Определение плотности твердых тел

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение величины производится непосредственно по шкале прибора. Например, измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение промежут­ков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов из­мерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое всех сделанных измерений:

, (1)

где - результаты отдельных измерений, n - число измерений.

Для характеристики степени приближения к истинному значению измеря­емой величины вводится понятие абсолютной погрешности - величины, показы­вающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может отли­чаться от истинного значения измеряемой величины.

Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти отклонения каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического: , где - отклонение данного измерения, равное разности между сред­ним значением измеряемой величины и результатом этого измерения .

Случайная погрешность вычисляется по формуле: , (2) где - модули отклонений каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического значения.

Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.

В качестве систематической погрешности берется приборная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная пог­решность при прямых измерениях рассчитывается по формуле:

 

(3)

 

где - случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),

-систематическая погрешность прибора, инструмента.

Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например, использовать более точные приборы).

Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью штанген­циркуля и делается 5 измерений: 34.50мм, 34.65мм,34.30мм,

34.70мм, 34.55мм.

Среднее арифметическое всех сделанных измерений:

 

Полученное значение даёт наиболее вероятное значение измеряемой величины D. Для нахождения случайной погрешности нужно найти абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего арифметического и затем определить среднее значение этих отклонений:

 

Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно, систематическая погрешность равна .

Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:

 

 

Результат измерений принято записывать следующим образом:

 

.

 

(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм должны заканчиваться в одинаковом разряде).

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности:

 

Относительная погрешность ε представляет собой отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. В нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:

 

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.

Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

 

 

I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

 

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с по­мощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользо­ваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргу­ментами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А - результат косвенного измерения, - ре­зультаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

(5)

С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .

 

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погреш­ность косвенного измерения можно найти путем:

1) логарифмирования исходного выражения ;

2) последующего дифференцирования ;

3) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

4) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

 

Пример.

 

Для определения плотности цилиндрического телаприменяется формула:

 

,

 

где m - масса тела, D - диаметр, h- высота. Величины m, D, h определяются в результате прямыхизмерений. Плотность определяетсяиз косвенных изме­рений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

1) находим натуральный логарифм исходного выражения

,

2) выполняем дифференцирование: ,

 

3) заменяем знак d на знак : ,

 

4) перед всеми знаками ставим знаки плюс .

 

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

 

где - абсолютная погрешность косвенного измерения, - среднеезначение искомой величины, ε – относительная погрешность.

 

Примечание.

Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолют­ную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погреш­ностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:

1) дифференцируют исходное выражение;

2) заменяют знак дифференциала dна знак погрешности ;

3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.

Пример.

1)

2) ,

3) .

 

III. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

 

При записи результата косвенногоизмерения необходимо соблюдать следующие правила:

1. Величину абсолютной погрешности необходимо округлить до двух зна­чащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в числе 5100 - четыре значащие цифры.

 

Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка оказалась рав­ной , ее следует округлить до двух значащих цифр: . Если , ее следует округлить до одной значащей цифры .

 

2. Среднее значение измеряемой величины следует записать таким образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная погрешность.

Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле получается равным , а абсолютная ошибка после округления равна , то объем следует записать также только до десятых

Окончательный результат записывается в виде: .

Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины.

В случае нашего примера для объема цилиндра окончательныйрезультатзаписывается следующим образом: .

Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:

.

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

 

При определении ускорения свободного падения g с помощью математи­ческого маятника используется расчетная формула:

,

где l - длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой, n - число колебаний маятника, t - время десяти колебаний маятника, определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины получаем следующие данные:

 

t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76; n = 10;

l= 54.2 см ±0.05 см = (54.2 ±0.05)×10^{-2 м}

 

1) Результаты измерений заносим в таблицу

Результаты измерений и расчетов. Таблица.

№	, с	, с	l, м	Δ l, м
	14.72 14.74 14.77 14.76 14.71	0.02 0.03 0.02 0.03	54.2×10-2	0.05×10-2
	=14.74	0,02
	=(14.74±0.02) с	= (54,20 + 0,05)×10-2 м
g =(9.84 ±0.05) м/с2, = 0.005

2) Определяем погрешности при прямых измерениях:

 

 

 

 

 

t = (14.74±0.02) c.

б) Так как измерения длины производились один раз, в качестве абсолютной погрешности берем погрешность инструмента (линейки), т.е. половину деления ее шкалы

3) Определяем относительную погрешностьпри косвенном измерении g:

а) берем натуральный логарифм от выражения:

 

 

б) выполняем дифференцирование

в) знак d заменяем на знак

,

г) знак минус перед знаком заменяем на знак плюс

.

