Обратная геодезическая задача

В практике для выноса проекта на местность часто бывает необходимо по данным прямоугольных координат найти значение дирекционного угла и длину линии между заданными точками. Это и составляет сущность решения обратной геодезической задачи (Рисунок 1).

 

 

Рисунок 1 – Координаты точек А и В

 

Допустим, координаты точек А и В известны (см. рис.), тогда для определения дирекционного угла a из треугольника АВС найдем

 

(1)

 

По знакам числителя и знаменателя правой части формулы (1) можно установить название румба линии АВ, а следовательно, и дирекционный угол линии.

Для вычисления расстояния могут быть применены следующие формулы:

 

м	(2)
м	(3)

Для решения обратной геодезической задачи могут быть использованы пятизначные таблицы логарифмов или таблицы тригонометрических функций. Следует отметить, что до последнего времени формулы (2) и (3) стремились приводить к логарифмическому виду. Однако в связи с широким внедрением механизации в вычислительные работы удобнее пользоваться следующими формулами:

 

,м

(4)

 

Вычисления по этим формулам будут точнее, так как sec a и cosec a имеет больше значащих цифр, чем sin a и cos a при одном и том же числе десятичных знаков этой функции (4).

Область применения обратной геодезической задачи достаточно разнообразна. Например, можно определить расстояние между точками А и В (см. рис.), если расстояние d недоступно для непосредственного измерения (из-за водной преграды). Нередко случается так, что между этими точками нет видимости, тогда значение вычисленного дирекционного угла позволит задать на местности требуемое направление и др.

Исходные данные:

1 Координаты т.А и т.В:

Х_А = +92,38м; У_А = +73,12м;

Х_В = +47,37м; У_В = +100,42м.

Исходные данные координат для тВ изменить с учетом шифра, дробную часть величин Х_В и У_В получить как сумму двух последних цифр шифра и существующих в задании значений:

2 Определить дирекционный угол a направления АВ (a_АВ) и расстояние АВ = d,м (d_АВ).

Пример решения задачи:

Например, шифр студента 2817, тогда координаты т.В принимают:

 

Решение:

1 Вычислить значение приращения координат по формулам:

 

Dх = Х_В – Х_А, м

Dу = У_В – У_А, м

Dх = 47,54 – 92,38 = –44,84м

Dу = 100,59 – 73,12 = +27,47м

 

По знакам числителя и знаменателя полученных результатов устанавливаем название румба линии АВ, а следовательно и дирекционный угол линии.

 

+Dх; +Dу	–Dх; +Dу	–Dх; –Dу	+Dх; –Dу
I четверть СВ	II четверть ЮВ	III четверть ЮЗ	IV четверть СЗ

 

2 Вычислить значение румба и линии АВ:

r =

r_АВ = 31°29,6’

a_АВ = 180° – 31°29,6’ = 179°60’ – 31°29,6’

a_АВ = 148°30,4’,

что соответствует румбу ЮВ:31°29,6

3 Вычислить расстояние d_АВ

значение могут отличаться друг от друга на 0,02м

 

Контроль вычисленного расстояния:

 

Задача №2

Исходная ситуация

Для съемки ситуации и рельефа строительной площадки на местности с помощью теодолита и мерной ленты была разбита сетка квадратов со сторонами 20м. В характерной точке местности была отмечена промежуточная точка (В/3 + 12,50м). Вершины квадратов и промежуточная точка были закреплены колышками. Данные разбивки показаны на рис.1. На вершину квадрата А/1 была передана отметка от репера государственной нивелирной сети.

Нивелирование точек поверхности (вершин квадратов и промежуточной точки) выполняли нивелиром и рейкой с одной станции при одном горизонте инструмента. В процессе нивелирования рейку ставили поочередно на срез колышков, забитых в каждой вершине квадрата и на промежуточной точке. Отсчеты по рейке, взятые в миллиметрах, записаны на схеме нивелирования (рисунок 2).

Масштаб 1:500

Рисунок 2 – Данные нивелирования вершин квадратов

 

Задание:

По данным нивелирования поверхности:

Ÿ составить план строительной площадки в горизонталях с высотой сечения рельефа 0,5м. Масштаб плана 1:500. План ориентировании по магнитному меридиану;

Ÿ запроектировать горизонтальную площадку и составить картограмму земляных работ при условии нулевого баланса, то есть равенства объемов земляных масс насыпей и выемок.

Исходные данные: отметка вершины квадрата А/1 (Н_А/1) определяется для каждого варианта индивидуально следующим образом: число сотен в отметке равно единице, число десятков и единиц равно двум последним цифрам учебного шифра. Дробная часть отметки (дм, см, мм) выражается теми же цифрами, что и целая. Например, если шифр 86030, т.е. оканчивается цифрами 030, то отметка Н_А/1 = 130,130м, если же последние цифры шифра – 002, то Н_А/1 = 102,102м.