Геометрические задачи на построение. Критерий разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой. — КиберПедия 

Своеобразие русской архитектуры: Основной материал – дерево – быстрота постройки, но недолговечность и необходимость деления...

Архитектура электронного правительства: Единая архитектура – это методологический подход при создании системы управления государства, который строится...

Геометрические задачи на построение. Критерий разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой.

2017-10-16 832
Геометрические задачи на построение. Критерий разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой. 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

 

1º Математический смысл решения задачи на построение

 

Задача на построение заключает в себе требование построения той или иной фигуры путем использования тех или иных чертежных инструментов, чаще всего циркуля и линейки, при условии задания ее отдельных элементов и некоторых фигур, с которыми искомая фигура должна находиться в отношениях, указанных в условии задачи. Непосредственное, практическое понимание существа таких задач естественным образом формирует представление о том, что их решение состоит в графическом построении чертежа искомой фигуры путем последовательного применения чертежных инструментов, позволяющих графически представить некоторые конкретные фигуры такие, например, как прямую и окружность. Практика при этом интересует качество выполнения чертежа, возможность оценки степени точности такого построения искомой фигуры, в определенной степени возможность минимизации самой процедуры построения. Математика в этой ситуации интересует сама последовательность построений основных, базовых фигур, которая ведет к построению искомой фигуры, математическая процедура формирования этой последовательности. В силу этого у математика решение конструктивной задачи предстает в виде конечной последовательности построений основных фигур, причем само построение этих фигур для него не имеет никакого смысла кроме того, что эти построения приходится считать известными. Таким образом, возникает математическое понятие решения конструктивной задачи. Оно представляет конечную последовательность конечного числа задач на построение фигур некоторого фиксированного набора, как правило основных базовых фигур соответствующей геометрической системы. Для евклидовой геометрии – это, в первую очередь, прямая и окружность. Возможность их построения по соответствующим элементам считается математиком известной. Так прямая признается известной, или уже построенной, если указаны две ее точки, окружность определена, если даны ее центр и радиус.

Подводя итог, мы должны принять следующее определение понятию «решение конструктивной задачи»: решение конструктивной задачи о построении некоторой фигуры есть конечная последовательность построений основных, базовых фигур, которые считаются известными при условии задания элементов, определяющих эти фигуры.

В этой лекции мы рассматриваем проблему решения конструктивной задачи циркулем и линейкой, а потому базовые фигуры, построения которых считаются известными – это прямая и окружность. Основные построения этих фигур и их общих точек мы считаем известными и называем постулатами циркуля и линейки. Соответствующие конечные последовательности этих постулатов называем решениями соответствующих конструктивных задач. Постулаты формулируем в виде соглашений о возможности построения прямой и окружности и их общих точек.

Постулат 1. Можем построить прямую, если указаны две ее различные точки.

Постулат 2. Можем построить окружность, если даны ее центр и радиус.

Постулат3. Можем построить общую точку двух прямых, если они пересекаются.

Постулат 4. Можем построить общую точку прямой и окружности, если они пересекаются.

Постулат 5. Можем построить общую точку двух окружностей, если они пересекаются.

Постулат 6. Можем использовать в построении любую точку, принадлежащую данной фигуре или ей не принадлежащую, отличную от ранее выбранной, а также точку, принадлежащую построенной фигуре или точку ей не принадлежащую.

Решение конструктивной задачи циркулем и линейкой – это конечная последовательность перечисленных выше постулатов.

Графическое последовательное выполнение построений, соответствующих этим постулатам приводит к графическому построению искомой фигуры. Эти построения математик рассматривает как графическую иллюстрацию решения конструктивной задачи.

Мы ограничиваемся лишь математическим пониманием решения конструктивной задачи, а потому для нас главное – это построение соответствующей последовательности постулатов. Графическая интерпретация, рисунок, играет лишь вспомогательную роль, прежде всего, при поиске хода решения или в случае желания представить решение в графической форме. В последнем случае желательно использование соответствующих чертежных инструментов.

Пример: Построить прямую, перпендикулярную к данной прямой а и проходящую через данную точку В, не принадлежащую прямой а.

