Задачи для контрольных работ

Задачи для контрольной работы №1

Задача 1. Найти общее решение системы уравнений.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10

Задача 2. Найти матрицу, обратную к матрице А.

 

2.1. А= 2.2. А=

2.3. А= 2.4. А=

2.5. А= 2.6. А=

2.7. А= 2.8. А=

2.9. А= 2.10. А=

 

Задача 3. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

3.1.

3.2

3.3.

3.4.

3.5.

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

Задача 4. Найти объем тетраэдра с вершинами в точках и длину его высоты, опущенной из вершины на грань .

4.1.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10.

Задача 5. Найти точку , симметричную точке относительно данной плоскости.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7.

5.8.

5.9.

5.10.

 

Задача 6. Найти пределы, не пользуясь правилом Лопиталя.

 

6.1. а) б)

в) г)

6.2. а) б)

в) г)

 

6.3. а) б)

в) г)

 

6.4. а) б)

в) г)

 

6.5. а) б)

 

в) г)

 

6.6. а) б)

в) г)

6.7. а) б)

 

в) г)

 

6.8. а) б)

в) г)

 

6.9. а) б)

 

в) г)

6.10.а) б)

в) г)

Задача 7. Найти производную.

 

7.1. 7.2.

7.3. 7.4.

7.5. 7.6.

7.7. 7.8.

7.9. 7.10.

 

Задача 8. Найти производную указанного порядка.

8.1. 8.2.

8.3. 8.4.

8.5. 8.6.

8.7. 8.8.

8.9. 8.10.

 

Задача 9. Составить уравнение нормали и уравнение касательной к данной кривой в точке с абсциссой .

9.1. 9.2.

9.3. 9.4.

9.5. 9.6.

9.7. 9.8.

9.9. 9.10.

 

Задача 10. Провести полное исследование функций и построить их графики.

10.1. 10.2.

10.3. 10.4.

10.5. 10.6.

10.7. 10.8.

10.9. 10.10.

Задачи к контрольной работе №2

Задача 1. Найти неопределенные интегралы.

1.1. 1.2.

1.3. 1.4.

1.5. 1.6.

1.7. 1.8.

1.9. 1.10.

Задача 2. Найти неопределенные интегралы.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

2.9. 2.10.

Задача3. Вычислить площади фигур, ограниченных графиками функций.

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

3.9. 3.10.

Задача 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения. (Ответ представить в виде .)

4.1. 4.2.

4.3. 4.4.

4.5. 4.6.

4.7. 4.8.

4.9. 4.10.

Задача 5. Найти решение задачи Коши.

5.1.

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

5.7. .

5.8.

5.9.

5.10.

Задача 6. Найти общее решение дифференциального уравнения.

6.1. 6.2.

6.3. 6.4.

6.5. 6.6.

6.7. 6.8.

6.9. 6.10.

Задачи к контрольной работе №3

Задача 1. Исследовать на сходимость ряд.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

1.7. . 1.8. .

1.9. . 1.10. .

Задача 2. Найти область сходимости функционального ряда.

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. . 2.6. .

2.7. . 2.8. .

2.9. . 2.10. .

Задача 3. Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна n; б) произведение выпавших очков делится на m.

3.1. n = 3, m = 2.

3.2. n = 4, m = 4.

3.3. n = 6, m = 5.

3.4. n = 8, m = 3.

3.5. n = 10, m = 6.

3.6. n = 5, m = 8.

3.7. n = 7, m = 9.

3.8. n = 9, m = 12.

3.9. n = 11, m = 7.

3.10. n = 2, m = 10.

Задача 4. В ящике n деталей, из которых m окрашены. Сборщик наудачу взял k деталей. Найти вероятность того, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

4.1. n = 8, m = 5, k = 3.

4.2. n = 7, m = 4, k = 2.

4.3. n = 10, m = 6, k = 4.

4.4. n = 9, m = 5, k = 3.

4.5. n = 10, m = 4, k = 3.

4.6. n = 5, m = 3, k = 2.

4.7. n = 12, m = 7, k = 5.

4.8. n = 12, m = 7, k = 4.

4.9. n = 11, m = 7, k = 3.

4.10. n = 7; m = 3, k = 2.

Задача 5. В первой урне содержится n шаров, из них m красных; во второй урне k шаров, из них l красных. Из второй урны в первую переложили s шаров, а затем из первой урны наудачу извлекли один шар. Найти вероятность того, что извлекли красный шар.

 

5.1. n = 8, m = 5, k = 7, l = 4, s = 5.

5.2. n = 9, m = 4, k = 6, l = 4, s = 2.

5.3. n = 10, m = 4, k = 8, l = 3, s = 5.

