Переходные процессы в линейной RC-цепи.

 

Рассмотрим воздействие сигнала s(t) = E*1(t) на последовательную RC-цепь. Воздействие вызывается включением постоянного напряжения E в момент t = t₁ = 0 переключателем К.

Расчет последовательной цепи проводят обычно классическим или операторным методом.

Изучение переходного процесса в цепи проведем при помощи классического метода.

1. Предположим, что до начала воздействия конденсатор был разряжен и u_c(-0) = 0.

2. Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации относительно напряжения на конденсаторе. В соответствии со вторым законом Кирхгофа, начиная с момента замыкания переключателя t₁ = 0,

E = i(t)R + u_c(t).

Учитывая, что

i(t) = i_c(t) = C (du_c(t) / dt) (16.3)

получим

RC (du_c(t) / dt) + u_c(t) = E.

Как и следовало ожидать, получилось дифференциальное уравнение первого порядка, т.к. цепь имеет лишь один энергоемкий элемент.

3. Для нахождения свободной составляющей отклика составим характеристическое уравнение:

γRC + 1 = 0.

Это уравнение имеет один действительный отрицательный корень:

γ₁ = -1/ RC

Следовательно, свободная составляющая отклика цепи будет иметь вид

U_св(t) = Ae^γ1t = Ae^-t/RC.

4. По окончании переходного процесса, т.е. когда закончится заряд конденсатора, напряжение на нем станет равным E. Отсюда u_вын (t) = E.

5. Определим общий вид отклика:

u_c(t) = u_св(t) + u_вын (t) = E + Ae^-t/RC (16.14)

6. В соответствии со вторым законом коммутации при t = 0+ напряжение на конденсаторе сохраняет то же значение, что и непосредственно перед коммутацией, т.е. u_c(0+) = u_c(-0) = 0.

Подставляя t = 0 в (16.4) получаем 0 = Е + А, откуда А = -Е. Окончательно, подставляя полученное значение постоянной интегрерирования А в (16.4), получим

u_c(t) = E(1 - e^-t/RC) (16.15)

Воспользовавшись (16.3), определяем ток в цепи:

i(t) = i_c(t) = C (du_c(t) / dt) = Ee^-t/RC / R (16.16)

 

Графики воздействия s(t), напряжения на конденсаторе u_c(t) и тока в цепи i(t) показаны на рис. 16.4

 

Как видно из рисунка, поведение напряжения на конденсаторе удовлетворяет второму закону коммутации: до и в первый момент после коммутации равно нулю, затем конденсатор начинает заряжаться через резистор до величины напряжения ступеньки.

Напротив – ток через конденсатор в момент коммутации максимален и ограничивается лишь резистором, затем по мере заряда конденсатора стремится к нулю.

Зная законы коммутации, можно сделать прогноз поведения тока в цепи и напряжения на катушке индуктивности в последовательной RL-цепи: ток в цепи будет меняться как напряжение на конденсаторе, а напряжение на катушке – как ток через конденсатор в RC-цепи.

 

Вариант ответа по материалам Википедии:

Изучение переходных процессов можно провести посредством расчета как классическим, так и операторным методом:

1) Название метода «классический» отражает использование в нем решений дифференциальных уравнений с постоянными параметрами методами классической математики. Данный метод обладает физической наглядностью и удобен для расчета простых цепей (расчет сложных цепей упрощается операторным методом).

Этапы:

1. Найти независимые начальные условия, то есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса.

2. Далее необходимо составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока или напряжения . Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

3. Далее следует составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

4. Наконец, в общем решении следует найти постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.

Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.

Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

 

2) Операторный метод. Основан на переносе расчёта переходного процесса из области функций действительной переменной (времени t) в область функций комплексного переменного (либо операторной переменной), в которой дифференциальные уравнения преобразуются в алгебраические.

 

Этапы:

1. определяются независимые начальные условия;

2. вычерчивается операторная схема замещения, при этом электрические сопротивления заменяются эквивалентными операторными сопротивлениями, источники тока и источники ЭДС заменяются соответствующими операторными ЭДС, при этом следует учесть, что на месте реактивных сопротивлений помимо операторных сопротивлений появляются дополнительные операторные ЭДС;

3. находятся операторные функции токов и напряжений в цепи одним из методов расчёта электрической цепи с помощью решения обыкновенных алгебраических уравнений и их систем;

4. производится преобразование найденных операторных функций токов и напряжений в функцию действительного переменного с помощью методов операционного исчисления.

Операторный метод позволяет производить расчёт сложных схем менее трудоёмко, чем классический метод.

 

Вариант ответа по Кузнецову:

 

Законы коммутации для катушки и конденсатора:

Первый закон коммутации – в первый момент времени после коммутации (включения) (t=0+) ток в индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией (t=-0):

Второй закон коммутации – в первый момент времени после коммутации напряжение на обкладках конденсатора сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:

.

Предположим, что до начала воздействия, конденсатор был разряжен и Uc(-0)=0.

По окончании переходного процесса, т.е. когда закончится заряд конденсатора, напряжение на нем станет равным E – подаваемому напряжению.

Как видно из рисунка б, поведение напряжения на конденсаторе удовлетворяет второму закону коммутации: до и в первый момент после коммутации равно нулю, затем конденсатор начинает заряжаться через резистор до величины напряжения E.

Напротив – ток через конденсатор в момент коммутации максимален и ограничивается лишь резистором, затем по мере заряда конденсатора стремиться к нулю, так как на конденсаторе растет собственное сопротивление по мере его насыщения.

Иными словами:

В начальный момент времени (t=0) конденсатор разряжен. Его сопротивление равно 0. Вследствие чего, через него будет протекать большой ток, который ограничен резистором. В течении времени конденсатор будет заряжаться, вследствие чего будет расти его сопротивление. В результате будет уменьшаться протыкаемый через него ток, а напряжение увеличиваться. При полной зарядке конденсатора, его сопротивление в идеале равно бесконечности, в результате ток через него не протекает, а напряжение максимально.

ОПЭС