Применение дифференциала к приближенным вычислениям

 

Пусть нам известно значение функции y ₀ =f(x ₀ ) и ее производной y ₀ ' = f '(x ₀) в точке x ₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δ y можно представить в виде суммы Δ y = dy +α·Δ x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δ x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ y ≈ dy илиΔ y» f '(x ₀)·Δ x.

Т.к., по определению, Δ y = f (x) – f (x ₀), то f(x) – f(x ₀) ≈ f '(x ₀)·Δ x. Откуда

f(x) ≈ f(x ₀) + f '(x ₀)·Δ x

Основные теоремы о дифференцируемых функциях

1.Теорема. Ролля. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка и на концах обращается в нуль g (a)= g (b)=0, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой производная g ¢ обращается в нуль g ¢(c)=0.

Доказательство. Так как функция непрерывна на [ a, b ], то она имеет на этом отрезке наибольшее (M) и наименьшее значение m. Пусть g (c) - наибольшее значение.

Отсюда

g (c +D x) - g (c) D x £ 0, D x > 0

g (c +D x) - g (c) D x ³ 0, D x < 0

Переходим к пределу и получаем одновременно g ¢(с) ³ 0 и g ¢(с) £ 0, следовательно, g ¢(с)=0.

Пример функции, для которой не выполняется условие теоремы, поэтому производная внутри отрезка в 0 не обращается

y =1-(x 2)1/3

2. Теорема. Лагранжа. Если функция g (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то существует по крайней мере одна точка a < c < b в которой выполняется равенство

g (b)- g (a)= g ¢(c)(b - a)

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

g (x)- g (a)-(x - a) Q,

где

Q =(g (b)- g (a))/(b - a)

3. Теорема. Коши. Если функции g (x) и h (x) непрерывны на отрезке [ a, b ], дифференцируемы во всех внутренних точках этого отрезка, причем h ¢(x) ¹ 0 внутри отрезка [ a, b ], то существует точка a < c < b в которой выполняется равенство

g (b)- g (a) h (b)- h (a) = g ¢(c) h ¢(c)

Доказательство. Применим теорему Ролля к функции

g (x)- g (a)-(h (x)- h (a)) Q,

где

Q =(g (b)- g (a))/(h (b)- h (a))

4. Теорема. Лопиталя. Пусть функции g (x) и h (x) на некотором отрезке [ a, b ] удовлетворяют условиям теоремы Kоши и обращаются в 0 в точке x = a, т.е. g (a)= h (a)=0, тогда если существует предел отношения g ¢(x)/ h ¢(x) при x ® a, то существует и

lim x ® a g (x)/ h (x)

причем

lim x ® a g ¢(x)/ h ¢(x)= lim x ® a g (x)/ h (x).

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

 

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1∞, 10, ∞0 нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Монотонность ф-ии

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Экстремумы

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.