По специальности Прикладная математика и информатика

По специальности Прикладная математика и информатика

 

Математический анализ

 

1. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности.

2. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней непрерывной на отрезке функции.

3. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

4. Теорема о среднем Коши (формула Коши).

5. Определение равномерно непрерывной функции. Теорема Кантора.

6. Правило Лопиталя.

7. Определение интеграла Римана от функции на отрезке. Необходимое условие интегрируемости.

8. Теорема о существовании интеграла от непрерывной на отрезке функции.

9. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

10. Определение числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

11. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.

12. Признак Даламбера сходимости числового ряда.

13. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда.

14. Ряд Лейбница.

15. Производная по направлению.

16. Определение равномерной сходимости последовательности функций. Критерий равномерной сходимости.

17. Теорема о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

18. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля.

19. Определение несобственных интегралов. Критерий Коши сходимости интегралов.

20. Признак сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций.

21. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Признак Вейерштрасса.

22. Область определения бета и гамма функций Эйлера.

 

Алгебра и геометрия

 

1. Совместность систем линейных уравнений.

2. Связь общего решения неоднородной системы с общим решением приведенной системы.

3. Теорема Крамера.

4. Линейная зависимость систем n-мерных строк (столбцов).

5. Число n-мерных строк (столбцов) в эквивалентных системах.

6. Конечномерное векторное пространство, база и размерность, матрица перехода от одной базы к другой.

7. Линейные операторы, матрица линейного оператора в данной базе, связь между матрицами линейного оператора в разных базах.

8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора в разных базах.

9. Евклидово пространство, ортонормированные базы, ортогональность матрицы перехода от одной ортонормированной базы к другой.

10. Ортогональные и симметрические операторы, их матрицы в ортонормированной базе, лемма о характеристических корнях вещественной симметрической матрицы.

 

Информатика

 

1. Основные понятия процедурного программирования.

2. Пользовательские процедуры как аппарат технологии программирования.

3. Типы данных и их классификация (на примере языка Паскаль).

4. Алгоритмы вычисления логических формул.

5. Алгоритмы поиска в последовательностях.

6. Однопроходные алгоритмы объединения (слияния), пересечения и разности массивов.

7. Алгоритмы сортировки массивов.

8. Реализация операторов и типов данных средствами низкого уровня.

9. Списки, стеки, очереди и их применение.

10. Алгоритм полного перебора на примере задачи о перечислении всех правильных раскрасок графа.

11. Алгоритм перебора с возвратом на примере задачи о перечислении всех правильных раскрасок графа.

12. Обход дерева "в глубину" (с использованием стека) и "в ширину" (с использованием очереди).

13. Алгоритмы обработки арифметических выражений.

14. Определение и реализация основных операций обработки текстов.

15. Нахождение текста результата операции по тексту ее аргументов на примере двух способов вычисления суммы натуральных чисел.

 

Дифференциальные уравнения

 

1. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3. Особые решения дифференциальных уравнений.

4. Фундаментальная система решений линейного дифференциального уравнения.

5. Метод вариации произвольных постоянных.

6. Краевые задачи. Метод функции Грина.

7. Линейные уравнения с частными производными 1-го порядка.

 

Дискретная математика

 

1. Функции алгебры логики. Реализация функций алгебры логики формулами. Канонические формы представления функций алгебры логики.

2. Полнота и замкнутость систем функций алгебры логики. Критерий функциональной полноты.

3. Проблема построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм и подходы к ее решению.

4. Схемы из функциональных элементов в базисе {И, ИЛИ, НЕ}. Задача построения схем из функциональных элементов и подходы к ее решению. Примеры.

5. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции. Способы задания ограниченно-детерминированных функций.

6. Вычислимые функции. Машины Тьюринга. Тезис Тьюринга-Черча.

7. Графы. Способы задания графов. Геометрическая реализация графов. Примеры задач из теории графов.

8. Коды. Проблематика теории кодирования. Алфавитное кодирование. Проблема однозначности кодирования. Префиксные коды.

9. Коды с минимальной избыточностью.

10. Помехоустойчивое кодирование. Коды Хемминга.

 

Методы оптимизации

 

1. Постановка задачи линейного программирования. Идея симплексного метода. Алгоритм симплексного метода.

2. Приведение задачи линейного программирования к каноническому виду. Метод дополнительных переменных и метод искусственных переменных.

3. Постановка задачи выпуклого программирования. Определение и примеры выпуклых множеств и выпуклых функций. Выпуклость и замкнутость Лебегова множества выпуклой функции. Градиентное неравенство для выпуклых функций. Экстремальные свойства выпуклых функций (теорема о глобальном и локальном минимуме).

4. Методы безусловной минимизации выпуклых функций (метод наискорейшего спуска, метод покоординатного спуска, метод Ньютона).

5. Методы решения задачи выпуклого программирования (на выбор, например, метод условного градиента, метод проекции градиента, метод штрафных функций).

