Основные характеристики графов

ГрафG – математический это объект, состоящий из множества вершин (узлов) V = { v ₁, v ₂,..., v_n } и множества реберX = { x ₁, x ₂,..., x_n }. Таким образом, граф полностью определяется совокупностью множеств V, X: G = (V, X). Множество ребер можно рассматривать как X Í V ´ V = V ² – бинарное отношение между элементами множества V.

Если ребрам графа приданы направления от одной вершины к другой, то такой граф называется ориентированным. Ребра ориентированного графа называются дугами. Соответствующие вершины ориентированного графа называют началом и концом. Если направления ребер не указываются, то граф называется неориентированным (или просто графом). Граф, имеющий как ориентированные, так и неориентированные ребра, называется смешанным.

Различные ребра могут соединять одну и ту же пару вершин. Такие ребра называют кратными. Граф, содержащий кратные ребра, называется мультиграфом. Неориентированное ребро графа эквивалентно двум противоположно направленным дугам, соединяющим те же самые вершины.

Ребро может соединять вершину саму с собой. Такое ребро называется петлей. Граф с кратными ребрами и петлями называется псевдографом.

Множество ребер графа может быть пустым. Множество вершин графа не может быть пустым.

Граф называется полным, если для любой пары вершин v_i и v_j существует ребро (v_i, v_j). Граф называется симметрическим, если для любой дуги (v_i, v_j) существует противоположно ориентированная дуга(v_j, v_i). Графназывается планарным, если он может быть изображен на плоскости так, что не будет пересекающихся дуг. Неориентированный граф G = (V, X)– двудольный, если множество его вершин V можно разбить на два такие подмножества V ₁и V ₂, что каждое ребро имеет один конец в V ₁, а другой в V ₂.

Пример 4.1. На рис. 4.1 изображены графыG₁, G_2, G₃, G₄

G₁ – неориентированный граф:

G₁ = (V, X₁). V = { v ₁, v ₂, v ₃, v ₄}, X₁ = { x ₁ = (v ₁, v ₂), x ₂ = (v ₂, v ₃), x ₃ = (v ₁, v ₃), x ₄ = (v ₃, v ₄)}.

G₂ – ориентированный граф:

G₂ = (V, X₂). V = { v ₁, v ₂, v ₃, v ₄}, X₂ = { x ₁ = (v ₂, v ₁), x ₂ = (v ₂, v ₃), x ₃ = (v ₃, v ₁), x ₄ = (v ₃, v ₄)}.

G₃ = К₄ – полный граф с четырьмя вершинами:

а) Неориентированный граф G1	b) Ориентированный граф G2
с) Полный граф G3 =К4	d) Псевдограф G4

Рис. 4.1. Виды графов

G₃ = (V,X₃).. V ={ v ₁, v ₂, v ₃, v ₄}, X₃= { x ₁ = (v ₁ ,v ₂), x ₂ = (v ₁ ,v ₃), x ₃ = (v ₁ ,v ₄), x ₄ = (v ₂ ,v ₃), x ₅ = (v ₂ ,v ₄), x ₆ = (v ₃ ,v ₄)}.

G₄ – псевдограф: имеется петля (v ₄ ,v ₄) и кратные дуги (v ₁ ,v ₄),(v ₁ ,v ₄).

G₄ = (V,X₄). V ={ v ₁, v ₂, v ₃, v ₄}, X₄ = { x ₁ = (v ₁ ,v ₄), x ₂ = (v ₁ ,v ₄), x ₃ = (v ₂ ,v ₂), x ₄ = (v ₂ ,v ₃), x ₅ = (v ₃ ,v ₄)}.

Как в случае ориентированного, так и в случае неориентированного ребра говорят, что вершины v и wинцидентны ребру x, если эти вершины соединены ребром (дугой) x.

Две вершины называются смежными, если они инцидентны одному и тому же ребру. Два ребра называются смежными, если они имеют общую вершину.

Степенью вершины неориентированного графа называется число ребер, инцидентных этой вершине. Вершина, имеющая степень 0, называется изолированной, а степень 1 – висячей.

Полустепенью исхода (захода) вершины v ориентированного графа называется число d⁺(v) (d^-(v)) дуг этого ориентированного графа, исходящих из v (заходящих в v).

Следует заметить, что в случае ориентированного псевдографа вклад каждой петли инцидентной вершине v равен 1 как в d⁺(v), так и в d^-(v). Для неориентированного псевдографа вклад в d каждой петли инцидентной вершине v равен 2.

