Среднее арифметическое (или просто среднее) - сумма значений переменной, поделенной на число значений.

Среднее арифметическое широко используется, ноприменение лишь этой статистики таит в себе опасность.Говоря о среднем значении переменной, мы подменяемрассмотрение всей совокупности ее значений однимпоказателем. При этом мы предполагаем, что значение данногопоказателя достаточно хорошо описывает поведениеанализируемой переменной (т.е. выступает в качестве модели).

Среднее арифметическое значение, вычисленное для какой- либо группы респондентов, чаще всего интерпретируется как значение наиболее типичного для этой группы человека. Но если признак в этой группе распределен неравномерно, то подобная интерпретация неуместна.

Среднее арифметическое чувствительно к средним значениям (если к посетителям библиотеки добавить 80-летнего читателя, то показатель среднего арифметического вырастет). Следовательно, сами по себе значения средних мало что говорят. Они не отражают качество модели среднего.

Мода. Для номинальных переменных мерой центральной тенденцииможет выступать только мода - наиболее часто встречающееся значение переменной. Мода не имеет какого-либо показателя разброса.

 

Медиана. Для переменных, измеренных на порядковом уровне, основной мерой центральной тенденции является медиана.

Медиана – это значение признака, которое делит вариационный ряд, отвечающий этому признаку, пополам. Вариационный ряд – последовательность значений признака, расположенных в порядке их возрастания.

Таким образом, медиана обладает тем свойством, что половина всех выборочных значений признака меньше ее, а половина – больше.

Данная мера центральной тенденции имеет смысл только для порядковых и метрических шкал (для номинальных она не подходит, поскольку ее интерпретация будет бессмысленна с содержательной стороны).

Например, мы имеем 11 измеренных значений: 3, 7, 8, 5, 4, 6, 3, 9, 2, 8, 4.

Вариационный ряд будет представлять собой упорядоченную в порядке возрастания совокупность значений – 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 9. В этом случае медиана равна 5.

Если вариационный ряд содержит четное число измерений, например: 12 – 2, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 8, 8, 9, то медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений: Ме= (5+6)/2=5,5.

Шкалирование и виды шкал.

Номинальная (категориальная / номинативная) переменная. Переменная, каждое значение которой указывает на принадлежность объекта к определенной группе (категории). Номинативная шкала - шкала, классифицирующая по названию (лат. nomen - имя, название), разделяет все объекты на непересекающиеся группы, и не позволяет сравнивать объекты по уровню выраженности этого признака. В её основе лежит процедура, обычно не ассоциируемая с измерением. Пользуясь определённым правилом, объекты группируются по различным классам так, чтобы внутри класса они были идентичны по измеряемому свойству. Затем каждому объекту присваивается соответствующее обозначение. Простейший случай номинативной шкалы - шкала, состоящая всего лишь из двух ячеек, например: «имеет братьев и сестер - единственный ребенок в семье»; «иностранец – соотечественник»; проголосовал «за» - проголосовал «против»; пол, семейное положение, профессия и др.). и т.п.

В принципе номинативная шкала может состоять из ячеек «признак проявился - признак не проявился». Сложный вариант номинативной шкалы «старший - средний - младший - единственный ребенок в семье»; «выбор кандидатуры А - кандидатуры Б - кандидатуры В - кандидатуры Г».

Ранговая (порядковая) переменная. Количественная переменная, отражающая измеренное качество на уровне порядка: в большей или меньшей степени оно выражено. Измерение в этой шкале предполагает приписывание объектам чисел в зависимости от степени выраженности измеряемого свойства. В порядковой шкале ячейки образуют последовательность от ячейки «самое малое значение» к ячейке «самое большое значение» (или наоборот). Ячейки теперь уместнее называть классами, поскольку по отношению к классам употребимы определения «низкий», «средний» и «высокий» класс (ранг), или 1-й, 2-й, 3-й класс, и т.д. В порядковой шкале должно быть не менее трех классов, например «положительная реакция - нейтральная реакция - отрицательная реакция» или «подходит для занятия вакантной должности - подходит с оговорками - не подходит» и т. п. От классов легко перейти к числам, если мы условимся считать, что низший класс получает ранг 1, средний класс - ранг 2, а высший класс - ранг 3, или наоборот. Чем больше классов в шкале, тем больше у нас возможностей для математической обработки полученных данных и проверки статистических гипотез.

Интервальная шкала (метрическая) - это шкала, классифицирующая по принципу «больше на определенное количество единиц - меньше на определенное количество единиц». Каждое из возможных значений признака отстоит от другого на равном расстоянии. Шкала интервалов определяет величину различий между объектами в проявлении свойства. Она дополняет идею ранжирования принципом равных интервалов между ранжируемыми явлениями. Позволяет судить больше или меньше выражен признак и насколько. Интервальная шкала применяется в прикладной социологии

для измерения весьма небольшого числа свойств, значения которых можно выразить числом: возраст, стаж работы, число членов семьи, доход и др.

Шкала равных отношений –раз в неделю, 2 раза, раз в месяц, отнощение происходит субъектов 2:4, 5:10

Меры разброса.

Основными показателями, характеризующими вариацию, являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации. R=Xmax-Xmin=22,83-22,40=0,43 руб. Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

 

Дисперсия – это мера вариации значений признака в среднем и вокруг средней арифметической. Фактически это сумма квадратов остатков, деленная на число наблюдений.

Для того чтобы вычислить значение дисперсии, надо вычесть из каждого наблюдаемого значения среднее, возвести в квадрат все полученные отклонения, сложить квадраты отклонений и разделить полученную сумму на n:

где х – каждое наблюдаемое значение признака;

х (с черточкой сверху) – среднее арифметическое значение признака (переменной х);

n – количество наблюдений.

Чтобы сделать соответствующую точечную оценку дисперсии несмещенной, величина объема выборки в знаменателе уменьшается на 1.

где х_i – каждое наблюдаемое значение признака;

х (с черточкой сверху) – среднее арифметическое значение признака (переменной х);

N – количество наблюдений.

В зависимости от того, насколько велика (мала) дисперсия, или среднеквадратическое отклонение, мы можем судить, насколько единодушны были в своих оценках респонденты (при меньшем значении дисперсии), или насколько сильно они расходятся в своих мнениях (при большем значении дисперсии).

Недостатком дисперсии является то, что это величина безразмерная. Мы можем понять размер доходов и единицы измерения остатков, но в данном случае дисперсия равна 4 000 000. Вряд ли можно сказать большая это величина или маленькая. Кроме того, данное значение не позволяет определить качество модели среднего, поскольку в формуле расчета дисперсии остатки берутся в квадрате.

Для того чтобы преодолеть эти трудности, существуют два производных от дисперсии показателя –

стандартное (среднеквадратичное) отклонение и

стандартная ошибка среднего .

Стандартное отклонение – это корень квадратный из дисперсии:

 

 

где х_i – каждое наблюдаемое значение признака;

х (с черточкой сверху) – среднее арифметическое значение признака (переменной х);

n – количество наблюдений.

ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ СТАНДАРТНОЙ ОШИБКИ СРЕДНЕГО НАМ НУЖНО РАЗДЕЛИТЬ СР.КВАДР.ОТКЛОНЕНИЕ НА КОРЕНЬ ИЗ РАЗМЕРА ГЕН.СОВОКУПНОСТИ