Особенности используемой программы.

 

Расчеты были выполнены с помощью программы “Heterostructure Design Studio 2.1”, написанной бывшим аспирантом нашей кафедры Колоколовым К.И. В основе программы заложен конечно-разностный метод, позволяющий самосогласованно решать уравнение Шредингера с к-р гамильтонианом в представлении Латтинжера-Кона с учётом членов, описывающих деформацию, и уравнение Пуассона для электростатического потенциала. Программа позволяет проводить численный расчет зонной структуры, электронных и оптических свойств квантовых ям различной формы и состава, а также определять положение уровней размерного квантования, непосредственно в самой яме, как при нормальных условиях, так и при одноосном сжатии вдоль различных кристаллографических направлений. Помимо этого предусмотрен учет влияния температуры и электрического поля.

•Согласно Биру и Пикусу [20] изменение энергии dЕ состояний в зоне проводимости в окрестности точки Г в GaAs, AlAs, GaP, при деформации кристалла, описываемой тензором e_ij, определяется одним деформационным потенциалом a_c = D_xx:

dЕ = D_xx(e_xx +e_yy +e_zz), (1)

где x, y, z отвечают, соответственно, кристаллографическим направлениям [100], [010] и [001] (в программе “Heterostructure Design Studio 2.1” считается, что две первых координаты отвечают плоскости структуры, а третья “z” – направлению роста структуры). Т. е. деформация приводит к сдвигу энергетического спектра электронов.

Воздействие деформации на валентную зону значительно сложнее и требует привлечения трех деформационных потенциалов a_v, b, d. В представлении Латтинжера Кона [21] гамильтониан 4×4, описывающий состояния легких и тяжелых дырок в окрестности точки Г, при наличии деформации, может быть представлен в виде [22]:

, (2)

где:

,

,

,

k_x, k_y, k_z – компоненты квазиимпульса, отсчитываемого от точки Г, m – масса свободного электрона, g_i – параметры Латтинжера.

Если одноосная деформация прикладывается вдоль направлений [110], [100] или [001] (к последней сводятся плоско-напряжённые состояния, обусловленные несоответствием решёток), матрица (1) может быть унитарным преобразованием [23] приведена к виду:

(3),

где:

(4),

(5).

•Для обеспечения самосогласованности расчета необходимо совместное решение уравнения Пуассона, которое позволяет рассчитать пространственный потенциал, связанный с неоднородным распределением заряда, и уравнение Шредингера с гамильтонианом, включающим как этот пространственный потенциал, так и матрицу Н' (3). Для решения такой системы интегро-дифференциальных уравнений обычно используется самосогласованный метод: сначала вычисляются собственные значения и собственные функции с гамильтонианом H’, т.е. без пространственного потенциала. После этого из уравнения Пуассона определяется потенциал уже с учетом вклада от появившегося неоднородного распределения заряда, который снова подставляется в гамильтониан. Эту операцию необходимо проводить до тех пор, пока каждая последующая итерация уже не будет приводить к изменению решения. В общем случае такая схема не всегда работает и процесс самосогласования необязательно сходится. Однако для системы с уравнением Шредингера с гамильтонианом, учитывающим наличие квантовой ямы, такой метод имеет хорошую сходимость и 20 итераций достаточно для устойчивости седьмого значащего разряда в значении энергии, получаемой из нахождения собственных значений гамильтониана.

• Расчет отвечающего за учет деформации члена гамильтониана дырок H’ производился по формулам (3), (4) и (5) с использованием литературных данных о значениях деформационных потенциалов и вычисляемых самой программой значений тензора деформаций.

Значения тензора деформации при одноосном сжатии вдоль направления [110] находились из следующих соображений. Считалось, что компоненты ε_ijтензора определены в системе координат xyz. Тогдавсистеме координат x’y’z’, повернутой вокруг оси z относительно xyz на 45°, тензор напряжений имеет вид:

(6)

где Р -величина одноосного давления. При переходе от одной системы координат к другой, компоненты тензора изменяются по закону:

(7)

где суммирование идет по дважды повторяющимся индексам, а матрица А_il представляет собой матрицу перехода из одной системы координат в другую. В рассматриваемом случае она имеет вид:

. (8)

После преобразования тензора, в системе координат xyz получается:

. (9)

После использования закона Гука, связывающего тензор напряжений и тензор деформации, при одноосной деформации вдоль направления [110] получаются следующие выражения для компонент тензора ε_ij[22]:

, (10)

где S ₁₁, S ₁₂, S ₄₄ – модули упругости.

