку, одну и ту же выраженную квантором количественную характеристику. С помощью логического квадрата отношения между простыми эквивалентными суждениями не иллюстрируются. Эти суждения принимают одни и те же значения истинности;

Рисунок 1

- частичная совместимость (субконтрарность). Частичная совместимость характерна для суждений I и О, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными;

- подчинение. Подчинение имеет место между суждениями А и I, E и О. Для них характерны следующие две зависимости: при истинности общего суждения частное всегда будет истинным, и, при ложности частного суждения общее суждение также будет ложным.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Различают два вида несовместимости:

- противоположность (контрарность). Противоположными являются суждения А и Е, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными;

- противоречие (контрадикторность). Противоречащими являются суждения А и О, Е и I, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными.

 

Отношения между сложными суждениями

Сложные суждения также могут быть сравнимыми и несравнимыми.

1. Несравнимые — это суждения, которые не имеют общих пропозиционных переменных.

2. Сравнимые — это суждения, которые имеют одинаковые пропозиционные переменные (составляющие) и различаются логическими связками, включая отрицание.

Сложные сравнимые суждения могут быть совместимыми и несовместимыми.

Совместимые суждения могут быть одновременно истинными. Как и в случае простых суждений, различают три вида совместимости сложных суждений:

- эквивалентность. Эквивалентные— это суждения, которые принимают одни и те значения истинности. Существует четыре основные эквивалентности:

1) выражение конъюнкции через дизъюнкцию

ù(A^B) = ùA v ùB;

2) выражение дизъюнкции через конъюнкцию

ù (A v B) = ùA ^ ùB;

3) выражение импликации через конъюнкцию

A ® B =ù (A ^ ùB);

4) выражение импликации через дизъюнкцию

A ® B = ù A v B;

- частичная совместимость характерна для суждений, которые могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными;

- подчинение. Отношение логического подчинения, позволяющее по истинности подчиняющего суждения определить истинность подчиненного, составляет основу фундаментального в науке логики понятия логического следования, регулирующего все виды рассуждений.

Несовместимыми являются суждения, которые одновременно не могут быть истинными.

- противоположность — отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть истинными, но могут быть одновременно ложными;

- противоречие — отношение между суждениями, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. Чтобы получить сложное суждение, противоречащее исходному, последнее нужно подвергнуть отрицанию.

 

2.6 Логическое исчисление как тип формальной теории ^٭

 

Понятие содержательной и формальной теории: в содержательных теориях исходные утверждения (посылки) рассуждения представляют собой некоторые допущения, а дедукция используется лишь для связи некоторых отдельных положений теории. Заключение при этом интерпретируется как условно истинное, т. е. зависит от истинности посылок (школьная арифметика, теория эволюции Дарвина, а также сама логика высказываний и логика предикатов). В формальных теориях оформляется (структурируется) не только само знание, но и средства его получения – логические законы и способы дедуктивного рассуждения.

Исчисление: формальная теория, в которой содержание фиксируется на специально созданном символическом языке, а все рассуждения в рамках этой теории строятся как преобразования одних последовательностей символов в другие их последовательности (формальные теории множеств, формальная арифметика, логическое исчисление).

Формальное рассуждение – выведение одних формул из других формул. Формальное рассуждение можно трактовать как модель (форму) различных содержательных рассуждений, имеющих ту же самую логическую структуру, т.е. формулы исчислений представляют собой логические формы высказываний.

Натуральное логическое исчисление: содержит только правило вывода и не содержит аксиом.

Если в содержательных логических теориях под логическим законом понимается общезначимая формула (формула принимающая значение «истина» при любых интерпретациях нелогических символов), а критерием правильности умозаключения является наличие семантического отношения логического следования между его посылками и заключением, то в логических исчислениях осуществляется попытка формализации данных понятий. С это целью вводятся синтаксические аналоги понятия «общезначимой формулы» (понятия теоремы) и отношения логического следования (отношение выводимости). Из множества формул (посылок) логически следует другая формула (заключение) тогда и только тогда, когда при любой интерпретации параметров в составе посылок и заключения, при которой все выражения из посылок принимают значение «истина», выражение заключения также примет значение «истина».

 

Правила вывода натурального исчисления*

1) &_{в (введение конъюнкции)} 5) &_{и (исключение конъюнкции)}

А, В А & ВА & В

А & В А В

2) v_{в (введение дизъюнкции)} 6) v_{и (исключение дизъюнкции – tollendo ponens)}

А __ _ А_ _ А v В, А_

А v В А v В В

3) →_{в (введение импликации)} 7) →_{и (исключение импликации – modus ponens)}

__ В ___ А → В, А

С → В, где С- посл. Пос. В

4) _{В (введение отрицания)} 8) _{и (введение отрицания)}

В, ВА

С, где С – посл. Пос. А

 

Правило 3) → _{в (введение импликации)} 4) _{В (введение отрицания).} Своеобразие этих правил состоит в том, что формула С в заключениях этих правил – не любое выражение, а последнее допущение (посылка) в некотором рассуждении. Т.о., формулировка этих правил соотносит их с тем рассуждением, которое будет строиться.