Решение задачи.

1.Возмем на прямой а точку А1 (постулат 6).

2.Строим окружность (В,ВА1) (постулат 2).

3.Отмечаем точку А2 пересечения (В,ВА1) с а (постулат 4).

4.Строим окружности (А1, А1В) и (А2, А2В) (постулат 2).

5.Отмечаем общие точки окружностей (А1, А1В) и (А2, А2В) (постулат 5).

Одна из них есть точка В, а вторую обозначим через С.

6.Строим прямую ВС (постулат 1)

Решение предстает в виде последовательности:

потс.6, пост.2,пост.4,пост.2,пост.5,пост.1.

Рисунок 56 представляет графическое решение этой задачи.

 

 

Рис.56

Математическое решение задачи предполагает не только построение последовательности постулатов, но и доказательство того, что «построенная» фигура удовлетворяет всем условиям задачи, а значит является искомой и в этом смысле представляет решение задачи. Кроме того, в силу неоднозначности самих условий задачи, условного характера самих постулатов, в частности постулатов 3,4,5 возникает потребность в исследовании решения на предмет его зависимости от свойств данных фигур и соотношений между ними, а также на предмет числа решений, как числа фигур, удовлетворяющих условию задачи.

Таким образом, полное решение задачи на построение, как описание процедуры поиска искомой фигуры включает в себя три обязательных этапа:

1. построение, как процедуру формирования соответствующей последовательности постулатов;

2. доказательство, как этап решения, подтверждающий соответствие построенной фигуры условиям задачи;

3. исследование - этап, устанавливающий соотношения между данными фигурами, обеспечивающие существование искомой фигуры, и число фигур, которые можно считать искомыми.

Кроме этих трех этапов обычно описывается процедура поиска плана решения задачи. Этот этап, естественно, называть анализом условий задачи. Сводя все сказанное о решении конструктивной задачи воедино, можно констатировать, что процедура решения задачи на построение состоит из четырех этапов, четырех частей: анализ, построение (синтез), доказательство, исследование. Следует заметить, что все эти этапы характерны процедуре решения любой, математической задачи, но именно при решении задач на посторенние фигуры эти этапы подчеркиваются в явном виде. В этом состоит еще одно важное значение конструктивных задач в педагогической практике как инструмента развития и формирования дедуктивного мышления учащихся.

2°. Основные методы решения

 

В зависимости от используемого приема, говорят о трех общих методах решения конструктивной задачи: методе геометрических мест точек,методе преобразований и алгебраическом методе. Приведем общую характеристику этих методов и примеры задач решаемых этими методами.

1. Как мы знаем, геометрическая фигура называется геометрическим метом точек в том случае, когда она определяется через указание характеристического свойства точек, ей принадлежащих. С другой стороны, всякая элементарно геометрическая фигура однозначно определяется конечным числом принадлежащих ей точек в том смысле, что их наличие позволяет ответить на вопрос о принадлежности произвольно взятой точки рассматриваемой фигуре.

Допустим, что фигура F, которую требуется построить, определяется точками А, В,…, С, М, N,…, К. некоторые из этих точек могут быть либо непосредственно указаны в условии задачи, либо построены известными уже приемами. Назовем такие точки известными. Пусть именно они обозначены буквами А, В,…, С. Точки М, N,…, К по понятной причине назовем искомыми. В силу сделанного выше замечания можно считать, что построение фигуры F сводится к построению конечного числа точек М,N,…, К. Эти точки на прямую или косвенно наделены условиями задачи вполне определенными геометрическими свойствами. С точки зрения определения фигуры как геометрического места точек мы можем считать, что каждому такому свойству соответствует некоторая геометрическая фигура, которая должна содержать соответствующую искомую точку. Таким образом, если М, например, обладает согласно условиям задачи двумя свойствами j1 и j2, то она есть точка пересечения двух фигур F1 и F2, которые определяются как геометрические места точек свойствами j1 и j2. Этот факт позволяет поставить задачу о построении искомых точек М,N,…, К, как точек пересечений соответствующих групп геометрических мест точек, в зависимость от нахождения и последующего построения геометрических мест точек, которым они принадлежат. Если геометрические места точек, которым по условию задачи должны принадлежать точки М,N,…, К – известные для нас фигуры, построение которых возможно допущенными средствами, например циркулем и линейкой, то решение задачи о построении фигуры F предстает в виде последовательного построения этих геометрических мест точек и точек пересечения их соответствующих групп. Такой метод построения фигуры F получил название метода геометрических мест точек.