Число Если ограничиться значением , то

относительная погрешность и

 

.

 

5) Запись окончательного результата. Находим среднеезначение ускорения свободного падения

 

.

Найдем абсолютную погрешность: . Округляем полученный результат до одной значащей цифры . Записываем окончательный результат:

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1) Какие измерения называются прямыми а какие косвенными?

2) Как определяется абсолютная погрешность при прямыхизмерениях?Какрассчитывается относительная погрешность?

3) Как определить относительную ошибку косвенного измерения?

Как можно определить абсолютную ошибку при косвенном измерении?

4) Как записать окончательный результат измерения.

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ

В некоторых лабораторных работах зависимость между изучаемыми величинами изображается графически. Обыкновенно пользуются прямоугольной системой координат. Значение аргумента откладывается по оси X, значение функции по оси Y. Около каждой оси нужно написать обозначение изобража­емой величины и указать, в каких единицах она измеряется. Для правильного построения графика важным является выбор масштаба. Рекомендуется руко­водствоваться следующими соображениями:

1) Масштаб по каждой оси может быть свой. Равномерно через 10-20ммоткладывают масштабные деления на координатных осях, причем пределы из­менений обеих величин должны ограничивать на осях отрезки примерно одина­ковые по величине, иначе график может оказаться очень сжатым по одной из осей и неудобным для пользования.

2) При построении графика следует полностью использовать всю площадь чертежа. Если первое значение измеряемой величины сильно отличается от нуля, отсчет в начале координат нужно начать не от нуля, а от значения, близкого к первому значению измеряемой величины.

3) На график наносят точки по полученным из эксперимента данным. Через них проводят прямую или плавную кривую линию. Так как все измерения сде­ланы с той или иной ошибкой, то может иметь место некоторый разброс точек (они не укладываются точно на одной кривой). В этом случае линию нужно про­водить между точками так, чтобы возможно большее число точек легло на эту линию, а остальные распределились примерно равномерно по обе стороны кри­вой на одинаковом от нее расстоянии.

Используя график, можно в пре­делах произведенных наблюдений интерполировать, то есть на­ходить значение величины Y для тех значении Х, которые непосредствен­но не наблюдались. Для этого из лю­бой точки оси абсцисс можно провес­ти ординату до пересечения с кривой. Длина такой ординаты будет пред­ставлять значение величины Y, соот­ветствующеезначению величины X.

 

ВВЕДЕНИЕ

Плотностью однородного тела называется величина равная отно­шению массы тела к его объему (1).

Объем цилиндра , где D - диаметр цилиндра,

H - его высота. Поэтому плотность тела цилиндрической формы определяется по формуле (2)

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

1. Измерить диаметр D и высоту Н цилиндра 5 раз. Резуль­таты измерений занести в таблицу 1.

Таблица 1.

Номер цилиндра № ____	m ± m= кг
N	, м	, м	, м	, м
1. 2. 3. 4. 5.
м	м
кг/м3
ερ =
кг/м3

 

2. Занести в таблицу указанный на цилиндре номер, его массуmи абсолютную погрешность m.

ТЕОРИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ

I. ПОГРЕШНОСТИ ПРИ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ

Прямыми измерениями называются такие, при которых измерение величины производится непосредственно по шкале прибора. Например,

измерение длины штангенциркулем, измерение веса тела на весах, определение промежут­ков времени с помощью секундомера. Если отклонение результатов измерений от истинного значения измеряемой величины происходит как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результатов из­мерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет среднее арифметическое всех сделанных измерений:

, (1)

где - результаты отдельных измерений, n - число измерений.

Для характеристики степени приближения к истинному значению измеря­емой величины вводится понятие абсолютной погрешности - величины, показы­вающей насколько найденное (среднее арифметическое) значение может отли­чаться от истинного значения измеряемой величины.

Для определения абсолютной погрешности сначала нужно найти отклонения каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического: , где - отклонение данного измерения, равное разности между сред­ним значением измеряемой величины и результатом этого измерения .

Случайная погрешность вычисляется по формуле:

, (2)

где - модули отклонений каж­дого отдельного измерения от среднего арифметического значения.

Из формулы (2) и теории вероятностей следует, что с увеличением числа измерений n случайная погрешность будет уменьшаться.

В качестве систематической погрешности берется приборная погрешность, равная половине цены деления шкалы прибора. Ценой деления прибора называется минимальная величина, измеряемая прибором.

В общем случае необходимо принимать во внимание как случайные, так и систематические погрешности прямых измерений. Поэтому абсолютная пог­решность при прямых измерениях рассчитывается по формуле:

 

(3)

 

где - случайная погрешностей, определяемых по формуле (2),

 

 

-систематическая погрешность прибора, инструмента.

