Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Топ:
Генеалогическое древо Султанов Османской империи: Османские правители, вначале, будучи еще бейлербеями Анатолии, женились на дочерях византийских императоров...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Комплексной системы оценки состояния охраны труда на производственном объекте (КСОТ-П): Цели и задачи Комплексной системы оценки состояния охраны труда и определению факторов рисков по охране труда...
Интересное:
Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски...
Наиболее распространенные виды рака: Раковая опухоль — это самостоятельное новообразование, которое может возникнуть и от повышенного давления...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-11-15 | 303 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
y=f(x) – [a; b], f(x)≥0
Найти S:
Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.
Эти точки xk – разбиение [a;b].
Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck
f(ck),k=0,…n-1
Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)
xk-xk-1=∆xk
(1)
Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.
Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.
Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:
Определённым интегралом функции f (х) непрерывной на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка [а, b] на частичные и выбора точек a i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.
Интегральная сумма. Свойства интегральных сумм.
Пусть зад ф у=f(x), кот непрер на некот. замкнутом инт-ле [a,b].
Разбиваем инт-л [a,b] на n частей; абсциссы точек дел-я a=x0<x1<x2<…<xi-1<xn-1<xn=b обозн x1,x2,…xn. Кажд частичный инт-л обозн ∆x1=x1-x0, ∆x2=x2-x1, ∆xi=xi-xi-1, ∆xn=xn-xn-1. В каждом частичном инт-ле ∆xi, i= 1;n выберем т. и выч-м ﻉI , y=f(x), y=f(ﻉ1), f(ﻉ2), … f(ﻉi),… f(ﻉn) Cост-м произв-е f(ﻉ1)∆x1, f(ﻉ2)∆x2, … f(ﻉi)∆xi,… f(ﻉn)∆xn. Кажд из этих произв-й предст собой полоску шириной ∆xi и высотой f(ﻉi).
Сумма f(ﻉ1)∆x1+ f(ﻉ2)∆x2 + … f(ﻉi)∆xi +… f(ﻉn)∆xn=∑ f(ﻉ1)∆x1 наз интегр суммой ф. f(x) на инт-ле [a,b]. С геом. точки предст собой S ступенчатой фигуры.
Первообразная
Пусть функции f(x) и F(x) определены на интервале (a;b). Если функция F(x) имеет производную на интервале (a;b) и для всех x? (a;b) выполняется равенство F’(x) = f(x), то функция F(x) называется первообразной функции f(x) на интервале (a;b). Т.: Если F(x) первооб-я ф-и f(x), то F(x)+С тоже пер-я.
|
Неопределённый интеграл
Мн-во всех перв-х ф-й F(x)+С для данной ф-и f(x) наз. неопред интегр ф-и f(x) обозн-ся
Стр-ра общего реш-я линейных ДУ 2го порядка
Общее решение ур-я y”+p(x)y’+q(x)y=f(x) есть ф-я вида y(x)=Y(x)+ (x), в которой Y(x)= – общее решение решение однор.ур-я y”+p(x)y’+q(x)y=0, a (x) – некоторое частное реш-е ур-я y”+p(x)y’+q(x)y=f(x)
Свойства определенного интеграла.
Значение о.и. не зависит от выбора переменной интегрирования:
1.
2.
3. С=const
4. для любых a, b, c
5. Если f’(x)>=0, на [a; b] и интегрируема на [a; b ] =>
6.f(x)>=g(x), x принадлеж. [a; b], то
7. пусть f(x) – непрерывна на [a; b ] и m=min f(x), M=max f(x), тогда имеют место неравенства:
8. Т. О среднем значении если f(x)непрерывна на отрезке [a,b] то сущ.на этом отрезке такая т-ка что ∫abf(x)dx=f(c)(b-a).
Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства.
Пусть f(x) непрерывна на отрезке [a,b] тогда она интегрируема на этом отрезке и зн.интегрируема на любом отрезке [a,х] содержащимся в [a,b].
Рассм.ф-цию Ф(х)=∫ах f(x)dx- её наз. интегралом с переменным верхним пределом.
Св-ва:
1. Ф(х) непрерывна на [a; b]
2. Если f(x) – непрер. на [a; b], то Ф(х) – дифф-ма на [a; b] и Ф’(x)=f(x).
Таблица основных неопределенных интегралов.
1. ò0d х =С.
2. 2.ò х d х = х+ С.
3. 3. ò хa d х = +С, a¹1.
4. òсоs х d х =sin х +С; 5. òsin х d х = –соs х +С;
6. ò =tg х +С; 7. ò =-сtg х +С;
8. ò = ; 8а. ò = ;
9. ò = ; 9а. ò = ;
10. òа х d х =а х /ln х +С; 10а. òе х d х = е х + С;
11. ò ln| х |+С;12.ò +С; 13 ò =ln| х+ |+ С
Формула Ньютона-Лейбница.
