Представление результатов измерений

Представление результатов измерений

Экспериментальные исследования, выполняемые в науке и технике, включают в себя как измерительную часть, так и обработку полученных данных с их детальным анализом. Практические знания из области проведения и организации эксперимента, умения и навыки в работе с измерительными приборами, владение аппаратом статистического анализа результатов требуются и в деятельности инженера-практика, и в деятельности инженера-исследователя. В этом разделе рассмотрены вопросы, связанные с составлением таблиц и построением графиков – всем тем, что требуется на начальном этапе обработки данных измерений.

Таблицы

Для записи результатов большого количества однотипных измерений удобно использовать таблицы. С их помощью удается избежать ненужной многократной записи обозначения измеряемой величины, единиц измерения, используемых множителей и т.п. В таблицы, помимо экспериментальных данных, могут быть сведены промежуточные результаты обработки этих данных. Вот основные правила, которыми следует руководствоваться при построении таблиц.

 

Форма таблицы должна быть удобна для записи и дальнейшей обработки экспериментальных данных. С этой целью необходимо предварительно продумать, значения каких физических величин или результаты расчетов будут помещены в таблицу. Отсюда заранее определяют количество столбцов и строк, необходимых в таблице. После этого столбцы и строки вычерчивают карандашом по линейке, формируя графический контур таблицы.

 

Таблицы, а их может потребоваться несколько, принято нумеровать в порядке их использования. Кроме того, каждой таблице дают краткое название, соответствующее помещенным в нее данным.

Первый столбец таблицы, как правило, отводят для записи порядкового номера измерения. В заголовках других столбцов, то есть в самой верхней части, после символьного обозначения физической величины через запятую приводят единицы ее измерения, причем все единицы измерения принято указывать в русском написании и только в системе СИ[1]. Общий десятичный множитель, если он присутствует во всех результатах измерений, помещаемых в данный столбец, выносят в заголовок. Во избежание недоразумений при последующем использовании таблицы, общий множитель записывают перед единицами измерения физической величины.

Таблица 1.1 иллюстрирует указанные правила. В ней приведены результаты косвенных измерений удельного сопротивления платины при разных температурах. Первые три столбца содержат результаты однократных прямых измерений силы тока I через образец, падения напряжения V на нем и термоэлектродвижущей силы U_T термопары, служащей датчиком температуры T.

Таблица 1.1.Температурная зависимость удельного сопротивления платиновой проволоки.

Номер измерения	I, мА	V, мВ	UT,мВ	T, К	r, 10-7 Ом· м
	1,0	2,78			1,02
	1,0	2,83	0,20		1,04
…	…	…	…	…	…

 

Графики

Более наглядными, чем таблицы, являются графики зависимостей исследуемых физических величин. Графики дают визуальное представление о связи между величинами, что крайне важно при интерпретации полученных данных, так как графическая информация легко воспринимается, вызывает больше доверия, обладает значительной емкостью. На основе графика легче сделать вывод о соответствии теоретических представлений данным эксперимента. Ниже изложены рекомендации по построению графиков.

Выбор бумаги. Графики строят только на бумаге, имеющей координатную сетку. Это может быть обычная миллиметровка с линейным масштабом по осям или логарифмическая бумага. Логарифмическую бумагу используют реже, поэтому отметим, что она бывает двух типов. У бумаги первого типа по одной оси масштаб линейный, по другой – логарифмический. Бумага второго типа имеет логарифмический масштаб по обеим осям.

Распределение осей. Графики, за редким исключением, строят в прямоугольной системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.

Выбор масштабов. Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.

Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10ⁿ, 2*10ⁿ или 5*10ⁿ, где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели.

При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.

Нанесение шкал. Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Оси подписывают: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 … Десятичный множитель масштаба, как в таблицах, относится к единицам измерения, например, вместо 1000; 2000; 3000 … получится 1; 2; 3 … с общим множителем 10³, указанным перед единицей измерения.

Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок.

Нанесение точек. Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом. Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета.

Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть.

Выносные координатные линии при нанесении точек не используют, так как для этих целей существует сетка миллиметровки, а лишние линии засоряют график, делая его неудобным для восприятия и работы с ним.

На рис.1.1 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.

Рис.1.1. Зависимость коэффициента динамической вязкости воды от температуры.

 

Проведение кривых. Экспериментальные точки с помощью карандаша соединяют плавной кривой, чтобы они в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений, известных из эксперимента с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.

 

Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

 

Отображение погрешностей измерений на графике. Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.

 

Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.

 

Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Вокруг точки образуются как бы ”усы”, задающие область возможных значений измеряемой величины. Погрешности становятся зримыми, хотя “усы” могут невольно засорить поле графика. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рис.1.2.

 

Завершение работы. График нумеруют, ему дают название, кратко отражающее содержание построенной зависимости. Все графические символы, использованные при построении, поясняют в подписи к графику, которую располагают под графиком или на не занятой части поля.

Правила оформления графиков в учебниках, научных публикациях, монографиях несколько отличаются от изложенных выше, что, в первую очередь, связано с их иллюстративным характером. Большинство таких графиков имеют смысл рисунков, так как на них часто не приводят масштабную сетку и масштабы по осям, не обозначают единицы измерения откладываемых величин. Отчасти все это объясняется малыми размерами самих графиков, на которых просто не остается места для дополнительных надписей и линий.

 

Рис.1.2. Зависимость удельного электрического сопротивления алюминия от температуры.

 

Работа с графиками

На основе графического представления исследуемых зависимостей во многих случаях удается провести достаточно полную обработку экспериментальных данных. Подобная обработка всегда проста и наглядна, не требует сложных вычислений, взамен же дает вполне приемлемые по точности результаты. Полезно взять за правило начинать обработку любых данных с графических построений и их интерпретации. Впоследствии можно воспользоваться более точными методами статистической обработки, но никакие математические ухищрения не составят конкуренции зримой достоверности графиков.

 

Считывание точек с графика. Часто возникает необходимость найти из имеющегося графика значение функции y, если задано значение аргумента x. Такое считывание точек требуется, например, при использовании градуировочных графиков термопар, расходомеров и т.п., которые, в свою очередь, строят на основании предварительных измерений или берут из справочников.

Во всех этих случаях координата точки, определяемая из графика, имеет погрешность, сопоставимую с ценой наименьшего масштабного деления.

 

Экстремум кривой. При дискретных измерениях физической величины, т.е. измерениях при некоторых фиксированных значениях аргумента, исследуемая зависимость не может быть восстановлена полностью. Поэтому особенности кривой, проведенной по экспериментальным точкам, не могут быть выявлены абсолютно точно. Это, в первую очередь, относится к определению координат экстремумов – максимумов и минимумов кривых. Например, на рис.1.3 кривая может иметь форму, отмеченную как сплошной, так и штриховыми линиями. Однако график дает основание утверждать, что максимум находится на отрезке (x₁, x₃),

Рис.1.3. К определению положения экстремума на экспериментальной кривой.

поэтому его координату можно оценить как

x_max= , (1.1)

а за оценку погрешности принять величину

Dx= , (1.2)

Чтобы уменьшить погрешность экспериментального определения координаты экстремума, в близкой к нему области следует выполнять измерения как можно чаще с минимально допустимым шагом изменения величины x. Если оценка (1.2) оказывается меньше погрешности измерения величины x, то именно погрешность измерения следует принимать за погрешность Dx.

 

Проверка теоретических выводов. Графическую проверку осуществляют на основе сравнения экспериментальной и теоретической кривых, совместно построенных на одном графике. Для корректности сравнения необходимо учитывать разброс точек экспериментальной кривой. С этой целью на графике по обе стороны от нее проводят дополнительные кривые, симметричные относительно экспериментальной кривой. Выполняя построение дополнительных кривых, необходимо исходить из того, что между ними должна оказаться примерно половина всех экспериментальных точек. Теоретическая кривая, если она соответствует полученным данным, также должна располагаться в промежутке между дополнительными кривыми.