Правило 3) позволяет по любой формуле В, содержащейся в рассуждении, перейти к импликации вида С→В, где С – последнее допущение, а на место консеквента, помещается формула В.

Правило 4) _в двухпосылочно и позволяет при обнаружении в рассуждении двух формул, противоречащих друг другу, В и В – перейти к формуле С, которая является отрицанием последнего допущения, если таковым была формула С, т.е. разрешает строящееся рассуждение вводить отрицание последней посылки.

При применении любого из правил необходимо иметь в виду, что логические константы, указанные в правилах, являются всегда главными знаками формул. К ним и только к ним (и ничему иному) могут применяться правила.

 

Вывод и доказательство в натуральном исчислении ^٭

Выводом называется непустая конечная линейно упорядоченная последовательность формул С1, С2,….Сk., удовлетворяющая условиям:

(1) каждая Сi есть либо посылка, либо получена из предыдущих формул по одному из правил вывода;

(2) если в выводе применялись правила →в или в, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются из участия в дальнейших шагах вывода.

Последнее свойство (свойство исключенности некоторых формул из участия в дальнейшем построении вывода) означает, что эти формулы как бы «замораживаются» и изолируются в выводе (исключенные формулы), а посылка, которая при этом попадает в число исключенных формул – исключенная посылка.

Если дан вывод С1, С2,….Сk., т.е. дана линейная последовательность формул, по условиям (1) и (2), и если неисключенными посылками являются формулы А1, А2,….Аn и последняя формула последовательности Сk графически совпадает с формулой В, т.е. является формулой В, то про данную последовательность говорят, что она является выводом формулы В из посылок А1, А2,….Аn. Этот факт обозначается посредством записи А1, А2,….Аn ├ В («из посылок А1, А2,….Аn выводимо В»), где «˫» - метазнак выводимости.

Если множество формул Г содержит (кроме всего прочего) каждую из неисключенных посылок А1, А2,….Аn, то в логике принято считать, что рассмотренная выше последовательноть С1, С2,….Сk., является также и выводом формулы В из множества формул Г: Г ├ В.

Доказательство есть вывод из пустого множества неисключенных посылок. Последняя формула в доказательстве называется доказуемой формулой, или теоремой. Например, запись ├ В читается: «В – теорема».

Под анализом вывода имеется в виду указание того, на каком основании та или иная формула появилась в выводе. Согласно определению вывода, таких оснований может быть только два: либо формула является посылкой, либо она получена из предыдущих по некоторому правилу вывода

2.7 Умозаключение

Умозаключение - это форма мышления, позволяющая из одного или нескольких суждений, называемых посылками, извлекать с помощью правил логики новое суждение - заключение.

Виды умозаключений

Всю совокупность известных логике умозаключений принято классифицировать по следующим основаниям:

1) по строгости правил вывода:

a) демонстративные (необходимые) - те, у которых заключение с необходимостью следуют из посылок, т.е. представляет собой логический закон;

b) недемонстративные (правдоподобные) – те, у которых правила вывода обеспечивают лишь вероятное следование заключения из посылок.

2) по направлению движения мысли:

a) дедуктивные, в которых мышление движется от общих положений к частным выводам. Они в свою очередь по числу посылок делятся на:

-непосредственные умозаключениями, у которых всего одна посылка. Они относятся к наиболее простым их разновидностям. В них происходит простая смена логической формы того или иного высказывания, содержание же остается неизменным;

- опосредствованные, у которых посылок более одной. Они сложнее и многообразнее первых;

b) индуктивные, делающие обобщения из частных наблюдений;

c) умозаключения по аналогии, т.е. от частного знания к частному. К ним, относятся и некоторые суждения с отношениями; иногда последнюю группу объединяют под названием традуктивные умозаключения.

Дедуктивные умозаключения

Индуктивные умозаключения

Индукция - это умозаключение, в результате которого на основе знания об отдельных предметах какого-либо класса делается вывод обо всем классе этих предметов.

Виды индукции

По характеру исследования индукцию принято подразделять на:

1. Полную, где заключение о принадлежности некоторого признака всему классу явлений получают на основе повторяемости этого признака у каждого из явлений класса.

S₁ - P

S₂ - P

S₃ - P

-------

S_n – P

Только S₁, S₂, S₃……S_n составляют класс К

Следовательно, каждый элемент класса К – Р

2. Неполную, когда заключение получают на основе повторяемости признака у некоторых явлений класса.

S₁ - P

S₂ - P

S₃ - P

-------

S₁, S₂, S₃…… составляют класс К

Вероятно, каждый элемент класса К – Р

 

Пол