Двойное оплодотворение у цветковых растений: Оплодотворение - это процесс слияния мужской и женской половых клеток с образованием зиготы...
Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...
Топ:
Когда производится ограждение поезда, остановившегося на перегоне: Во всех случаях немедленно должно быть ограждено место препятствия для движения поездов на смежном пути двухпутного...
Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Интересное:
Инженерная защита территорий, зданий и сооружений от опасных геологических процессов: Изучение оползневых явлений, оценка устойчивости склонов и проектирование противооползневых сооружений — актуальнейшие задачи, стоящие перед отечественными...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Дисциплины:
2017-10-21 | 252 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Функция распределения случайной величины и
Ее основные свойства.
Определение. Пусть случайная величина. Вещественная функция , заданная на множестве всех вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины .
Необходимо предположить, что события попадают в выбранную алгебру событий для любого ,где множество вещественных чисел, так как вероятность события была введена только для событий, входящих в .
Теорема 12.1. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда для любого верно неравенство .
Теорема 12.2. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда функция неубывает всюду на .
Теорема 12.3. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того
, .
Тогда верны равенства: 1) ; 2) .
Теорема 12.4 (о непрерывности функции слева). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, левый односторонний предел функции в точке .
Тогда верно равенство .
Из теорем 2.1−2.4 следует, что график функции распределения выглядит примерно так:
Замечание. Можно показать, что любая функция , обладающая свойствами, указанными в теоремах 12.1−12.4, является функцией распределения некоторой случайной величины .
Теорема 12.5 (о вероятности попадания случайной величины в промежуток). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, известно, что:
и правые односторонние пределы функции в точках и соответственно, , , ; , .
Тогда верны равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Замечание. Полезно думать, что функция распределения случайной величины−это главная вероятностная функция случайной величины. С ее помощью можно найти многие числовые характеристики случайной величины. Поэтому часто, задавая случайную величину, указывают ее функцию распределения или любой объект, с помощью которого функция распределения однозначно восстанавливается. Этот объект, также как и саму функцию распределения, обычно называют законом распределения случайной величины. Надо добавить, что на практике функцию распределения случайной величины можно найти приближенно с помощью эмпирической функции распределения методами математической статистики. Для вычисления числовых характеристик случайной величины требуется хорошо знать теорию интегралов, конечных сумм, рядов (бесконечных сумм). Явно недостаточно использование определенного интеграла и несобственных интегралов и интегрирования по Риману. Из-за этого в традиционных курсах теории вероятностей для технических университетов отдельно изучаются дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Это приводит к неполной теории случайных величин. Если применять интегралы Стильтьеса или интегралы по мере (по вероятности) , а также интегрирование по Лебегу, то все случайные величины можно изучать вместе и получается полная теория случайных величин. Такая теория рассматривается в серьезных курсах теории вероятностей
|
Функция распределения случайной величины и
Ее основные свойства.
Определение. Пусть случайная величина. Вещественная функция , заданная на множестве всех вещественных чисел, называется функцией распределения случайной величины .
Необходимо предположить, что события попадают в выбранную алгебру событий для любого ,где множество вещественных чисел, так как вероятность события была введена только для событий, входящих в .
Теорема 12.1. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда для любого верно неравенство .
|
Теорема 12.2. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Тогда функция неубывает всюду на .
Теорема 12.3. Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того
, .
Тогда верны равенства: 1) ; 2) .
Теорема 12.4 (о непрерывности функции слева). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, левый односторонний предел функции в точке .
Тогда верно равенство .
Из теорем 2.1−2.4 следует, что график функции распределения выглядит примерно так:
Замечание. Можно показать, что любая функция , обладающая свойствами, указанными в теоремах 12.1−12.4, является функцией распределения некоторой случайной величины .
Теорема 12.5 (о вероятности попадания случайной величины в промежуток). Пусть случайная величина, функция распределения случайной величины . Пусть, кроме того, известно, что:
и правые односторонние пределы функции в точках и соответственно, , , ; , .
Тогда верны равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7) ;
8) ;
9) ;
10) .
Замечание. Полезно думать, что функция распределения случайной величины−это главная вероятностная функция случайной величины. С ее помощью можно найти многие числовые характеристики случайной величины. Поэтому часто, задавая случайную величину, указывают ее функцию распределения или любой объект, с помощью которого функция распределения однозначно восстанавливается. Этот объект, также как и саму функцию распределения, обычно называют законом распределения случайной величины. Надо добавить, что на практике функцию распределения случайной величины можно найти приближенно с помощью эмпирической функции распределения методами математической статистики. Для вычисления числовых характеристик случайной величины требуется хорошо знать теорию интегралов, конечных сумм, рядов (бесконечных сумм). Явно недостаточно использование определенного интеграла и несобственных интегралов и интегрирования по Риману. Из-за этого в традиционных курсах теории вероятностей для технических университетов отдельно изучаются дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Это приводит к неполной теории случайных величин. Если применять интегралы Стильтьеса или интегралы по мере (по вероятности) , а также интегрирование по Лебегу, то все случайные величины можно изучать вместе и получается полная теория случайных величин. Такая теория рассматривается в серьезных курсах теории вероятностей
|
|
|
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Адаптации растений и животных к жизни в горах: Большое значение для жизни организмов в горах имеют степень расчленения, крутизна и экспозиционные различия склонов...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!