 

Численные методы

 

1. Алгебраическое интерполирование. Исследование существования и единственности интерполяционного полинома. Интерполяционный полином Лагранжа. Оценка остаточного члена.

2. Интерполяционные квадратурные формулы. Квадратурные формулы наивысшей алгебраической степени точности.

3. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Применение метода Гаусса к вычислению определителя и обратной матрицы.

4. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Методы Якоби и Зейделя. Исследование сходимости в случае матриц с диагональным преобладанием.

5. Разностные схемы для уравнения Пуассона. Исследование устойчивости с помощью принципа максимума.

 

по специальности Прикладная математика и информатика

 

Математический анализ

 

1. Теорема Вейерштрасса о существовании предела у монотонной ограниченной последовательности.

2. Теорема Вейерштрасса о достижимости точных граней непрерывной на отрезке функции.

3. Теорема Больцано-Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции.

4. Теорема о среднем Коши (формула Коши).

5. Определение равномерно непрерывной функции. Теорема Кантора.

6. Правило Лопиталя.

7. Определение интеграла Римана от функции на отрезке. Необходимое условие интегрируемости.

8. Теорема о существовании интеграла от непрерывной на отрезке функции.

9. Теорема о среднем значении для определенного интеграла.

10. Определение числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

11. Признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.

12. Признак Даламбера сходимости числового ряда.

13. Радикальный признак Коши сходимости числового ряда.

14. Ряд Лейбница.

15. Производная по направлению.

16. Определение равномерной сходимости последовательности функций. Критерий равномерной сходимости.

17. Теорема о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.

18. Определение степенного ряда. Первая теорема Абеля.

19. Определение несобственных интегралов. Критерий Коши сходимости интегралов.

20. Признак сравнения для несобственных интегралов от неотрицательных функций.

21. Определение равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Признак Вейерштрасса.

22. Область определения бета и гамма функций Эйлера.

 

Алгебра и геометрия

 

1. Совместность систем линейных уравнений.

2. Связь общего решения неоднородной системы с общим решением приведенной системы.

3. Теорема Крамера.

4. Линейная зависимость систем n-мерных строк (столбцов).

5. Число n-мерных строк (столбцов) в эквивалентных системах.

6. Конечномерное векторное пространство, база и размерность, матрица перехода от одной базы к другой.

7. Линейные операторы, матрица линейного оператора в данной базе, связь между матрицами линейного оператора в разных базах.

8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора в разных базах.

9. Евклидово пространство, ортонормированные базы, ортогональность матрицы перехода от одной ортонормированной базы к другой.

10. Ортогональные и симметрические операторы, их матрицы в ортонормированной базе, лемма о характеристических корнях вещественной симметрической матрицы.

 

Информатика

 

1. Основные понятия процедурного программирования.

2. Пользовательские процедуры как аппарат технологии программирования.

3. Типы данных и их классификация (на примере языка Паскаль).

4. Алгоритмы вычисления логических формул.

5. Алгоритмы поиска в последовательностях.

6. Однопроходные алгоритмы объединения (слияния), пересечения и разности массивов.

7. Алгоритмы сортировки массивов.

8. Реализация операторов и типов данных средствами низкого уровня.

9. Списки, стеки, очереди и их применение.

10. Алгоритм полного перебора на примере задачи о перечислении всех правильных раскрасок графа.

11. Алгоритм перебора с возвратом на примере задачи о перечислении всех правильных раскрасок графа.

12. Обход дерева "в глубину" (с использованием стека) и "в ширину" (с использованием очереди).

13. Алгоритмы обработки арифметических выражений.

14. Определение и реализация основных операций обработки текстов.

15. Нахождение текста результата операции по тексту ее аргументов на примере двух способов вычисления суммы натуральных чисел.

 

Дифференциальные уравнения

 

1. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

2. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

3. Особые решения дифференциальных уравнений.

4. Фундаментальная система решений линейного дифференциального уравнения.

5. Метод вариации произвольных постоянных.

6. Краевые задачи. Метод функции Грина.

7. Линейные уравнения с частными производными 1-го порядка.

 

Дискретная математика

 

1. Функции алгебры логики. Реализация функций алгебры логики формулами. Канонические формы представления функций алгебры логики.

2. Полнота и замкнутость систем функций алгебры логики. Критерий функциональной полноты.

3. Проблема построения минимальных дизъюнктивных нормальных форм и подходы к ее решению.

4. Схемы из функциональных элементов в базисе {И, ИЛИ, НЕ}. Задача построения схем из функциональных элементов и подходы к ее решению. Примеры.

5. Ограниченно-детерминированные (автоматные) функции. Способы задания ограниченно-детерминированных функций.

6. Вычислимые функции. Машины Тьюринга. Тезис Тьюринга-Черча.

7. Графы. Способы задания графов. Геометрическая реализация графов. Примеры задач из теории графов.

8. Коды. Проблематика теории кодирования. Алфавитное кодирование. Проблема однозначности кодирования. Префиксные коды.

9. Коды с минимальной избыточностью.

10. Помехоустойчивое кодирование. Коды Хемминга.