 

Графическое дифференцирование. Графическое дифференцирование может понадобиться, например, при вычислении дифференциального сопротивления диода. Вольтамперная характеристика диода нелинейна, поэтому его сопротивление зависит от приложенного напряжения, называемого смещением. Понятие статического сопротивления (сопротивления по постоянному току R = U/I) в данном случае лишено физического смысла, поэтому вводят дифференциальное сопротивление, при заданном смещении, находимое путем дифференцирования экспериментальной вольтамперной характеристики.

Поясним, как графически выполнить дифференцирование. Известно, что производная от функции y(x) равна угловому коэффициенту касательной, построенной к кривой y(x) при том же значении аргумента, при котором вычисляется . Поэтому после графического отображения экспериментальной кривой для вычисления производной в некоторой точке достаточно провести на графике касательную к кривой в той же точке и вычислить ее угловой коэффициент. Конечно, метод весьма чувствителен к точности построения кривой – даже небольшая неточность, допущенная при вычерчивании, может привести к ощутимым ошибкам в производной. Это означает, что экспериментальную кривую следует строить очень тщательно.

Графическое интегрирование. Определенный интеграл от неотрицательной функции y(x) может быть найден как площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной на графике прямой x=x₁ слева, прямой x=x₂ справа, кривой y(x) сверху и прямой y=0 снизу. Такая интерпретация является удобной применительно к вычислению интеграла от любой экспериментально полученной зависимости. Площадь фигуры, дающая количественное значение интеграла, находят посредством подсчета составляющих ее клеток миллиметровки с последующим домножением результата подсчета на цену стороны клетки по каждой из двух осей.

 

Графическое интегрирование можно использовать, например, при проверке закона излучения Стефана-Больцмана, устанавливающего, что интегральная светимость физического тела пропорциональна четвертой степени его температуры. Светимость находят интегрированием экспериментальной кривой, отображающей зависимость спектральной плотности излучения тела от длины волны.

Графические дифференцирование и интегрирование дают неплохие по точности результаты, однако основная область их применения относится к качественному анализу исследуемых зависимостей.

Погрешности измерений

Погрешность является неотъемлемой частью любого измерения.

Погрешность – количественная характеристика неопределенности, или неоднозначности, результата измерения. Ее оценивают, исходя из всей информации, накопленной при подготовке и выполнении измерений. Эту информацию обрабатывают для совместного одновременного определения окончательного результата измерения и его погрешности. Окончательный результат нельзя расценивать как “истинное значение” измеряемой физической величины, так как в этом нет смысла из-за наличия погрешности.

 

Погрешность может быть выражена в единицах измеряемой величины x, – в таком случае она обозначается Dx и носит название абсолютной погрешности. Однако абсолютная погрешность зачастую не отражает качества измерений. Действительно, абсолютная погрешность 1 метр при измерении расстояния от Земли до Луны свидетельствует о высоком качестве измерения, та же погрешность совершенно неприемлема при измерении роста человека.

 

Критерием качества измерения является отношение абсолютной погрешности к окончательному результату измерения

dx= . (2.1)

Это отношение безразмерно, а dx называют относительной погрешностью и используют как в абсолютном, так и в процентном выражении. Высокой точности измерения соответствует малое значение относительной погрешности. Наоборот, существенная относительная погрешность характеризует малую точность.

Рассмотрим основные типы погрешностей, проявляющихся в лабораторных физических экспериментах.

Случайные погрешности.

Из самого названия следует, что при повторных измерениях погрешности этого типа демонстрируют свою случайную природу. Возникают они вследствие множества причин, совместное воздействие которых на каждое отдельное измерение невозможно учесть или заранее установить. Такими причинами могут оказаться, к примеру, незначительные колебания температуры различных деталей и узлов установки, скачки напряжения, вибрации, турбулентные движения воздуха, трение в механизмах, ошибки считывания показаний приборов и т.п. Единственно возможный способ объективного учета случайных погрешностей состоит в определении их статистических закономерностей, проявляющихся в результатах многократных измерений. Рассчитанные статистические оценки вносят в окончательный результат измерения.

