Аналитический способ решения.

При расчете многостержневых конструкций (ферм) необходимо ввести обозначения стержней и уз­лов. Обычно стержни обозначают цифрами, узлы (места соединения двух или нескольких стержней) — буквами. Так, на рис. 1 узлыобозначены буквами А, В, С, D, Е, стержни цифрами - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Порядок обозначения стержней и узлов может быть произ­вольным. Определение сил в многостержневых конструкциях про­изводится последовательным вырезанием узлов. Рассматривая узел как систему сходящихся сил, пользуясь уравнениями равновесия этой системы ΣХ_i = 0, ΣY_i = 0, необходимо помнить, что, решаяэти уравнения, можно определить только две неизвестные силы. Это условие определяет порядок вырезания узлов. Первым рассматри­вается узел, в котором сходятся два стержня. Таким на рис. 1 яв­ляется узел С. Прежде чем приступить к расчетам, конструкцию не­обходимо представить в виде расчетной схемы.

Покажем расчетную схему узла С на отдельном рисунке (рис. 2). Она должна быть вычерчена аккуратно и четко с нанесенными на нее силами, с указанием углов. Изображенная на рис. 2 расчетная схема узла С получена следующим образом.

Вырезаем узел С, для чего мысленно отбрасываем связи, заме­нив действие стержней реакциями R₁ и R₂. Реакция стержня на­правлена по его оси. Приложим к узлу С действующие на него си­лы: F₁, R₁, R₂. Из них: F₁ - активная сила, внешняя нагрузка, из­вестная по модулю и направлению;

R₁ и R₂ - численно неизвестные реакции связей, направленные вдоль стержней, но пока неизвестно в какую сторону.

При расчетах ферм принято предполагать, что стержень растянут; в таком случае реакция направлена от рассматриваемой точки. Если же в результате решения та или иная из них получится отри­цательной, то это значит, что предположенное направление данной реакции неправильное и, следовательно, стержень не растянут, а сжат. Для равновесия узла необходимо, чтобы алгебраическая сум­ма проекций всех приложенных к нему сил на любые две непарал­лельные оси порознь равнялась нулю.

Напоминаем, что проекция силы на ось равна взятому с соот­ветствующим знаком произведению силы на косинус острого угла между линией действия силы и осью проекций. Заметим, что если оси проекций взаимно перпендикулярны, то не обязательно вычис­лять оба угла между линией действия силы и каждой осью проек­ций. В этом случае проекцию силы на одну ось можно вычислять как произведение силы на косинус острого угла между линией дей­ствия силы и данной осью, а проекцию этой же силы на другую ось— как произведение силы на синус того же угла.

Направим ось х по реакции R₁, а ось у - перпендикулярно ей. Такое положение осей позволяет получить одно из уравнений равновесия с одним неизвестным, что, безусловно, облегчит решение по­лученной системы уравнений. Прежде чем составить уравнение рав­новесия, нужно нанести на расчетную схему все необходимые для проецирования углы.

 

Угол а между реакциями R₁и R₂ находим, исходя из геомет­рических размеров заданной конструкции (см. рис. 1,а).

0,5

Из Δ АКС следует: tg β = АК/КС = — = 0,125 и β = 7°.

Из Δ ВКС: tg (β + α ) = ВК/КС = 3/4 = 0,75 и β + α = 37°.

Таким образом, угол = 30°.

Угол между F₁ и осью у равен углу β = 7° как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Составим уравнения равновесия 1) ΣХ_i = 0; 2) ΣY_i = 0 системы сил, сходящихся в узле С:

ΣХ_i = - R₂ соs 30° - F₁ соs 83° = 0;

ΣY_i = - F₁ соs - 7° - R₂ соs 60° = 0.

Из второго уравнения определяем

R₂ = - F₁ соs 7°/соs 60° = - 10·0,99/0,5 = - 19,8 кН.

Из первого уравнения определяем

R₁ = - R₂ соs 30° - F₁ соs 83° = 19,8·0,87 - 10·0,12 = 16 кН.

Знак минус у значения R₂ показывает, что на самом деле стержень 2сжат силой 19,8 кН.

Силы в стержнях соответственно равны

N₁ = R₁ = 16 кН (растяжение), N₂ = R₂ = 19,8 кН(сжатие).

Для определения сил в стержнях 3 и 4вырезаем узел О. Рас­четная схема узла Dизображена на рис. 3. Направление неизвест­ных реакций R₃, R₄ принимаем от узла, считаем, что стержни рас­тянуты. Силу R₂ = 19,8 кН направляем к узлу, так как из предыду­щего расчета известно, что стержень 2сжат. Направим ось х по реакции R₄, ось у - перпендикулярно ей.

Угол между горизонтом и направлением силы R₄ равен (β + α) = 37° (см. рис. 1,a). Угол, образуемый осью у и силой R₃, - также 37°. Рассматривая узел в состоянии равновесия, составим уравнение проекций всех действующих сил на оси:

ΣХ_i = - R₄ - R₂ + R₃ соs 53° = 0;

ΣY_i = - R₃ соs 37° = 0.