Если ф-ция f(х) непрерывна на [a,b] и ф-я F(x) какая-либо первообразная для f(x) на отрезке[a,b] то справедлива формула
.
Док-во:
пусть F(x)первообразная для f(x) на отрезке [a,b], ф-ция Ф(х) так же явл.первообразной. по теореме о множестве первообразных имеем Ф(х)-F(x)=C. Подставим в последнее рав-во вместо х сначала а, потом b=х получим:
|
Ф(а)-F(a)=C Ф(b)-F(b)=C Ф(а)=∫aa f(x)dx=0 Ф(b)=∫ab f(x)dx
Имеем C=-F(a) ∫ab f(x)dx+F(a)=F(b) ∫ab f(x)dx=F(b)-F(a)
17.Опред. интеграл в эк-ке:
u=f(t) – пр-ть труда, тогда V прод-ии, произвед. за время от t до t2 равен
Пусть ф-ия k(x) опред. зависим. TC от Q прод-ии x, тогда f знач. TC при выпуске Q от а до b, x принадлеж. [a; b], опред.:
Частные пр-е 1го порядка
Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y), где x,y Ω с .Возьмём любую точку Ω, через ∆x и ∆y обозначим приращение по х и у, тогда полное приращение имеет вид:∆z=f( +∆x, +∆y)-f(). Рассм. отн-е частного прир-я по пер-й z к вызвавшему его прир-ю: рассм. предел, когда ∆x→0, этот предел может существовать и не сущ-ть. Если сущ-т, то он наз. 1й част. пр-й по пер-й х (, z`x):
Для того, чтобы находить 1й част. пр-е примен. след правило: 1я част. пр-я по х – это обыкн. пр-я по пер-й х при усл., что у=const
Длина дуги плоской кривой.
Пусть некот. линия y=f(x), где f(x) – дифф. на отрезке [a; b]
- длина дуги АВ
Y(k-1) M(k-1)
M1
Yk A Mk
M(n-1) B
a=x0 x1 x2 xk x(n-1) b=xn
Неберущиеся интегралы.
Опрерация дифференц-я не выводит нас из класса элемент.ф-й. С операцией интегрир. дело обстоит иначе: интегралы от некот. элемент. ф-й уже не явл. элемент. ф-ми. Например: – интег. Пуассона; – инт. Френеля;
– интег.логарифм,
Градиент ф-и
Рассм ф-ю 2 перем. z=f(x,y) Вектор коорд. кот.=1м част. пр-м, вычисленным в т. и называется градиентом ф-и. Градиент имеет обозначение: grad f(палочка вниз и внизу её )=(). Градиент, вычисленный в т. хар-ет направ. и велич. макс. скорости возраст. ф-и в указ точке.
Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть f(x) имеет производные всех порядков некотор. окрестн. т. x. Рядом Тейлора для f(x) в т. х0 назыв. степен. ряд след. вида:
Если х0=0, то ряд
назыв. рядом Маклорена
При выполнении некотр. условий ряд Тейлора для f(x) равен самой f(x). Говорят, что ф-ия представима в виде ф-ии степен. ряда
x принадлеж. R.
Задача о площади (площадь криволинейной трапеции).
y=f(x) – [a; b], f(x)≥0
Найти S:
Для решения, разобьем [a; b] на n частичнымх отрезков [xk; xk+1]; a=x0<x1<…<xn=b.
Эти точки xk – разбиение [a;b].
Внутри кажд. частичного отрезка выберем точку Ck принадлеж. [xk; xk+1] и найдем знач. ф-ии в Ck
f(ck),k=0,…n-1
Sn – площаль всех прямоуг-ов: Sn=(x1-x0)f(c1)+(x2-x1)f(c2)+..+f(xn-xn-1)f(Ck)
|
xk-xk-1=∆xk
(1)
Пусть S – площадь криволин. трапеции, тогда при больших n имеет место приближ рав-во S≈Sn, причем, чем больше отрезков берем, тем точнее рав-во.
Пусть λ=max∆Xk – наиб. из длин частичных отрезков – диаметр разбиения.
Если в (1) перейти к пределу так, чтобы кол-во част. отрез-ов неогран. возрасло и при этом λ->0, то мы получим знач S криволин. трап:
Определённым интегралом функции f (х) непрерывной на отрезке [а, b] называется предел интегральной суммы, независящий от дробления отрезка [а, b] на частичные и выбора точек a i когда наибольшая из длин частичных отрезков стремится к нулю.
|
|
История создания датчика движения: Первый прибор для обнаружения движения был изобретен немецким физиком Генрихом Герцем...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!