Примечание: Если случайная погрешность много меньше систематической, то для повышения точности результата измерений нет смысла увеличивать число измерений, а нужно принять меры к уменьшению систематической погрешности (например, использовать более точные приборы).

Пример. Пусть измеряется диаметр цилиндрического стержня с помощью штанген­циркуля и делается 5 измерений: 34.50мм, 34.65мм,34.30мм,

34.70мм, 34.55мм.

Среднее арифметическое всех сделанных измерений:

 

Полученное значение даёт наиболее вероятное значение измеряемой величины D.

Для нахождения случайной погрешности нужно найти абсолютное значение отклонения каждого из 5-ти измерений от среднего арифметического и затем определить среднее значение этих отклонений:

 

Цена деления штангенциркуля равна 0.05 мм, следовательно, систематическая погрешность равна .

Абсолютная погрешность при измерении диаметра стержня:

 

 

Результат измерений принято записывать следующим образом:

 

.

 

(Результат измерений 34,54 мм и абсолютная погрешность 0,12 мм должны заканчиваться в одинаковом разряде)

Для характеристики точности измерения вводится понятие относительной погрешности:

 

Относительная погрешность ε представляет собой отношение абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины. В нашем примере относительная погрешность при измерении диаметра:

 

Относительная погрешность является безразмерной величиной. Она показывает, какую часть измеряемой величины составляет абсолютная погрешность.

Иногда относительная погрешность выражается в процентах:

 

 

I I. ПОГРЕШНОСТЬ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ.

 

В большинстве случаев в лабораторном практикуме нельзя определить искомую физическую величину непосредственно по приборам. В этом случае прибегают к косвенным измерениям. Косвенными измерениями являются измерения, полученные на основе прямых измерений и подсчитанные по математическим формулам.

Например, объем цилиндра определяется по формуле , где с по­мощью прямых измерений определяется диаметр цилиндра D и его высота h, объем же получается в результате косвенных измерений.

В таких случаях погрешность косвенного измерения зависит не только от погрешностей прямых измерений, но и от вида той математической формулы, по которой находится физическая величина.

Для нахождения погрешностей косвенных измерений удобно воспользо­ваться правилами дифференциального исчисления, считая искомую величину функцией, а величины, непосредственно измеряемые приборами, ее аргу­ментами. Пусть вид функциональной зависимости определяется формулой , где А - результат косвенного измерения, - ре­зультаты прямых измерений. По определению относительная погрешность равна

(5)

С другой стороны . Так как погрешность всегда много меньше измеряемой величины А, ошибки можно считать малыми величинами. Это дает возможность замены знака дифференциала d на знак абсолютной ошибки . То есть, можно записать: .

 

Из сопоставления приведенных формул следует, что относительную погреш­ность косвенного измерения можно найти путем:

5) логарифмирования исходного выражения ;

6) последующего дифференцирования ;

7) заменой знака дифференциала d на знак абсолютной погрешности ;

8) заменой всех знаков минус на знаки плюс перед знаками абсолютных погрешностей .

 

Пример.

 

Для определения плотности цилиндрического телаприменяется формула:

 

,

 

где m - масса тела, D - диаметр, h- высота. Величины m, D, h определяются в результате прямыхизмерений. Плотность определяетсяиз косвенных изме­рений. Для нахождения относительной погрешности, выполняем следующие действия:

6) находим натуральный логарифм исходного выражения

,

7) выполняем дифференцирование: ,

 

8) заменяем знак d на знак : ,

 

9) перед всеми знаками ставим знаки плюс .

 

Далее можно найти абсолютную погрешность: ,

 

где - абсолютная погрешность косвенного измерения, - среднеезначение искомой величины, ε – относительная погрешность.

 

Примечание.

Иногда в зависимости от расчетной формулы удобнее вначале найти абсолют­ную погрешность непосредственно, не связывая ее с относительной погреш­ностью. Для этого используют следующее правило для нахождения абсолютной ошибки при косвенном измерении:

1) дифференцируют исходное выражение;

2) заменяют знак дифференциала dна знак погрешности ;

3) перед всеми знаками ставят знаки плюс.

Пример.

1)

2) ,

3) .

 

III. ЗАПИСЬ РЕЗУЛЬТАТА КОСВЕННОГО ИЗМЕРЕНИЯ.

 

При записи результата косвенногоизмерения необходимо соблюдать следующие правила:

1. Величину абсолютной погрешности необходимо округлить до двух зна­чащих цифр, если первая из них единица, и до одной во всех остальных случаях (значащими цифрами называются все цифры, кроме нулей, стоящие впереди числа слева). Нули в середине числа и в конце являются значащими. Например, в числе 0.0305 три значащие цифры, в числе 5100 - четыре значащие цифры.