Случайные погрешности

Случайные погрешности, как уже отмечено, проявляются в разбросе результатов отдельных измерений постоянной величины. Для определения разброса (и оценивания погрешности результата отдельного измерения), необходимо вычислить среднее квадратичное отклонение. С увеличением количества измерений n оценка значения величины s практически перестает зависеть от n, а это означает, что значение s известно точнее, а значит, в итоге уменьшается неточность при оценивании погрешности отдельного измерения.

Связь среднего квадратичного отклонения s() окончательного результата (другими словами, погрешности определения среднего значения) и среднего квадратичного отклонения s отдельного измерения задает соотношение

. (3.2)

 

Важным практическим выводом из (3.2), который относится к многократным измерениям, содержащим только случайные ошибки, является заключение о возможности уменьшить погрешность окончательного результата при увеличении количества n отдельных измерений. Однако также следует помнить, что повышение точности никогда не дается бесплатно. Так, чтобы узнать дополнительную цифру в , т.е. повысить точность в 10 раз, количество измерений необходимо увеличить в 100 раз!

Приборные погрешности

Возникновение приборных погрешностей обусловлено свойствами используемых измерительных приборов. Погрешность каждого конкретного прибора является систематической, но ее значение обычно неизвестно, а значит, ее невозможно исключить введением в результат измерения соответствующей поправки. В паспорте прибора принято указывать предел допустимой погрешности q, означающий максимально возможную погрешность при рекомендованных условиях работы прибора.

Для электроизмерительных стрелочных приборов принято указывать класс точности, записываемый в виде числа, например, 0,05 или 4,0. Это число дает максимально возможную погрешность прибора, выраженную в процентах от наибольшего значения величины, измеряемой в данном диапазоне работы прибора. Так, для вольтметра, работающего в диапазоне измерений 0 – 30 В, класс точности 1,0 определяет, что указанная погрешность при положении стрелки в любом месте шкалы не превышает

0,3 В. Соответственно, среднее квадратичное отклонение s _приб составляет 0,1 В.

 

Относительная погрешность результата, полученного с помощью указанного вольтметра, зависит от значения измеряемого напряжения, становясь недопустимо высокой для малых напряжений. При измерении напряжения 0,5 В погрешность составит 20%. Как следствие, такой прибор не годится для исследования процессов, в которых напряжение меняется на 0,1 – 0,5 В.

 

Обычно цена наименьшего деления шкалы стрелочного прибора согласована с погрешностью самого прибора. Если класс точности используемого прибора неизвестен, за погрешность s_приб всегда принимают половину цены его наименьшего деления. Понятно, что при считывании показаний со шкалы нецелесообразно стараться определить доли деления, так как результат измерения от этого не станет точнее.

 

Указанным образом необходимо работать с линейками и шкалами других приборов, в том числе с сеткой на экране осциллографа. Например, на экране осциллографа нанесена сетка с размерами клетки 10x10 или 5x5 мм, а для отсчета малых делений имеется дополнительная миллиметровая сетка. Погрешность отсчета по сетке составит не менее 0,5 мм. Если размеры наблюдаемых изображений порядка 5 – 10 мм, им соответствует погрешность 5-10% и осциллограф нельзя использовать для более точных измерений.

 

Предел допустимой погрешности цифрового измерительного прибора рассчитывают по паспортным данным, содержащим формулу для расчета погрешности именно данного прибора. При отсутствии паспорта за оценку погрешности s_приб принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора. Так, при наблюдаемой на индикаторе частоте 161,2 кГц погрешность частотомера оценивают как 0,1 кГц.