В случае одноосной деформации вдоль направления [100] тензор напряжений имеет вид (6) в исходной системе координат xyz. Применяя закон Гука в этом случае, получаем следующие выражения для ненулевых компонент тензора деформации:

. (11)

Наконец, в случае одноосной деформации вдоль направления [001] тензор напряжений в системе координат xyz имеет вид:

. (12)

Соответственно, ненулевыми в этом случае являются следующие компоненты тензора деформации:

. (13)

• При расчетах учитывалось, что температура влияет на ширину запрещенной зоны и вызывает изменение постоянной решетки. Для описания температурной зависимости ширины запрещенной зоны использовалось эмпирическое выражение [24,25]:

где α и β - подгоночные параметры, а e_g (0) - ширина запрещенной зоны при нулевой температуре. Изменение постоянной решетки с температурой учитывалось в простейшем линейном приближении:

a_lc(T)=a_lc(0)+a_T(T-300)

где a_T- линейный коэффициент расширения,. a_lc(0) – постоянная решетки при комнатной температуре. Все необходимые значения параметров вводились на основании литературных данных [24, 25].

 

Порядок расчета.

 

Для расчета уровней размерного квантования, квазиуровней Ферми и волновых функций электронов и дырок в условиях одноосного сжатия при использовании программы необходимо было проделать следующие процедуры: (1) ввод необходимых параметров соединений, из которых состоит изучаемая структура; (2) моделирование гетероструктуры; (3) далее указываются внешние параметры (давление, температура); (4) расчёт зонной диаграммы гетероструктуры; (5) наконец, после выбора модели расчета из 5-ти возможных (модели: Латтинжера-Кона 4x4+conduction band, Латтинжера-Кона 6x6+conduction band, Латтинжера-Кона 8x8, Латтинжера-Кона 4x4, Латтинжера-Кона 6x6), программа рассчитывает значения уровней размерного квантования, волновые функции, уровни Ферми.

•Расчёт начинался с того, что на основании литературных данных [24, 25] для GaAs, AlAs, Al_xGa_1-xAs, GaP вводились значения необходимых для проведения расчётов параметров: постоянная кристаллической решетки и величина энергетической щели, константы упругости, значения деформационных потенциалов и диэлектрической проницаемости, параметры Латтинжера и т.д. (Рис.12). Поскольку для GaAs_yP_1-y в литературе данные о параметрах отсутствовали, то необходимые величины определялись предусмотренной в программе процедурой линейной экстраполяции между значениями, отвечающими бинарным сплавам GaAs и GaP. Эта же процедура применялась для определения значений некоторых параметров в Al_xGa_1-xAs по литературным данным для GaAs и AlAs. Чтобы убедиться в разумности результатов экстраполяционной процедуры тем же методом был проведён расчёт значений таких параметров, как энергетическая щель и постоянной решетки, для хорошо представленных в литературе [24] четверных сплавов InGaAsP на основании литературных данных [25] о параметрах InGa и рассчитанных нами значений для GaAs_yP_1-y.

 

Рис.12. Таблица вводимых параметров.

 

• При моделировании структуры было необходимо ввести для подложки и каждого слоя состав, толщину, концентрацию и тип легирующих примесей (в дальнейшем при расчётах примесь считалась полностью ионизованной, что обеспечивало моделирование встроенного поля p-n-перехода (Рис. 13)).

Рис.13. Зонная диаграмма центральной части гетероструктуры
p-Al_xGa_1-xAs/GaAs_1-yP_y/n-Al_xGa_1-xAs при Р = 0 (в валентной зоне состояния легких и тяжелых дырок расщеплены из-за биаксиальной деформации).

 

При расчёте конкретной структуры программой возникла следующая проблема: в программе “Heterostructure Design Studio 2.1” не предусмотрено описание варизонных структур. Поэтому, прилегающие к квантовой яме из GaAs_0.84P_0.16 слои Al_xGa_1-xAs с плавно изменяющимся содержанием алюминия от х = 0.3 до x = 0.45 (Рис.11) были разбиты на три независимых слоя одинаковой толщины и имеющие состав x=0.3, x=0.4 x=0.45 (Рис.13).

• Для моделирования реальных условий эксперимента вводится необходимое значение температуры, а также предусмотрен учёт приложенного одноосного давления с указанием его направления. Учёт влияния внешних воздействий описан выше.