5.4. n = 7, m = 6, k = 9, l = 2, s = 6.

5.5. n = 6, m = 5, k = 5, l = 4, s = 3.

5.6. n = 12, m = 8, k = 7, l = 4, s = 4.

5.7. n = 8, m = 3, k = 9, l = 5, s = 3.

5.8. n = 14, m = 9, k = 10, l = 4, s = 2.

5.9. n = 9, m = 7, k = 9, l = 2, s = 6.

5.10. n = 8, m = 2, k = 6, l = 5, s = 3.

Задача 6. Монету бросают n раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет менее m раз.

6.1. n = 3, m = 2.

6.2. n = 5, m = 3.

6.3. n = 6, m = 4.

6.4. n = 8, m = 5.

6.5. n = 10, m = 3.

6.6. n = 5, m = 4.

6.7. n = 7, m = 3.

6.8. n = 9, m = 5.

6.9. n = 11, m = 6.

6.10. n = 12, m = 3.

Задача 7. Дискретная случайная величина может принимать только два значения: и , причём < . Известны вероятность возможного значения , математическое ожидание M (X) и дисперсия D (X). Найти закон распределения этой случайной величины.

7.1. = 0,2; M (X) = 3,8; D (X) = 0,16.

7.2. = 0,1; M (X) = 3,9; D (X) = 0,09.

7.3. = 0,3; M (X) = 3,7; D (X) = 0,21.

7.4. = 0,5; M (X) = 3,5; D (X) = 0,25.

7.5. = 0,7; M (X) = 3,3; D (X) = 0,21.

7.6. = 0,9; M (X) = 3,1; D (X) = 0,09.

7.7. = 0,9; M (X) = 2,2; D (X) = 0,36.

7.8. = 0,8; M (X) = 3,2; D (X) = 0,16.

7.9. = 0,6; M (X) = 3,4; D (X) = 0,24.

7.10. = 0,4; M (X) = 3,6; D (X) = 0,24.

 

Задача 8. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины X соответственно равны а и . Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключённое в интервале ().

8.1. а = 8, = 2, = 6, = 8.

8.2. а = 2, = 4, = 6, = 10.

8.3. а = 9, = 5, = 5, = 14.

8.4. а = 7, = 3, = 1, = 12.

8.5. а = 6, = 1, = 4, = 9.

8.6. а = 1, = 4, = 3, = 10.

8.7. а = 10, = 5, = 2, = 11.

8.8. а = 11, = 4, = 6, = 12.

8.9. а = 5, = 3, = 8, = 10.

8.10. а = 9, = 5, = 7, = 9.

Задача 9. Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию по данному распределению выборки.

 

9.1. 2 4 6 8 9

8 2 20 20 50

9.2. 1 4 5 6 9

6 4 30 10 50

 

9.3. 2 3 6 7 9

10 2 8 30 50

 

9.4. 2 4 6 8 9

8 2 20 20 50

 

9.5. 4 5 6 7 8

7 3 40 30 20

 

9.6. 3 4 7 8 10

5 5 30 20 40

 

9.7. 5 6 7 8 9

7 3 20 40 30

 

9.8. 6 8 9 10 12

18 2 20 50 10

9.9. 1 4 6 8 12

8 12 50 20 10

 

9.10. 0 4 6 9 9

8 22 20 40 10

 

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

3.1.Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

(1 семестр)

1. Матрицы, действия над матрицами их свойства.

2.Определители. Свойства определителей.

3.Обратная матрица.

4.Ранг матрицы.

5. Системы линейных алгебраических уравнений.

6. Правило Крамера.

7.Метод Гаусса.

8.Понятие вектора и линейные операции над векторами.

9.Понятие линейной зависимости векторов.

10.Базис и координаты вектора.

11.Декартовы прямоугольные системы координат.

12. Скалярное произведение векторов.

13.Векторное произведение.

14. Смешанное произведение векторов

15.Понятие об уравнении линии.

16.Различные способы представления линий на плоскости и в пространстве.

17. Различные виды уравнения прямой на плоскости.

18.Угол между прямыми.

19.Каноническое уравнение прямой в пространстве; уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

20.Различные виды уравнения плоскости. Угол между плоскостями.

21.Кривые второгопорядка.

22.Канонические уравнения эллипса, гиперболы, параболы.

23.Поверхности второго порядка.

24.Понятие множества.

25. Действительные числа.

26.Функции и отображения

27.Понятие последовательности.

28.Предел последовательности.

29.Предел функции.

30. Основные теоремы о пределах.

31. Замечательные пределы.

32.Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

33.Сравнение бесконечно малых функций.

34.Непрерывность функции в точке.

35. Непрерывность элементарных функций.

36.Точки разрыва функции.

