Раздел 5. Основы теории игр.

Основные понятия теории игр. Парные матричные игры с нулевой суммой.

В данном разделе мы начинаем рассматривать модели, которые характеризуются как недетерминированные, то есть связанные с принятием решений в условиях либо полной неопределенности, либо риска.

Неопределенность и связанный с нею риск являются неотъемлемыми свойствами рыночной среды. В конкретных ситуациях принятия решений источником неопределенности являются возможные действия контрагента: конкурента, потребителя, поставщика и т.д. Обособленность и несовпадение интересов контрагентов порождают конфликт. Математическим описанием конфликта является игра. Таким образом, можно сказать, что игра – это математическая модель конфликтной ситуации. Конфликтная ситуация характеризуется следующими чертами:

- наличие заинтересованных сторон, назовем их игроками;

- существование альтернатив принятия решения у каждой из сторон;

- содержание интересов сторон.

Будем рассматривать относительно простые игры с двумя участниками. Назовем участников игры игроками А и В. Игроки имеют возможность выбирать решение из ограниченного числа альтернатив. Пусть игрок А располагает m альтернативами, а игрок В располагает n альтернативами. Выбор альтернатив участниками игры однозначно предопределяет ее исход. Исход выражается некоторым числом. Обозначим исход игры , где i – номер альтернативы игрока А, а j – номер альтернативы В.

В соответствии со сложившейся традицией принято называть исход игры для А выигрышем (независимо от знака данного числа), а исход игры для В проигрышем (также независимо от знака). Если исход для игрока А равен исходу для игрока В, то игру называют игрой с нулевой суммой. Совокупность исходов образует матрицу, которая называется платежной.

Важными понятиями теории игр являются «нижняя чистая цена игры» и «верхняя чистая цена игры». Выберем по строкам платежной матрицы наименьшие числа, которые соответствуют наихудшим исходам при выборе игроком А соответствующих альтернатив. Назовем эти числа

Выберем среди максимальное число, которое назовем просто . Это число есть нижняя чистая цена игры, или максимин. Выбор игроком А соответствующей альтернативы именуется максиминной стратегией.

Теперь по столбцам платежной матрицы выберем максимальные числа, которые соответствуют наибольшим проигрышам игрока В

для соответствующих альтернатив. Назовем эти числа .

Среди определим наименьшее число и назовем его просто . Это число есть верхняя чистая цена игры, или минимакс. Выбор игроком В соответствующей альтернативы именуется минимаксной стратегией.

Проиллюстрируем описанные выше понятия с помощью примера, в котором мы увидим платежную матрицу игры, ее максимин и минимакс, а также соответствующие им стратегии игроков.

Пусть А и В записывают каждый по отдельности одно из следующих чисел: 1,4,6,9. Затем они одновременно показывают написанное число. Если числа одинаковой четности, то А выигрывает очки, равные сумме чисел. Если четность чисел разная, то их сумма становится выигрышем В.

Составим платежную матрицу игры, определим ее и , а также максиминную и минимаксную стратегии игроков.

Платежная матрица игры:

Следовательно, . Максиминная стратегия А – выбор , минимаксная стратегия В – выбор или .