• При расчёте зонной диаграммы структуры учитывалось, что из-за значительной разницы постоянной решетки слой GaAs_0.84P_0.16 находится во внутренне напряженном, а именно биаксиально растянутом состоянии. Полагая, что тонкий слой GaAsP повторяет структуру слоёв Al_xGa_1-xAs, рассчитывались значения деформации в нём:

, (14)

где a₀ и а - постоянные решетки AlGaAs и GaAsP соответственно (при этом a₀ > а), C₁₁ и C₁₂ ,- упругие константы в GaAsP. Затем, используя необходимое из выражений (10), (11) или (13), рассчитывался вклад в деформацию, вызванный внешним воздействием, и, наконец, используя значения деформационных потенциалов определялись значения энергетических щелей между дном зоны проводимости и потолком лёгких и тяжёлых дырок в GaAsP.

Также считалось, что скачок потенциала на гетерогранице составляет 60% и 40% от величины изменения энергетической щели для зоны проводимости и валентной зоны соответственно [26].

• Далее проводился расчёт волновых функций электронов и дырок и соответствующих значений энергии пространственного квантования. Чтобы иметь возможность сравнить результаты с данными работ [1-4, 12], считалось, как и в перечисленных работах, что концентрация неравновесных носителей в КЯ n = p = 2×10¹² см^-2.

Возможности использованной вычислительной техники позволяли провести расчёт за разумное (порядка часа) время на сетке не более чем из 200 точек только при использовании для описания спектра дырок наиболее простой модели - гамильтониана Латтинжера 4x4. В результате при равномерном распределении точек по всей структуре реальная точность воспроизведения вида волновой функции, которая, очевидно, сосредоточена прежде всего в квантовой яме, оказывается недостаточной, чтобы корректно рассчитать пространственный потенциал из уравнения Пуассона, а, значит, гарантировать достаточную точность расчёта энергии пространственного квантования. Поэтому расчёт проводился в два этапа. На первом использовалось равномерное распределение точек, и на полученных в результате волновых функциях выяснялась реальная область локализации, которая фактически ограничивалась квантовой ямой и прилегающими к ней ближайшими слоями (огибающая волновых функций затухала в 100 раз на расстоянии 18 нм от границы КЯ). На следующем этапе расчёт проводился для сетки, имеющей большую концентрацию точек в значимой части структуры: в квантовой яме GaAs_0.84P_0.16 и четырёх ближайших к ней слоях Al_xGa_1-xAs.

Следует сказать, что в использованной программе волновые функции электронов и дырок вычисляются в виде разложения по базисным функциям в представлении Латтинжера-Кона с полным угловым моментом J=3/2 и его проекциями m_j = ±1/2 и m_j = ±3/2 для лёгких и тяжёлых дырок соответственно. При одноосном сжатии в плоскости структуры симметрия падает, и это приводит к перемешиванию базисных функций, описывающих лёгкие и тяжёлые дырки в недеформированном кристалле. Вследствие этого при такой деформации определить связь уровня с лёгкими или тяжёлыми дырками становится непросто. Однако интерфейс используемой программы предусматривает вывод огибающих волновых функций по базисным для каждого из уровней в КЯ. В результате, следуя подходу работы [27], если проинтегрировать квадрат модуля огибающей в значимой области её существования, то можно установить вклад в волновую функцию от каждой из базисных функций и связать природу уровня с лёгкими или тяжёлыми дырками.

•После расчета спектра и волновых функций использованная программа позволяла ввести схему возможных оптических переходов между системой уровней и рассчитать значения матричных элементов оператора электрон фотонного взаимодействия для этих переходов между состояниями i и j:

A ep _ji, (15)

где A = A₀ e - векторный потенциал электромагнитной волны, e – единичный вектор, задающий поляризацию фотонов, – оператор импульса, e – заряд и m₀ – масса электрона, а затем по известной методике [28, 29] и коэффициент оптического усиления g для энергии E_ph = hω:

ç ep _vc ÷² . (16)

Здесь суммирование идет по волновому вектору k, отсчитываемому от Г точки, E _{( c )} и E _{( v )} – энергии соответствующих состояний в зоне проводимости и в валентной зоне, n_r – коэффициент преломления, f_c и f_v – Фермиевские функции распределения электронов и дырок, квазиуровни Ферми которых определяются концентрацией носителей: ò f_c(v).dE = n(p).

Коэффициент оптического усиления показывает, как нарастает интенсивность волны I по мере прохождения среды на расстояние d за счет рекомбинации электронов и дырок. По сути это отрицательный коэффициент поглощения a и рассчитывается по той же формуле во втором порядке теории возмущений, о чем говорит квадрат матричного элемента в выражении (16). Только положительный вклад, как видно из формулы (16), дают теперь переходы между занятыми состояниями электронов в зоне проводимости c и свободными состояниями в валентной зоне v, т.е. процессы рекомбинации электронов и дырок с энергиями E_(с) - E_(v) = hω.