37.Определение производной, ее механический и геометрический смысл.

38.Правила дифференцирования.

39.Производная обратной функции. Производная сложной функции.

40.Таблица производных.

41. Дифференциал функции.

42.Неявные функции и их дифференцирование.

43.Производная функции, заданной параметрически.

44.Производные и дифференциалы высших порядков.

45.Правило Лопиталя.

46.Возрастание и убывание функции.

47. Максимум и минимум функции.

48.Наибольшее и наименьшее значение функции.

49.Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

50. Асимптоты.

51.Общая схема исследования функции и построения графиков.

3.2. Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

(2 семестр)

1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.

2. Таблица интегралов.

3. Основные свойства неопределенного интеграла.

4. Основные методы интегрирования.

5. Метод замены переменной.

6. Интегрирование по частям.

7. Интегрирование рациональных дробей.

8. Интегрирование тригонометрических функций.

9. Интегрирование иррациональных функций.

10. Определенный интеграл, его свойства.

11. Формула Ньютона-Лейбница.

12. Замена переменной в определенном интеграле.

13. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

14. Вычисление площади с помощью определенного интеграла.

15. Длина дуги кривой.

16. Объем тела вращения.

17. Несобственные интегралы.

18. Кратные интегралы.

19. Криволинейные интегралы.

20. Дифференциальные уравнения первого порядка. Понятие общего и частного решений.

21. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

22. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

23. Уравнения с разделяющимися переменными.

24. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

25. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

26. Уравнение Бернулли.

27. Дифференциальные уравнения высших порядков. Понятие общего и частного решений.

28. Задача Коши для дифференциального уравнения высшего порядка.

29. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

30. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка.

31. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольных постоянных.

32. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами.

3.3. Вопросы к экзамену по дисциплине «Математика»

(3 семестр)

1. Числовые ряды. Необходимый признак сходимости ряда.

2. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

5. Функциональные ряды. Область сходимости.

6. Степенные ряды.

7. Ряды Тейлора и Маклорена.

8. Разложения функций в степенные ряды.

9. Понятие ряда Фурье.

10. Ряды Фурье для чётных и нечётных функций.

11. Разложение непериодических функций в ряды Фурье.

12. Классификация событий.

13. Классическое определение вероятности.

14. Статистическое определение вероятности.

15. Геометрическое определение вероятности.

16. Действия над случайными событиями.

17. Теорема сложения вероятностей.

18. Условная вероятность случайного события.

19. Теорема умножения вероятностей.

20. Понятие независимых событий.

21. Формула полной вероятности.

22. Формулы Бейеса.

23. Схема Бернулли.

24. Формула Пуассона.

25. Локальная и интегральная теоремы Лапласа.

26. Понятие случайной величины.

27. Закон распределения дискретной случайной величины.

28. Математическое ожидание дискретной случайной величины.

29. Дисперсия дискретной случайной величины.

30. Функция распределения случайной величины.

31. Непрерывные случайные величины.

32. Плотность вероятности непрерывной случайной величины.

33. Биномиальный закон распределения.

34. Закон распределения Пуассона.

35. Равномерный закон распределения.

36. Показательный закон распределения.

37. Нормальный закон распределения.

38. Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону.

39. Закон больших чисел.

40. Выборочный метод. Статистическое распределение выборки.

41. Дискретные и непрерывные (интервальные) вариационные ряды и их графическое изображение. Полигон и гистограмма.

42. Статистические оценки параметров распределения.

43. Точечные оценки параметров распределения.

44. Интервальные оценки параметров распределения.

45. Понятие статистической гипотезы.

46. Проверка гипотез о виде неизвестных распределений и о параметрах известных распределений.

 

 

Библиографический список

 

1. Шипачев В.С. Высшая математика: учеб. пособие для бакалавров. 8-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2013.

2. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика: учебник для студ. вузов. 5-е изд., перераб. и доп. - М.: Юрайт, 2014.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: учебное пособие для бакалавров. Изд. 12-е. - М.: Юрайт, 2012.

4. Греков В.С., Молоток Т.В. Матричный и векторный анализ: учебно-методическое пособие по дисциплине "Математика" - Новочеркасск: ЮРГПУ, 2014.

5. Виленкин И.В., Гробер В.М. Высшая математика для студентов экономических, технических, естественно-научных специальностей вузов. 4-е изд., испр. Ростов н/Д: Феникс, 2008.

6. Романенко Г.Н., Свиридова А.Н. Математика:методические указания к самостоятельному изучению дисциплины / Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова. – Новочеркасск: ЮРГПУ(НПИ), 2016. - 28 с.

 

Учебно-методическое издание

 

Романенко Галина Николаевна

МАТЕМАТИКА

Методические указания