Первообразная и неопределённый интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = j (x) + C

то

f '(x) = j '(x)

или

f '(x)dx = j '(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j (x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = j '(x) или df(x) = d j (x),

то

f(x) = j (x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

Таблица элементарных интегралов

Свойства неопределённого интеграла.

Свойства неопределённого интеграла. Таблица элементарных интегралов

 

iСвойства неопределенного интеграла базируются на свойствах дифференциала функции.

Напомним, что если – дифференцируемая в точке функция, то произведение

является дифференциалом функции в точке соответственно приращению аргумента .

Для дифференцируемых функций и правила действий над их дифференциалами аналогичны правилам вычисления производных (здесь и везде далее – произвольное число), а именно:

;

; ;

; ;

.

Для первообразной функции из соотношения , имеем или – подведение функции под дифференциал.

Используя указанные равенства, получаем следующие свойства неопределенного интеграла.

Свойство 1. ,

т.е. производная неопределенного интеграла (производная каждой функции множества всех первообразных ) равна подынтегральной функции.

Свойство 2. ,

т.е. дифференциал неопределенного интеграла (дифференциал
каждой функции множества всех первообразных) равен подынтегральному выражению.

Иначе, знаки дифференциала и интеграла взаимно уничтожаются, если знак " " стоит перед знаком " ".

Свойство 3. ,

т.е. неопределенный интеграл от дифференциала какой-либо функции равен сумме этой функции и произвольного числа . Иначе, если знак " " стоит рядом и перед знаком " ", то эти знаки тоже взаимно уничтожаются, причем к функции прибавляется произвольное число .

Свойство 4. –

аддитивность по функции операции интегрирования, т.е. неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме неопределенных интегралов от этих функций (предполагается, что все участвующие в равенстве интегралы существуют). При этом, если и , то записывают , объединяя и в одну произвольную постоянную .

Свойство 4 верно для суммы конечного множества слагаемых.

Свойство 5. , , –

Однородность операции интегрирования, т.е. при вычислении неопределенного интеграла постоянный ненулевой множитель можно
выносить за знак интеграла (соответственно можно вносить под знак интеграла).

 

ВОПРОС 55. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование методом подстановки.

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (т. е. подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся (в случае «удачной» подстановки). Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку – функция, имеющая непрерывную производную.
Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой

(23.1)

Формула (23.1) также называется формулой замены переменных в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части этого равенства следует перейти от повой переменной интегрирования t назад к переменной х.
Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде ,тогда .Другими словами, формулу (23.1) можно применять справа налево.