 

Пример. Если при определении объема цилиндра V абсолютная ошибка оказалась рав­ной , ее следует округлить до двух значащих цифр: . Если , ее следует округлить до одной значащей цифры .

 

3. Среднее значение измеряемой величины следует записать таким образом, чтобы результат заканчивался в том же разряде, что и абсолютная погрешность.

Пример. Если объем цилиндра при расчете по формуле получается равным , а абсолютная ошибка после округления равна , то объем следует записать также только до десятых

Окончательный результат записывается в виде: .

Такая запись показывает, в каких пределах содержится истинное значение измеряемой величины.

В случае нашего примера для объема цилиндра окончательныйрезультатзаписывается следующим образом: .

Такая запись указывает, что истинный результат лежит в пределах:

.

ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

 

При определении ускорения свободного падения g с помощью математи­ческого маятника используется расчетная формула:

,

где l - длина математического маятника, измеряемая миллиметровой линейкой, n - число колебаний маятника, t - время десяти колебаний маятника, определяемое секундомером. После прямых измерений времени и длины получаем следующие данные:

 

t = 14.72с, 14.74с, 14.75с, 14.73с, 14.76; n = 10;

l= 54.2 см ±0.05 см = (54.2 ±0.05)×10^{-2 м}

 

1) Результаты измерений заносим в таблицу

Результаты измерений и расчетов. Таблица.

№	, с	, с	l, м	Δ l, м
	14.72 14.74 14.77 14.76 14.71	0.02 0.03 0.02 0.03	54.2×10-2	0.05×10-2
	=14.74	0,02
	=(14.74±0.02) с	= (54,20 + 0,05)×10-2 м
g =(9.84 ±0.05) м/с2, = 0.005

2) Определяем погрешности при прямых измерениях:

 

 

 

 

 

t = (14.74±0.02) c.

б) Так как измерения длины производились один раз, в качестве абсолютной погрешности берем погрешность инструмента (линейки), т.е. половину деления ее шкалы

3) Определяем относительную погрешностьпри косвенном измерении g:

а) берем натуральный логарифм от выражения:

 

 

б) выполняем дифференцирование

в) знак d заменяем на знак

,

г) знак минус перед знаком заменяем на знак плюс

.

Число Если ограничиться значением , то

относительная погрешность и

 

.

 

10) Запись окончательного результата. Находим среднеезначение ускорения свободного падения

 

.

Найдем абсолютную погрешность: . Округляем полученный результат до одной значащей цифры . Записываем окончательный результат:

.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

2) Какие измерения называются прямыми а какие косвенными?

2) Как определяется абсолютная погрешность при прямыхизмерениях?Какрассчитывается относительная погрешность?

3) Как определить относительную ошибку косвенного измерения?

Как можно определить абсолютную ошибку при косвенном измерении?

4) Как записать окончательный результат измерения.

 

РЕКОМЕНДАЦИИ ПРИ ПОСТРОЕНИИ ГРАФИКОВ

В некоторых лабораторных работах зависимость между изучаемыми величинами изображается графически. Обыкновенно пользуются прямоугольной системой координат. Значение аргумента откладывается по оси X, значение функции по оси Y. Около каждой оси нужно написать обозначение изобража­емой величины и указать, в каких единицах она измеряется. Для правильного построения графика важным является выбор масштаба. Рекомендуется руко­водствоваться следующими соображениями:

1) Масштаб по каждой оси может быть свой. Равномерно через 10-20ммоткладывают масштабные деления на координатных осях, причем пределы из­менений обеих величин должны ограничивать на осях отрезки примерно одина­ковые по величине, иначе график может оказаться очень сжатым по одной из осей и неудобным для пользования.

2) При построении графика следует полностью использовать всю площадь чертежа. Если первое значение измеряемой величины сильно отличается от нуля, отсчет в начале координат нужно начать не от нуля, а от значения, близкого к первому значению измеряемой величины.

3) На график наносят точки по полученным из эксперимента данным. Через них проводят прямую или плавную кривую линию. Так как все измерения сде­ланы с той или иной ошибкой, то может иметь место некоторый разброс точек ( они не укладываются точно на одной кривой). В этом случае линию нужно про­водить между точками так, чтобы возможно большее число точек легло на эту линию, а остальные распределились примерно равномерно по обе стороны кри­вой на одинаковом от нее расстоянии.

Используя график, можно в пре­делах произведенных наблюдений интерполировать, то есть на­ходить значение величины Y д