Индивидуальные очистные сооружения: К классу индивидуальных очистных сооружений относят сооружения, пропускная способность которых...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Топ:
Определение места расположения распределительного центра: Фирма реализует продукцию на рынках сбыта и имеет постоянных поставщиков в разных регионах. Увеличение объема продаж...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Интересное:
Аура как энергетическое поле: многослойную ауру человека можно представить себе подобным...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Дисциплины:
2017-10-21 | 409 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
а) Если прямые и параллельны, то угол между ними , , откуда .
б) Если прямые, заданные общими уравнениями и , параллельны, то их нормальные вектора и также параллельны, а их координаты пропорциональны. Тогда условие параллельности прямых, заданных общими уравнениями, формулируется как .
в) Если прямые и перпендикулярны, то угол между ними , , откуда и .
г) Если прямые, заданные общими уравнениями и , перпендикулярны, то их нормальные вектора и также перпендикулярны, а их скалярное произведение равно нулю. Тогда условие перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями, формулируется как .
11 Точка пересечения прямых.
Пусть даны две прямые и . Очевидно, что координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы
.
Если прямые не параллельны, т.е. , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.
12 Расстояние от точки до прямой.
Пусть даны точка и прямая . Под расстоянием от точки до прямой понимается длина перпендикуляра , опущенного из точки на прямую . Можно показать, что его величина определяется по формуле .
Кривые второго порядка на плоскости
Окружность
Уравнение окружности радиуса с центром имеет вид
. (9)
В частности, уравнение окружности с центром в начале координат имеет вид .
Рассмотрим уравнение второй степени с двумя переменными в общем виде
, (10)
в котором , и не равны нулю одновременно, т.е. .
Чтобы уравнения (9) и (10) представляют одну и ту же линию, коэффициент должен равняться нулю, т.е. , а все остальные коэффициенты – быть пропорциональны, в частности, , откуда (т.к. , а ). Тогда получим уравнение
|
, (11)
называемое общим уравнением окружности.
Поделив обе части уравнения на и дополнив члены, содержащие и , до полного квадрата, получим
. (12)
Сравнивая уравнения (12) и (9), можно сделать вывод что уравнение (12) есть уравнение действительной окружности, если 1) ; 2) ; 3) . При выполнении этих условий центр окружности (12) расположен в точке , а ее радиус .
Эллипс
Перепишем (10) в виде или , где ; ; . В предположении уравнение кривой примет вид:
. (13)
Кривая второго порядка (13) называется эллипсом (кривой эллиптического типа), если коэффициенты и имеют одинаковые знаки. Будем считать, что и (в противном случае обе части уравнения можно умножить на ()). Тогда возможны три случая:
1) – кривая (13) не имеет действительных точек;
2) – кривая (13) представляет собой одну точку;
3) – кривая (13) переписывается в виде
. (14)
Уравнение (14) называется каноническим уравнением эллипса с полуосями и . При уравнение (14) представляет собой уравнение окружности . В предположении, что a > b, обозначим , тогда точки и называются фокусами эллипса, а отношение – его эксцентриситетом. Эксцентриситет характеризует форму эллипса. Очевидно, что , причем для окружности .
Можно показать, что для любой точки эллипса сумма расстояний от этой точки до фокусов есть величина постоянная, равная . Это характеристической свойство эллипса часто принимается за его определение.
Гипербола
Кривая второго порядка (13) называется гиперболой (кривой гиперболического типа), если коэффициенты и имеют противоположные знаки, т.е. . Пусть для определенности , . Возможны три случая.
1) соответствует гиперболе с каноническим уравнением вида
, (15)
где – действительная полуось, а – мнимая полуось. Фокусы гиперболы – точки и , где , а ее эксцентриситет принимает любые значения, большие единицы. Вершины гиперболы – точки и . Можно показать, что для любой точки гиперболы абсолютная величина разности ее расстояний до фокусов есть величина постоянная, равная : . Это характеристическое свойство гиперболы часто принимают за определение гиперболы. Прямые , называется асимптотами гиперболы. Для равносторонней гиперболы () асимптоты взаимно перпендикулярны и представляют биссектрисы координатных углов.
|
2) При уравнение кривой (15) примет вид , т.е. получим пару пересекающихся прямых и .
3) При получим гиперболу с полуосями - и , называемую сопряженной с гиперболой (15) (на рисунке она изображена пунктиром).
Парабола
Пусть в уравнении кривой второго порядка (10) , а также один из коэффициентов или равен нулю. Пусть для определенности , , тогда
. (16)
Или, после выделения полного квадрата при y: .
Полагая , , , получим
. (17)
Кривая (17) называется параболой, точка – вершиной параболы, p – параметром параболы. При ветви параболы направлены вправо, при - влево. Прямая является осью симметрии параболы.
Если вершина параболы находится в начале координат, то уравнение (17) принимает вид:
. (18)
Точка называется фокусом параболы, а прямая - ее директрисой.
Можно показать, что парабола представляет множество всех точек плоскости, равноотстоящих от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы). Это характеристической свойство параболы часто принимается за определение параболы.
Если в уравнении (18) поменять местами и , то получим - уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси ординат. Это уравнение обычно записывают в виде , где . При ветви параболы направлены вверх, при - вниз.
Можно показать, что, график квадратного трехчлена есть парабола с вершиной в точке и осью симметрии , параллельной оси .
|
|
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!