Суммарная погрешность

Окончательный результат многократного измерения содержит в себе как случайную, так и приборную погрешности. Случайная погрешность уменьшается с увеличением количества отдельных измерений, а приборная погрешность не меняется, оставаясь в пределах ±q. При выполнении многократного измерения желательно получить столько отдельных измерений, сколько необходимо для выполнения соотношения

(Dx)_случ<< q

В таком случае погрешность окончательного результата будет целиком определена лишь приборной погрешностью. Однако чаще встречается ситуация, когда случайная и приборная погрешности близки по значению, а поэтому обе влияют на окончательный результат. Тогда их необходимо учитывать совместно и за суммарную погрешность принимают

. (3.3)

Поскольку случайную погрешность обычно оценивают с доверительной вероятностью 0,68, а q - оценка максимальной погрешности прибора, то можно считать, что выражение (4.7) задает доверительный интервал также с вероятность не меньшей 0,68. При выполнении однократного измерения оценкой погрешности результата служит Dx = q/3, учитывающая только предельно допустимую приборную погрешность.

Встречаются ситуации, когда случайную и приборную погрешности удается сравнить без вычислений (Dx)_случ. Это возможно, если результаты отдельных измерений не выходят за пределы допустимой приборной погрешности:

(x_max- x_min) <=2q,

где x_min, x_max - наибольшее и наименьшее значения измеряемой величины. Повышение точности многократного измерения в таком случае невозможно, а погрешностью окончательного результата будет q/3.

Линеаризация зависимостей

В силу указанных выше причин экспериментатор должен стремиться свести нелинейную зависимость двух величин друг от друга к линейной, а затем обработать ее наилучшим образом. Как правило, многие функционально сложные зависимости допускают преобразование координат, приводящее к искомому результату. Примеры подобных преобразований помещены в табл.1.1. В ней использованы следующие обозначения: v, u – преобразуемые функция и ее аргумент, y, x – новые функция и аргумент (после преобразования). По завершении обработки данных, то есть после определения средних значений и погрешностей параметров преобразованной зависимости, полученные результаты используют для пересчета к первоначальным параметрам. Пересчет выполняют по правилам, используемым для обработки результатов косвенных измерений.

 

Таблица 1.1.Примеры линеаризации зависимостей.

 

№ п/п	Вид нелинейной зависимости	Получаемая линейная зависимость	y	x	a	b
	v=k uz	ln v=z ln u + ln k	ln v	ln u	z	ln k
	v=k ezu	ln v=z u + ln k	ln v	u	z	ln k
	v= k ez/u	ln v=z u-1 + ln k	ln v	u-1	z	ln k
	v=u/(k+zu)	v-1=k u-1 + z	v-1	u-1	k	z

 

Метод парных точек

В некоторых физических экспериментах основной интерес представляет только угловой коэффициент (параметр а) зависимости (1.1). Для оценивания значения коэффициента и определения его погрешности удобен метод парных точек. Он заключается в следующем.

 

После нанесения на график экспериментальных точек из них выбирают пары, в которых точки отстоят друг от друга примерно на одинаковое расстояние. Желательно, чтобы это расстояние было максимально возможным. Через каждую пару проводят прямую, а затем согласно (1.2) вычисляют угловые коэффициенты всех прямых. Из получившегося набора коэффициентов по правилам обработки данных прямых измерений определяют среднее значение коэффициента и его погрешность. Их принимают за результат измерения искомого параметра зависимости (1.1).

 

Следует отметить, что аналогичным образом в зависимости (1.1) можно найти свободный член (параметр b). По парам точек согласно (1.2) вычисляют свободные члены всех полученных прямых. Затем указанным выше способом рассчитывают среднее значение и погрешность.

 

Рассмотрим пример конкретной обработки данных эксперимента по измерению сопротивления R участка электрической цепи. Измеренные значения тока I и соответствующие им значения падения напряжения U приведены в табл.1.2.

 

Таблица 1.2. Падение напряжения в зависимости от силы тока.