Дополнением графа G называется граф с теми же вершинами, что и граф G, и имеющий те и только те ребра, которые необходимо добавить к графу G, чтобы он стал полным.

Для ориентированного графа множество вершин, в которые ведут дуги, исходящие из вершины v, обозначают G (v), то есть G (х) = { w: (v,w) G }. Множество G (v) называют образом вершины v. Соответственно G^{- 1}(w) – множество вершин, из которых исходят дуги, ведущие в вершину у,
G^{- 1}(w)={ v: (v,w) G }. Множество G^{- 1}(у)называют прообразом вершины w.

Пример 4.2. В графе G₁, изображенном на рис. 4.1 а), концами ребра x ₁являются вершины v ₁, v ₂; вершина v ₂инцидентна ребрам x ₁, x ₂; степень вершины v ₃равна3; вершины v ₁и v ₃смежные; ребра x ₁и x ₂смежные; вершина v ₄висячая. В ориентированном графе, изображенном на рис. 4.1 b), началом дуги x ₁является вершина v ₂, а ее концом – вершина v ₁; вершина v ₂инцидентна дугам x ₁и x ₂; G (v ₁) = Æ,
G (v ₂) = { v ₁, v ₃}, G^{- 1}(v ₃) = { v ₂}, G^{- 1}(v ₂) = Æ.

Подграфом графа (орграфа) G называется граф, все вершины и ребра (дуги) которого содержатся среди вершин и ребер (дуг) графа G. Подграф называется собственным, если он отличен от самого графа.

4.2. Матричные способы задания графов

Для алгебраического задания графов используются матрицы смежности и инцидентности.

Матрица смежностиA = ( a_ij)определяется одинаково для ориентированного и неориентированного графов. Это квадратная матрица порядка n, где n - число вершин, у которой

Для псевдографа соответствующие элементы матрицы смежности можно принимать равными кратности ребер (дуг).

Матрица смежности полностью задает граф.

Пример 4.3. Обозначим через A_k матрицы смежности графов G_k, изображенных на рис. 4.1, k=1, 2, 3, 4. Матрицы смежности графов имеют вид:

A₁ = ; A₂ = ; A₃ = ; A₄ = .

Матрицей инцидентностиB = (b_ij) ориентированного графа называется прямоугольная матрица (n ´ m), где n – число вершин, m – число ребер, у которой

b_ij =

Для неориентированного графа матрица инцидентности B задается следующим образом:

b_ij =

Пример 4.4. Обозначим через В_k матрицы графов G_k, изображенных на рис. 4.1, k=1, 2, 3, 4. Матрицы инцидентности графов имеют вид:

В₁ = ; В₂ = ; В₃ = ; В₄ = .

Матрица инцидентности, также как и матрица смежности, полностью задает граф.

Основные свойства матриц смежности и инцидентности

1. Матрица смежности неориентированного графа является симметричной. Для ориентированного графа это, вообще говоря, неверно.

2. Сумма элементов i -ой строки или i -го столбца матрицы смежности неориентированного графа равна степени вершины v_i.

3. Сумма элементов i -ой строки матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, исходящих из v_i.

4. Сумма элементов i -го столбца матрицы смежности ориентированного графа равна числу дуг, входящих в вершину v_i.

5. Сумма строк матрицы инцидентности ориентированного графа без петель является нулевой строкой.

Изоморфизм графов

Графы G ₁= (V ₁, X ₁)и G ₂= (V ₂, X ₂) изоморфны, если существует взаимно однозначное соответствие между множествами вершин V ₁и V ₂, такое, что любые две вершины одного графа соединены тогда и только тогда, когда соответствующие вершины соединены в другом графе.

Пример 4.5. Графы, изображенные на рис. 4.2 являются изоморфными.

Рис.4.2

Изоморфные графы отличаются только нумерацией вершин. Матрицы смежности двух изоморфных графов могут быть получены одна из другой перестановкой строк и столбцов. Чтобы узнать, являются ли два графа изоморфными, нужно произвести все возможные перестановки строк и столбцов матрицы смежности одного из графов. Если после какой-нибудь перестановки получится матрица смежности второго графа, то эти графы изоморфны. Чтобы убедиться, что графы неизоморфны, надо выполнить все n! возможных перестановок строк и столбцов.