Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
Топ:
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Интересное:
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Дисциплины:
2017-11-16 | 211 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Несобственным интегралам можно придать смысл площади бесконечной фигуры.
Пример 1. Вычислить .
Решение. По определению имеем
.
Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница
.
Тогда
,
т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.
Аналогично, можно убедиться, что интеграл
сходится к , если m > 1, и расходящимся, если m ≤ 1.
Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным "порогом". Если кривая данного вида на интервале [1; + ∞) лежит ниже гиперболы, то полубесконечная фигура имеет конечную площадь. Если же кривая лежит выше или совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь.
Пример 2. Вычислить .
Решение. Исследуем на сходимость интегралы и :
т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но
т.е. этот интеграл расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл .
ВОПРОС 68. Формула Ньютона-Лейбница. Интегралы по симметричным промежуткам от чётных и нечётных функций. Оценки интегралов. Интегрально среднее.
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции F(x) для подынтегральной функции ƒ (х).
Например,
При вычисленииопределенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
39.2. Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции
сделана подстановка х = φ(t).
Теорема 39.1. Если:
1) функция х = φ(t) и ее производная х' = φ'(t) непрерывны при t є [а;β];
|
2) множеством значений функции х = φ(t) при t є [а,β] является отрезок [а; b];
3) φ(а)=а и φ(β)=b.
то
▼Пусть F(x) есть первообразная для ƒ(х) на отрезке [а;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница Так как (F(φ(t))' = f(φ(t)) - φ'(t), то F(φ(t)) является первообразной для функции f(φ(t)) -φ'(t), t [а;β]. Поэтому по формуле Ньютона—Лейбница имеем
▲
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле. Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки х = φ(t) применяют подстановку t = g(x);
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример 39.1. Вычислить
Решение: Положим х = 2 sin t, тогда dx = 2 cos t dt. Если х=0, то t = 0; если x = 2, то t = . Поэтому
39.3. Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула
▼На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
▲
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример 39.2. Вычислить
Решение: Положим
Применяя формулу (39.2), получаем
Пример 39.3. Вычислить интеграл
Решение: Интегрируем по частям. Положим
Поэтому
|
|
История развития пистолетов-пулеметов: Предпосылкой для возникновения пистолетов-пулеметов послужила давняя тенденция тяготения винтовок...
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!