 

№ п/п	I, mA	U,В
	13,2	11,07
	16,9	19,09
	25,3	28,94
	44,3	36,03
	46,1	46,88
	62,7	57,31
	70,0	67,59
	81,1	76,91

 

Теоретическое описание исследуемой зависимости дает закон Ома U = R*I, где сопротивление R является угловым коэффициентом линейной зависимости, проходящей через начало координат. Значит, для его определения можно воспользоваться методом парных точек. Нанесем экспериментальные точки на график (рис.1.3) и пронумеруем их по порядку от 1 до 8. Выберем пары точек 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 и занесем их координаты в табл.1.3, которую используем для проведения необходимых вычислений.

 

Рис.1.3. Зависимость падения напряжения от силы тока в цепи.

 

Таблица 1.3.Обработка данных методом парных точек.

 

Пары точек	,мА	,В	, Ом	,Ом	103 Ом2
1-5	32,9	35,81			12,8
2-6	45,8	38,22		-141	19,9
3-7	44,7	38,65		-110	12,1
4-8	36,8	40,88			18,5

= 975 Ом,
= 63,3*10³ Ом²
= = 72,6 Ом.

 

Окончательный результат

R=(0,98±0,09)*10³ Ом. Точность измерения сопротивления невелика, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.

Метод наименьших квадратов

Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным зависимостям физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить их погрешности. Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную зависимость. Пусть проведено n парных измерений величин x и y: x_i, y_i, где i = 1,..., n. По экспериментальным данным необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их дисперсий s_a² и s_b². О природе экспериментальных погрешностей сделаем следующие предположения.

 

1. Значения x_i известны точно, т.е. без погрешностей.

Конечно, в реальном эксперименте такое предположение вряд ли выполнено. Скорее всего, погрешности Dx_i распределены нормально и могут быть пересчитаны в погрешности Dyi. Это вызовет увеличение дисперсии s² распределения величин y_i, что должно учитываться в процессе обработки данных методом наименьших квадратов. Как показано ниже, так и произойдет, а значит, не будет ошибкой полагать x_i известными точно.

 

2. Распределения величин y_i взаимно независимы, имеют одну и ту же дисперсию s² и отвечают нормальному закону. Распределения y_i имеют средние значения , которые совпадают с точным значением функции ax_i+b. Это предположение иллюстрирует рис.1.4.

Рис.1.4. Иллюстрация модели метода наименьших квадратов.

 

Распределение плотности вероятности величины y_i вокруг точного значения ax_i + b задает выражение:

.

Плотность вероятности реализации полученных экспериментальных данных L(y1, y2, ….., yn), называемую функцией правдоподобия, определяют через произведение плотностей вероятностей распределений отдельных измерений, так как распределения yi независимы:

Натуральный логарифм этой функции:

.

Оценками a, b, s₂ будет правильным считать значения, при которых L и lnL максимальны, т.е. реализуется наибольшая вероятность получения набора экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:

, , .

После дифференцирования система уравнений относительно искомых параметров примет вид:

,

ns ₂ = .
Два первых уравнения в (8.5) есть ни что иное, как условие минимума выражения,

(8.6)
составленного из суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от точной линейной зависимости, в связи с чем описываемый метод и получил название метода наименьших квадратов. Решив (8.5), находим

, (8.7)

Согласно выводам математической статистики, для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии решение, найденное из (8.5), необходимо домножить на

(8.8)

Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражение для a:

, где.

После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно независимых величин y_j, так как коэффициенты k_j заданы точно – согласно пункту 1 предположений о статистике изучаемых величин. Следовательно, параметр a распределен нормально, а его дисперсия s_a² представляет собой линейную комбинацию дисперсий величин y_j с коэффициентами k_j² – это свойство сложения нормальных распределений уже встречалось при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.

Преобразуем выражение для b:

.
Параметр b также нормально распределен. Его дисперсия:

.

Из (8.9) выразим s₂ и подставим в предыдущее выражение:

,

Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки пересечения графиком оси x:

с = –

Соответствующая дисперсия

s_c² = с²