Семя – орган полового размножения и расселения растений: наружи у семян имеется плотный покров – кожура...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
Топ:
Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает...
История развития методов оптимизации: теорема Куна-Таккера, метод Лагранжа, роль выпуклости в оптимизации...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Берегоукрепление оползневых склонов: На прибрежных склонах основной причиной развития оползневых процессов является подмыв водами рек естественных склонов...
Дисциплины:
2017-11-17 | 335 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Уравнение Бернулли
Основные понятия: линейное дифференциальное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли [1, с. 422-423].
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид
.
По методу Бернулли (см. комментарий с. 226) решение этого уравнения ищут в виде: . (см. решение типовых задач, пример 1).
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции : .
Уравнение Бернулли имеет вид:
.
Решение уравнения Бернулли можно также искать в виде .
Задачи А
1. Определить типы уравнений и указать способы их решения:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) .
Задачи Б
Решить дифференциальные уравнения:
2. . 3. . 4. .
5. Решить задачу Коши: .
Домашнее задание
Решить дифференциальные уравнения:
6. . 7. .
Решить задачу Коши:
8. . 9. .
Дополнительные задачи
Решить дифференциальные уравнения:
10. . 11. . 12. .
Решение типовых задач
Пример 1. Решить уравнение .
Это линейное дифференциальное уравнение. Полагаем , тогда и уравнение принимает вид
или
. (10.2)
Функцию найдем из условия, чтобы обращался в нуль коэффициент при в уравнении (10.2):
.
Это уравнение с разделяющимися переменными. Тогда
,
откуда находим любое отличное от нуля решение:
.
Подставляя найденную функцию в (10.2), получим:
, ,
Откуда . Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения: .
Ответы
2. 3. 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. .
Дифференциальные уравнения второго порядка,
Допускающие понижение порядка
Основные понятия: дифференциальное уравнение второго порядка, решение, общее решение, общий интеграл, задача Коши, частное решение, теорема существования и единственности решения задачи Коши; уравнения, допускающие понижения порядка [1, стр. 431-435].
|
Дифференциальное уравнение второго порядка относительно искомой функции в общем случае записывается в виде
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной .
I. Простейшее уравнение 2-го порядка: .
Решение этого уравнения получается путем двукратного интегрирования.
II. Уравнения, не содержащие явно неизвестной функции это уравнения вида .
Порядок уравнения понижают, полагая , тогда .
III. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной имеют вид: Порядок уравнения понижают, полагая , тогда .
Задачи А
1. Проверить, является ли функция решением дифференциального уравнения .
2. Показать, что уравнение имеет интегральные кривые и , пересекающиеся в точке Противоречит ли это теореме существования и единственности решения задачи Коши?
3. Используя методы понижения порядка, свести к уравнениям первого порядка следующие дифференциальные уравнения:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) .
4. Найти общее решение уравнения .
Задачи Б
5. Решить задачу Коши:
Решить уравнения:
6. . 7. .
Решить задачу Коши:
8. 9.
Домашнее задание
Решить уравнения:
10. . 11. .
Решить задачу Коши:
12. . 13. .
Дополнительные задачи
Решить уравнения:
14. . 15. .
16. . 17. .
18. Решить задачу Коши: .
Решение типовых задач
Пример 1. Найти общее решение уравнения .
Последовательно интегрируя два раза данное уравнение, получим
, ,
.
Пример 2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
Полагаем , тогда и уравнение принимает вид
или Это линейное уравнение относительно функции Найдем решение этого уравнения методом Бернулли. Полагаем Имеем: или . Подберем функцию так, чтобы . Тогда , . Получаем , , . Следовательно, . Из условия получаем . Имеем или . Интегрируя, получим . Находим из начальных условий: , . Таким образом, искомое частное решение.
Пример 3. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
|
Полагаем , тогда и уравнение принимает вид
.
Так как (иначе , что противоречит начальному условию ), то Это уравнение с разделяющимися переменными. Решая его, получим . Из начальных условий получаем . Откуда имеем . Следовательно, или . Разделяя переменные и интегрируя, получим . Из условия находим . Таким образом, искомое частное решение данного уравнения.
Ответы
5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. . 13. . 14. . 15. . 16. . 17. . 18. .
|
|
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!