Формула полной вероятности. Формула Бейеса.

3.4.1. На складе имеется 20 телефонных аппаратов корейского производства и 30 – немецкого. В среднем 5% корейских аппаратов и 2% немецких имеют брак. Найти вероятность того, что наугад взятый телефонный аппарат имеет брак.

 

3.4.2. На базу поступили одинаковые по объему партии холодильников с двух разных заводов. Вероятность того, что холодильник проработает без поломок в течение гарантийного срока, равна 0,85, если холодильник собран на 1-ом заводе, и 0,95, если на втором. Найти вероятность того, что наугад взятый холодильник не сломается в течение гарантийного срока.

 

3.4.3. Вся продукция фабрики выпускается станками трех типов. На станках первого типа выпускается 30% всей продукции, на станках второго – 20%. Станки первого типа дают 2% брака, второго типа – 1,5% и третьего – 1,2%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие этой фабрики окажется бракованным.

 

3.4.4. Партия транзисторов, среди которых 10% дефектных, поступила на проверку. Схема проверки такова, что с вероятностью 0,95 дефект обнаруживается (если он есть), и существует ненулевая вероятность 0,03 того, что исправный транзистор будет признан дефектным. Найти вероятность того, что случайно выбранный из партии транзистор будет признан дефектным.

 

3.4.5. В двух урнах находятся шары черного и белого цвета. Пятая часть шаров в первой урне и треть шаров во второй урне – черного цвета. Наугад выбирается урна и из нее извлекается шар. Найти вероятность того, что он – черный.

 

3.4.6. Из урны, содержащей 5 белый и 6 черных шаров, переложен вынутый наугад шар в урну, содержащую 5 белых и 3 черных шара. Найти вероятность того, что вынутый затем наугад шар из второй урны окажется белым.

 

3.4.7. Имеется 3 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 5 черных шаров, в третьей – 4 белых и 3 черных шара. Наугад выбрали урну и вынули два шара. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми. Найти вероятность того, что шары были вынуты из третьей урны, если оказалось, что они оба белые.

 

3.4.8. В условиях задачи 3.4.3 найти вероятность того, что изделие, оказавшееся бракованным, изготовлено на станке первого типа.

 

3.4.9. Упаковка сосисок производится двумя автоматами с одинаковой производительностью. Доля брака среди продукции, произведенной первым автоматом, равна 5%, вторым автоматом – 7%. Наугад взятая упаковка оказалась бракованной. Найти вероятность того, что сосиски были упакованы на первом автомате.

 

3.4.10. Из деталей высокого качества собирается 60% всех телевизоров, при этом вероятность благополучной эксплуатации телевизора в течение года равна 0,95. Для телевизора, собранного из обычных деталей, эта вероятность – 0,7. Найти вероятность того, что проработавший год телевизор собран из деталей высокого качества.

 

3.4.11. В магазин поступила партия из 20 пар мужских туфель и 25 пар женских. В среднем 12% мужских туфель и 6% женских имеют различные дефекты отделки. Наугад выбрали одну пару, которая оказалась с дефектами отделки. Какова вероятность того, что это мужские туфли?

 

3.4.12. Два специалиста производят контроль качества изделий. Равновероятно, что изделие попадет к любому из них. Первый специалист выявляет дефект с вероятностью 0,7, второй – с вероятностью 0,9. Взятое наугад изделие, успешно прошедшее контроль, оказалось с дефектом. Какова вероятность того, что ошибку допустил первый специалист?

 

3.4.13. Три сестры: Даша, Маша и Наташа – моют посуду после ужина. Старшая, Маша, моет посуду в половине всех случаев, Даша и Наташа – в четверти каждая. Если посуду моет Маша, то вероятность того, что посуда будет разбита – 0,02. Если это делает Даша, то вероятность – 0,03. Для Наташи эта вероятность равна 0,04. Раздался звон разбитой посуды. Найти вероятность того, что на кухне хозяйничала Наташа.

 

3.4.14. Известно, что 5% всех мужчин и 0,25% всех женщин страдают дальтонизмом. Какова вероятность того, что наугад взятый человек, оказавшийся дальтоником – мужчина?

 

3.4.15. Пассажир приобретает билет в одной из двух касс. Вероятность его обращения в первую кассу равна 0,4, а во вторую – 0,6. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира все билеты будут распроданы, равна 0,35 для первой кассы и 0,7 – для второй. Пассажир приобрел билет. В какой кассе он его купил вероятнее всего?

 

3.4.16. В группе из 20 человек, пришедших сдавать экзамен по теории вероятностей, имеется 4 отличника, 7 подготовленных хорошо и 9 – удовлетворительно. Отличники знают все 25 вопросов программы, хорошо подготовленные – 20, подготовленные удовлетворительно – 15. Вызванный наудачу студент ответил на два вопроса. Найти вероятность того, что он подготовлен: а) отлично; б) хорошо; в) удовлетворительно.

 

3.4.17. Противотанковая батарея состоит из 10 орудий. Для любого из 6 орудий первой группы вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,7. Для любого из 4 орудий второй группы эта вероятность равна 0,9. Наудачу выбранное орудие произвело два выстрела по цели, в результате чего были зафиксированы два попадания. Найти вероятность того, что стрелявшее орудие принадлежит: а) первой группе; б) второй группе.

 

3.4.18. Расследуются причины неудачного запуска ракеты, о котором можно высказать 4 предположения (гипотезы) Н₁, Н₂, Н₃ или Н₄. По данным статистики Р (Н₁) =0,2,

Р (Н₂)= 0,4, Р (Н₃)=0,3, Р (Н₄)=0,1. В ходе расследования было обнаружено, что при запуске произошла утечка топлива (событие А). Согласно статистике Р (А/Н₁) = 0,9,

Р (А/Н₂)=0, Р (А/Н₃)=0,2, Р (А/Н₄)=0,3. Какая из гипотез наиболее вероятна при данных условиях?

 

3.4.19. На проверку поступила партия микросхем, среди которых 10 процентов дефектных. При проверке дефект обнаруживается с вероятностью 0,95. С вероятностью 0,03 исправная микросхема может быть признана дефектной. Проверили одну микросхему. Найти вероятность следующего события A: проверенная микросхема признана дефектной.

 

3.4.20. В первом ящике 3 белых и 4 черных шара; во втором ящике 2 белых и 3 черных шара; в третьем – неизвестное количество шаров, причем все шары – белые. Из наугад взятого ящика наугад вынули один шар. Найти вероятность следующего события A: выбранный шар – белый.

 

3.4.21. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0,55, а ко второму – 0,45. Вероятность того, что стандартное изделие будет признано стандартным первым товароведом, равна 0,9, а вторым – 0,98. Стандартное изделие при проверке было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверял второй товаровед.

 

3.4.22. В специализированную больницу поступают больные с тремя болезнями: в среднем 50 процентов больных с первой болезнью, 30 процентов – со второй, 20 процентов – с третьей. Вероятности полного излечения первой, второй и третьей болезней равны 0,7; 0,8; 0;9. Поступивший в больницу больной выздоровел. Найти вероятность того, что больной болел первой болезнью.

 

3.4.23. По каналу связи с вероятностью 0,4 передается сигнал "0" и с вероятностью 0,6 передается сигнал "1". Из-за помех возможны ошибки. Вероятность принять "1", когда передавался сигнал "0", равна 0,05. Вероятность принять "0", когда передавался сигнал "1", равна 0,1. Принят сигнал "1". Найти вероятность того, что действительно передавался "1".