Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Оценка эффективности инструментов коммуникационной политики: Внешние коммуникации - обмен информацией между организацией и её внешней средой...
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
Интересное:
Что нужно делать при лейкемии: Прежде всего, необходимо выяснить, не страдаете ли вы каким-либо душевным недугом...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Распространение рака на другие отдаленные от желудка органы: Характерных симптомов рака желудка не существует. Выраженные симптомы появляются, когда опухоль...
Дисциплины:
2017-11-16 | 440 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Определение. Дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. .
Пример. Найти полный дифференциал функции .
Так как , , то .
ВОПРОС 50. Производные и дифференциалы высших порядков. Приложения дифференциального исчисления функций нескольких переменных в моделировании социально экономических процессов.
Предположим, что функция f'(x) является дифференцируемой в некоторой точке x интервала (a,b), то есть имеет в этой точке производную. Тогда данную производную называют второй произвоьдной и обозначают f(2)(x), f''(x) или y(2), y''(x). Аналогично можно ввести понятие второй, третьей и т. д. производных. По индукции можно ввести понятие n- ой производной:
y(n) = (y(n-1))'. (6)
Функцию, имеющую на некотором множестве конечную производную порядка n, называют n раз дифференцируемой на этом множестве. Методика нахождения производных высших порядков предполагает умение находить производные первого порядка, о чем говорит формула (6).
Если u(x), v(x) две дифференцируемые функции, то для нахождения производной их произведения справедлива формула Лейбница
(u(x)v(x))(n) = u(n)v+nu(n-1)v'+(n(n-1)/2)u(n-2)v''+...+ uv(n) =
= Sk = 0nCnku(n-k)v(k),
где
Cnk = (n(n-1)(n-2)...(n-k+1))/k!, u(0) = u, v(0) = v.
Данная формула Лейбница особенно эффективна в случае, когда одна из перемножаемых функций имеет конечное число отличных от нуля производных и легко вычислить производные другой функции.
Пример 9. Пусть y = ex(x2-1). Найти y(10). Положим u(x) = ex,
v(x) = (x2-1). Согласно формуле Лейбница
y(10) = (ex)(25)(x2-1)+10(ex)(9)(x2-1)'+(10· 9/2) (ex)(8)(x2-1)'',
так как следующие слагаемые равны нулю. Поэтому
y(10) = ex(x2-1)+10ex2x+(10· 9/2)ex (2) = ex(x2+20x+89)
Рассмотрим выражение для первого дифференциала
|
dy = f'(x)dx.
Пусть функция, стоящая в правой части, является дифференцируемой функцией в данной точке x. Для этого достаточно, чтобы y = f(x), была дифференцируема два раза в данной точке x, а аргумент либо является независимой переменной, либо представляет собой дважды дифференцируемую функцию.
Определение 6 (дифференциал второго порядка). Значение d(dy) дифференциала от первого дифференциала (4) при d x = dx, называется вторым дифференциалом функции y = f(x) и обозначается d2y.
Таким образом,
d2y = d (dy)|d x = dx.
Дифференциал dny можно ввести по индукции.
ВОПРОС 51. Локальные и условные экстремумы функций нескольких переменных.
Локальный экстремум.
Пусть дана функция , определенная в открытой области пространства , и пусть точка .
Определение1. Точка называется точкой минимума функции если существует окрестность точки, в которой выполняется неравенство:
, т.е.
(аналогично точка максимума)
Определение2. Точки минимума и максимума называются точками локального экстремума..
Теорема1.
Необходимое условие экстремума дифференцируемой функции.
Если точка является точкой экстремума дифференцируемой функции, то в этой точке все частные производные первого порядка равны нулю.
Определение3. Точка, в которой все частные производные первого порядка
Функции равны нулю, называется стационарной.
Теорема2.
Достаточное условие дифференцируемости
Пусть функция в окрестности точки имеет непрерывные частные производные второго порядка, и пусть точка является стационарной, тогда необходимо вычислить дифференциал второго порядка:
1) если и выполняется при любых значениях , не равных нулю одновременно, то - точка минимума.
2) если и выполняется при любых значениях , не равных нулю одновременно, то - точка максимума.
3) если принимает значения разных знаков, ТО Экстремума нет.
Условный экстремум.
Определение1. Условный экстремум-это точки условного минимума и максимума.
|
Метод Лагранжа.
Определение2. функцией Лагранжа называется функция
Теорема1.
Если точка является точкой условного экстремума дифференцируемой функции , то в этой точке все частные производные первого порядка взятые от функции Лагранжа равны нулю.
Теорема2.
Пусть функция в окрестности точки имеет непрерывные частные производные второго порядка, и пусть точка удовлетворяет Теореме1, тогда необходимо вычислить дифференциал второго порядка:
1) если и выполняется при любых значениях , не равных нулю одновременно, то - точка минимума.
2) если и выполняется при любых значениях , не равных нулю одновременно, то - точка максимума.
3) если принимает значения разных знаков, ТО Экстремума нет.
ВОПРОС 53. Первообразная и неопределённый интеграл. Таблица элементарных интегралов.
|
|
Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!