Ранг матрицы и методы его нахождения.

3.1.1. Определение. Рангом матрицы называется максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы.

Прокомментируем определение. Пусть дана матрица A = . Среди миноров первого порядка этой матрицы есть ненулевой. Например, M ₁=-1¹0 (вообще говоря, все миноры первого порядка у матрицы A ненулевые). Но все миноры второго порядка у матрицы A равны нулю:

M ₂= =0, = =0, = =0.

(Это можно заметить и без перебора всевозможных миноров второго порядка, так как у матрицы строки пропорциональны, и поэтому строки пропорциональны и у всевозможных миноров второго порядка). Следовательно, максимальный порядок ненулевых миноров этой матрицы равен 1, и поэтому ранг матрицы равен 1.

Другой пример. Среди миноров первого порядка матрицы

B =

есть ненулевые, например, M ₁=1¹0. Также среди миноров второго порядка есть ненулевой: M ₂= =4¹0. А вот всевозможные миноры третьего порядка равны нулю, так как при сложении первых двух строк матрицы B получается третья строка, и поэтому таким же свойством будут обладать всевозможные миноры третьего порядка, и, как следствие, все они равны нулю. (Конечно, можно непосредственно убедиться в этом, перебрав все миноры третьего порядка, число которых равно =4). Таким образом, ранг матрицы B равен 2.

Ранг матрицы A обозначается через rg A (в литературе встречается также rk A, rank A и другие).

3.1.2. Ясно, что при нахождении ранга действовать по его определению неразумно, так как если окажется, что среди миноров k -1-го порядка есть ненулевые, а все миноры k -го порядка являются нулевыми, то для того, чтобы убедиться в этом, потребуется перебрать и найти значения

´ = ×

определителей (миноров) k -го порядка. Например, если для матрицы размерности 4´5 окажется, что среди миноров второго порядка есть ненулевой, а все миноры третьего порядка нулевые, то чтобы убедиться в этом, придётся перебрать и подсчитать значения

´ = × =40

всевозможных миноров третьего порядка. И при этом не запутаться при переборе! Поэтому разработаны специальные методы его нахождения. Одним из методов является так называемый метод окаймления миноров, который заключается в следующем:

1) Находится какой-нибудь ненулевой элемент a_ij матрицы и полагается M ₁= a_ij. Это ¾ ненулевой минор 1-го порядка.

2) Допустим,

M_k =

¾ ненулевой минор k -го порядка. Составляется минор M_{k +1} k +1-го порядка «окаймлением» минора M_k строкой и столбцом, куда не входят строки и столбцы M_k:

M_{k +1}= .

Если M_{k +1}=0 для всех строк и столбцов с номерами i_{k +1}, j_{k +1}, не входящими в число номеров строк и столбцов M_k, то ранг r матрицы равен k. Если M_{k +1}¹0, то окаймляем M_{k +1} и т.д.

Например, найдём ранг матрицы

A = .

Положим M ₁= a ₁₁=2¹0. Окаймляем ненулевой минор M ₁ второй строкой и вторым столбцом: M ₂= =0. Аналогично, окаймление второй строкой, и третьим и четвёртым столбцами последовательно даёт

= =0, = =1¹0.

Таким образом, мы нашли ненулевой минор второго порядка. Окаймляем его третьей строкой и столбцами, которые не содержат столбцы, содержащие элементы из :

M ₃= =0 (окаймление вторым столбцом),

= =0 (окаймление третьим столбцом).

Окаймление завершили. Таким образом, максимальный порядок ненулевых миноров матрицы A равен 2, то есть rg A =2.

Другой метод опирается на следующий факт:

3.1.3. Теорема. При элементарных преобразованиях матрицы её ранг не меняется.

Отсюда вытекает, что если матрицу элементарными преобразованиями привести к трапециедальному виду, то ранг итоговой матрицы, а вместе с ней и ранг исходной, равен числу её ненулевых строк. Ясно, что достаточно матрицу привести к ступенчатому виду.

Например,

® ® ® .

(Читателю предлагается восстановить, какие преобразования применены к A) Теперь видно, что rg A =2.