Из второго уравнения R₃ = 0. Из первого уравнения R₄ = - R₂ = - 19,8 кН.

В результате N₃ =R₃ = 0 (стержень не работает); N₄ = R₄ = - 19,8 кН (стержень сжат).

Графический способ решения.

Определим этим способом силы в стержнях 1. и 2. Из трех сил, действующих на узел С, известна сила Р\ по модулю и направлению. Выбираем масштаб сил, напри­мер 5 кН в одном сантиметре (μ_cил = 5 кН/см) и строим силовой треугольник (см. рис. 1,6). Из произвольной точки а в принятом масштабе откладываем отрезок аb, равный силе F₁= 10 кН. Из начала и конца отрезка аb проводим прямые, параллельные стержням, 1 и 2,до их пересечения в точке с. Получаем замкнутый силовой треугольник аbс, в котором вектор = F₁ вектор =R₁ и вектор = F₁. Измерив длины сторон bс и са (см) и умножив на масштаб
5 кН/см, находим силы б стержнях 1 и 2:N₁ = R₁ ≈ 16 кН, N₂ = R₂ ≈ 20 кН.

Мысленно перенеся направление найденных реакций на соот­ветствующие стержни схемы конструкции, видим, что сила R₁ на­правлена от узла, а это значит, что стержень растянут; сила R₂ на­правлена к узлу и, следовательно, стержень сжат.

 

Алгоритм и пример решения задачи № 2

Требуется определить значения опорных реакций балок двухопорной или жестко защемленной.

Двухопорная балка (рис. 7,а).

Обозначим шарнирно-неподвижную опору А, шарнирно-подвижную В. В предыдущей задаче мы встречались с такого рода опорами. Изобразим расчетную схему балки (рис. 7,б). Освобождаем балку от связей, заменяя их действие на балку опорными вертикальными реакциями V_A и, V_B поскольку в данной задаче, кроме сосредоточенного момента, внешние нагрузки только вертикальные. Для удобства расчета равномерно распределенную нагрузку заменяем равнодействующей F_q, которая равна произведению интенсивности q (кН/м) на длину участка ее приложения, т.е. F_q = ql = 10·3=30 кН. Линия действия равнодействующей проходит через середину участка, занятого равномерно распределенной нагрузкой.

На расчетной схеме балки (рис. 7, б) должны быть проставлены расстояния от сил до каждой из опор. Особое внимание обратите на расположение распределенной нагрузки на балках с консолями, чтобы избежать ошибок, часто возникающих при определении плеча силы F_q. Значение сосредоточенного момента в любое уравнение равновесия входит с тем знаком, который ему приписывается с учетом направления действия.

Для двухопорных балочных систем при определении опорных реакций самыми рациональными являются уравнения моментов относительно опор А и В. Составляем эти уравнения:

Σ M_A = F_qb + М - V_В (b + с) + F (b + с + d) = 0;

V_B = = кН;

Σ M_В = V_A (b + c) - F_q с + M + F d = 0;

V_A = = = 13,3 кН.

Так как определение реакций - первый этап расчета балки на изгиб, то его следует считать особенно ответственным. Поэтому во избежание ошибок при вычислении необходимо производить про­верку найденных значений реакций. Составим уравнение проекций всех сил на ось у.

ΣV_i = V_А F_q + V_B – F = 13,3 - 30 + 31,7 - 15 = 45 - 45 = 0.

Если это равенство не удовлетворяется, следовательно, при опреде­лении опорных реакций была допущена ошибка.

 

б) Консольная балка (рис. 8, а). Балка с защемленной опорой называется консолью. Защемляющая неподвижная опора лишает балку всех трех степеней свободы: линейных перемещений вдоль осей х и у и возможности поворота в плоскости этих осей. Соответ­ственно в защемлении появляются три неизвестные, реакции: V_A, Н_A и реактивный момент заделки М_A (рис. 8,б). Для их определения наиболее удобными являются следующие уравнения равновесия:

1. Уравнение моментов сил относительно точки заделки М_а = 0 - для определения реактивного момента М_A, так как силы V_а и Н_а, приложенные к точке, А, в уравнение не войдут (их моменты от­носительно точки А равны нулю).

2. ΣV_i- = 0 - для определения вертикальной реакции V_а.

3. 2Х₄ = 0 —для определения горизонтальной реакции Н_А.

По расчетной схеме балки (рис. 8, б) составим уравнения раз­новерия ΣМ_A = - М_A + Fа + М + F_q(b+а)=0. Отсюда

М_А = Fа + М + F_q (b + a) = 8·0,5+ 10 + 2·1,5= 17 кН·м.

Значение Ма>0; следовательно, принятое направление момента правильное.

Из уравнения ΣV_i = V_А – F – F_q = 0 находим V_а = F + F_q = 8 + 2 = 10кН.

Из уравнения ΣX_i = 0 следует, что Н_а= 0.

Для проверки решения удобно составить уравнение моментов относительно произвольно взятой точки, например В:

ΣМ_В = - М_А + М + V_Аl - F(b + с) – Fq c = - 17 + 10 +1 0·2,0 - 8·1,5 – 2·0,5= - 30 + 30 = 0.