Предел функции. Непрерывность в точке, на интервале. Свойства.

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех таких, что , верно неравенство: .

Определение. Число называется пределом функции при , стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ; ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство: .

Теоремы о пределах:

Функция не может иметь более одного предела.

1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е. .

2. Предел произведений конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е. .

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен нулю), т.е. .

4. Если , , то предел сложной функции .

5. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших ) , то .

Пример. Вычислить .

.

Определение. Функция называется непрерывной в точке , если она удовлетворяет следующим трем условиям: 1) определена в точке (т.е. существует ); 2) имеет конечный предел функции при ; 3) этот предел равен значению функции в точке , т.е. .

Свойства функций, непрерывных в точке:

1. Если функция и непрерывны в точке , то их сумма , произведение и частное (при условии ) являются функциями, непрерывными в точке .

2. Если функция непрерывны в точке и , то существует такая окрестность точки , в которой .

3. Если функция непрерывны в точке , а функция непрерывны в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Пример. Функция задана кусочно аналитически, различными аналитическими выражениями для различных подобластей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют.

Так как , и , , т.е. , то в точке функция не является непрерывной.

Так как , и , , т.е. , то в точке функция непрерывна.

30 вопрос тоже.

Определение. Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1. Если функция непрерывна на отрезке , то она ограниченна на этом отрезке.

2. Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке наименьшего значения и наибольшего значения .

3. Если функция непрерывна на отрезке и значение ее на концах отрезка и имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется точка такая, что .

Пример. Доказать непрерывность функции .

Найдем . Так как , а , т.е. , то функция является непрерывной на всей числовой оси.

ВОПРОС 27.. Основные теоремы о пределах.

1. Бесконечно большие и бесконечно малые.

Функция f (x) стремится к бесконечности при x стремящимся к a, если для любого M > 0 можно указать такое значение  > 0, что для всех x удовлетворяющих неравенству  x  a  < имеет место неравенство  f (x) > M.

lim _{x  a} =

1. Функция ограниченная при x  a.
2. Функция ограниченная при x  .
3. Теорема. Если lim _{x  a} f (x)= b, то функция f (x) ограниченная при x  a.
4. Бесконечно малые и их свойства. lim _{x  a} (x)=0

Теорема. 1. Если f (x)= b +, где  - б.м. при x  a, то lim _{x  a} f (x)= b и обратно, если lim _{x  a} f (x)= b, то можно записать f (x)= b +(x).

Теорема. 2. Если lim _{x  a} (x)=0 и (x)  0, то 1/ .

Теорема. 3. Сумма конечного числа б.м. есть б.м.

Теорема. 4. Произведение б.м. на ограниченную функцию есть б.м.

1. Теоремы о пределах.

Теорема. 1. Предел суммы есть сумма пределов.

Теорема. 2. Предел произведения есть произведение пределов.

Теорема. 3. Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Теорема. 4. Если u (x)  z (x)  v (x), и lim _{x  a} u (x)=lim _{x  a} v (x)= b, то lim _{x  a} z (x)= b. ("Теорема о двух милиционерах").

0.5sin(x) < 0.5 x < 0.5tg(x)

1. Первый замечательный предел.

lim x ® 0

sin(x) x

=1.

1. Второй замечательный предел.

 

Переменная величина

æ è 1+ n ö ø n

при n ® ¥ имеет предел, заключенный между 2 и 3.

 

ВОПРОС 32. Бесконечно малые величины, основные теоремы о бесконечно малых.

ВОПРОС 33. Бесконечно большие величины, связь бесконечно малых с бесконечными величинами.

 

ВОПРОС 36.. Дифференцируемость функции, первый дифференциал и производная первого порядка.. Связь непрерывности и дифференцируемости

Пусть функция задана в некоторой области, и -- внутренняя точка этой области. Пусть -- произвольная точка этой же области. Разность называется приращением аргумента;, где. Разность значений функции называется приращением, или полным приращением функции в точке, соответствующим приращению аргумента; -- это функция от точки и приращения.

Предположим, что приращение функции можно представить в виде

(7.2

где -- некоторые числа. Подчеркнём, что эти числа не зависят от, но могут измениться, если сменить точку. Относительно величины мы предположим, что это функция, при базе являющаяся величиной большего порядка малости, чем. Это означает, если вспомнить определение бесконечно малой величины большего порядка малости относительно другой бесконечно малой, что

Заметим, что сумма всех слагаемых левой части (7.2), кроме последнего, -- это линейная функция от приращения аргумента, если точка фиксирована. Условие большей малости последнего слагаемого (7.2) относительно означает, что эта линейная функция -- главная часть приращения функции.

Определение 7.11 Если указанное представление (7.2) имеет место, то функцию называют дифференцируемой в точке, а линейную относительно функцию

то есть главную линейную часть приращения функции, -- дифференциалом функции в точке.

Если функция является дифференцируемой в любой точке открытой области, то функцию называют дифференцируемой в области.

Таким образом, приращение дифференцируемой функции можно представить в виде суммы дифференциала, то есть линейной части приращения, и остатка, который имеет более высокий порядок малости, чем приращение:

Теорема 7.8 Дифференцируемая в точке функция является непрерывной в этой точке.

Доказательство. Действительно, если, то стремятся к 0 все слагаемые дифференциала: они имеют вид; множитель не зависит от, то есть постоянен, а, поскольку Величина также стремится к 0, так как имеет даже больший порядок малости, чем. Значит,. Но условие как раз и означает, что при, то есть что функция непрерывна в точке.

ВОПРОС 37. Правила дифференцирования. Таблица производных.

ВОПРОС 39. Основные теоремы дифференциального исчисления (теоремы Ферма, Ролля).

ТеоремаФерма

Пусть функция или в т.

Пусть, для определённости, (рис. 10.1), тогда при и

Согласно определению производной имеем

Рис. 10.1

Геометрическоеистолкованиетеоремывытекаетизгеометрическогосмыслапроизводной: касательная к графику функции в точке с абсциссой параллельна оси .

Теорема Ролля

Пусть функция . Тогда

Из условия следуетпосвойству10непрерывныхна функций, что .

Существует две возможности:

1) ;

2) в силу .

Пусть , тогда согласно теореме Ферма .

Данная теорема обладает таким же геометрическим истолкованием, что и теорема Ферма.

 

 

ВОПРОС 40. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Связь теоремы Коши с теоремой Лагранжа.

Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема в интервале , то найдётся такая точка , что

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

 

Вопрос 41.Теорема Коши́

Теорема Коши о среднем значении является обобщением теоремы Лагранжа о конечных приращениях

Пусть на отрезке определены две непрерывные фунции . Пусть также существует конечная или бесконечная производная f'(x), а функция g дифференцируема, то есть , и

Тогда

Пример. Проверить, что функции и на отрезке удовлетворяют условиям Коши.

Функции и непрерывны при всех , а значит, и на отрезке ; их производные и существуют везде; кроме того, на заданном отрезке не обращается в нуль.

Следовательно, к данным функциям применима теорема Коши: , т.е. , откуда находим два значения : , .

Из полученных значений только удовлетворяет условию задачи, так как является внутренней точкой отрезка .

Вопрос 43. Формула Тейлора

Формула Тейлора. Пусть функция имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка . Пусть - любое значение аргумента из указанной окрестности, . Тогда между точками и найдется точка така, что справедлива формула Тейлора .