Тема №6. Показатели вариации

Занятие №3.(лекция). Структурные средние вариационного ряда

 

1 Структурные средние вариационного ряда.

 

К данным характеристикам относятся мода (Мо) и медиана (Ме).

Мода (Мо) представляет собой значение изучаемого признака, повторяющегося с наибольшей частотой.

Медианой (Ме) называется значение признака, приходящегося на середину ранжированной (упорядоченной) совокупности.

Рассмотрим определение моды и медианы по несгруппированным данным. Предположим, рабочие бригады, состоящей из 9 человек, имеют следующие тарифные разряды: 4, 3, 4, 5, 3, 3, 6, 2,6. Так, как в данной бригаде больше всего рабочих 3 –го разряда, то этот тарифный разряд и будет модальным.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

2,3,3,3,4,4,5,6,6.

Центральным в этом ряду является рабочий 4 – го разряда, следовательно он и будет медианным. Если ранжированный ряд включает четное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений.

Для сгруппированных данных (рядов распределения) определение моды и медианы рассмотрим на примере, исходные данные которого приведены в таблице15.

Таблица 15 - Распределение рабочих предприятия по тарифному разряду

Тарифный разряд	Численность рабочих
Всего

 

 

Наибольшую частоту имеют рабочие 5 –го разряда, следовательно именно этот разряд является модальным.

Для определения медианного значения признака необходимо определить номер медианной единицы ряда по следующей зависимости

 

, (27)

 

где n – объем совокупности.

Для рассматриваемого примера

 

N_Ме =(190 +1)/2 =95,5.

 

Полученное значение указывает на то, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно установить рассчитав накопленные частоты. Очевидно, что рабочих с этими номерами нет в первой группе, нет их и во второй группе, так как накопленная частота для второй группы равна (12+48) = 60. 96 и 96 рабочие находятся в третьей группе (12+48 +56) =116, следовательно медианным является 4 – тарифный разряд.

Расчет моды и медианы для интервальных вариационных рядов производится по формулам

, (28)

 

х₀ – нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту);

i – величина модального интервала;

f_мО – частота модального интервала;

f_МО-1; f_МО+1 – частота интервала предшествующего модальному и следующего за модальным соответственно.

, (29)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

i - величина медианного интервала;

S _Mе-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному.;

f_Ме - частота медианного интервала.

Рассмотрим пример расчета моды и медианы, используя исходные данные, приведенные в таблице16

Таблица 16 - Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в 1 полугодии 1997г.

Группы по уровню среднедушевого месячного дохода, тыс. руб.	Численность населения, млн. чел.
До 400 400 –600 600-800 800-1000 1000-1200 1200-1400 1400-1600 1600-1800 1800-2000 свыше 2000	29,6 30,6 25,1 18,4 12,8 9,4 5,6 4,1 3,3 8,6
Итого	147,5

Алгоритм расчета моды

1. Определяем модальный интервал, это 400-600 тыс.руб.

2. Определяем нижнюю границу модельного интервала х₀, она равна 400 тыс.руб.

3. Определяем величину модельного интервала i_, она равна 200тыс. руб..

4. По зависимости (28) рассчитываем моду

 

Мо = 400 + 200 ((30, 6 – 29,6)/ (30,6 –29,6) +(30,6 –25,1)) = 430,8 тыс. руб.

 

Алгоритм расчета медианы

1. Определяем медианный интервал, для чего рассчитываем накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит половину суммы частот (для рассматриваемого примера это 174, 5\ 2 = 73, 75 мл. чел.). Результаты расчета сводим в таблицу 17.

 

Таблица 17- Определен6ие медианного интервала

Интервал, тыс. руб.	Накопленная частота, мл. чел
До 400 400 – 600 600 - 800	29,6 60,2 85,3

 

Тогда медианный интервал равен 600- 800 тыс. руб.

2. Определяем нижнюю границу медианного интервала х₀, она равна 600тыс. руб.

3. Определяем величину медианного интервала i, она равна 200тыс.руб.

4. По зависимости (29) рассчитываем медиану

 

Ме = 600 + 200((73,75 – 60, 2)/25,1)) = 708,0 тыс. руб.

 

Вывод. В 1 полугодии 1997г в РФ наиболее часто наблюдался номинальный среднедушевой денежный доход в размере 430,8 тыс. руб., при этом одна половина населения РФ имела номинальный среднедушевой доход до 708,0 тыс. руб., а вторая половина населения имела доход свыше 708,0 тыс. руб.

Соотношение моды, медианы и средней арифметической имеет важное прикладное значение, так как позволяет оценить асимметрию распределения признака в совокупности. В симметричных распределениях все три характеристики совпадают. Чем больше расхождение между модой с средней арифметической, тем больше асимметричен ряд.

 

2 Графические методы определения структурных средних

 

Мода определяется по гистограмме распределения.

 

 

 

 

Алгоритм определения моды

1. Изобразить в масштабе гистограмму ряда распределения (рисунок 7).

2. Выбрать самый высокий прямоугольник, который и будет модальным.

3. Правую вершину модального прямоугольника соединить прямой с правым верхним углом предыдущего прямоугольника.

4. Левую вершину модального прямоугольника соединить прямой с левым верхним углом последующего прямоугольника.

5. Из точки пересечения прямых опустить перпендикуляр на ось абсцисс. Точка пересечения является модой ряда распределения.

Медиана распределения рассчитывается по кумуляте.

 

 

Алгоритм расчета медианы

1 Изобразить в масштабе кумуляту ряда распределения (рисунок 8).

2. По шкале накопленных частот определяют ординату, соответствующую 50% и проводят прямую параллельную оси абсцисс до пересечения с кумулятой.

3. Из точки пересечения опускают перпендикуляр до пересечения с точкой абсцисс. Абсцисса точки пересечения является м едианой.