При использовании этого метода решения на первом этапе выделяются искомые точки, входящие в состав точек, определяющих искомую фигуру F. Затем формируются геометрические свойства искомых точек и определяются им соответствующие геометрические места точек. На этапе построения фигуры F последовательно строятся геометрические места точек и выбираются точки из пересечений их групп, каждая из которых содержит те геометрические места точек, которые соответствуют геометрическим свойствам одной из искомых точек. Как правило этим и завершается этап «Построения», хотя его можно и продолжить построением по найденным точкам самой искомой фигуры F.Однако, это не делается, если графическая интерпретация решения не является целью решения задачи. Этапы «Доказательство» и «Исследование» не вносят никаких особенностей связанных со способом решения задачи.

Приведем пример использования рассмотренного метода при решении конструктивной задачи.

Пример. Построить треугольник АВС так, чтобы ÐВАС был равен данному углу a, сторона ВС была бы равна данному отрезку а и высота искомого треугольника, опущенная из вершины А, была бы равна данному отрезку h.

Анализ.

1. Треугольник АВС определяется своими вершинами А,В и С.

2. Из трех точек А,В и С две точки В и С можно считать известными, поскольку их построение связано с известной задачей о построении отрезка равного данному.

3. Таким образом, в контексте нашей задачи искомой точкой оказывается точка А.

4. Используя условие задачи: ÐВАС @ Ða, а стороны этого угла проходят через точки В и С, концы отрезка ВС, можно сформулировать первое свойство искомой точки А: из точки А отрезок ВС виден под данным углом a. Геометрическое место точек, каждая из которых обладает этим свойством – известная фигура, состоящая из двух равных дуг равных окружностей, концами этих дуг являются точки В и С.

5. Используя третье по счету условие задачи, получаем второе свойство точки А: А удалена от прямой ВС на данное расстояние h. Геометрическое место точек, обладающих таким свойством, является известной фигурой: пара прямых, параллельных прямой ВС и находящихся от нее на заданном расстоянии h.

6. Искомая точка А, обладая указанными выше свойствами одновременно, принадлежит пересечению геометрических мест точек, о которых говорится в пунктах 4 и 5.

Таким образом, построение точки А сводится к построению указанных выше геометрических мест точек.

Графическая иллюстрация представлена на рис.57.

 
 

 

a

 

 

Рис. 57 Рис.58

 

Построение.

 

1. Строим отрезок ВС, конгруэнтный отрезку а (изв. задача).

2. Строим геометрическое место точек, из которых ВС виден под данным углом a (изв. задача).

3. Строим геометрическое место точек, каждая из которых удалена от прямой ВС на расстояние h (изв. задача).

4. отмечаем точку А пересечения построенных в пунктах 2 и 3 геометрических мест точек (постулат 4).

Точка А – искомая. Таким образом, точки А,В и С – вершины искомого треугольника.

Графическая интерпретация этого построения представлена на рис.58.

 

Доказательство.

 

Треугольник АВС - искомый, так как:

1.ВС@ а по построению пункта 1.

2. ÐВАС @ Ða,так как точка А принадлежит геометрическому месту точек, построенному в пункте 2 в соответствии с условием, вытекающем из пункта 4 нашего построения.

3.Точка А удалена от прямой ВС на расстояние h согласно с пунктами 3 и 4 нашего построения. А это означает, что высота ∆АВС, опущенная из вершины А, равна h.

 

Исследование.

 

Укажем условия, которые должны связывать а,a и h, при которых существует искомый треугольник АВС.

1. Построение отрезка, конгруэнтного данному, выполнимо всегда. Поэтому построение отрезка ВС выполнимо независимо от соотношений между а, a и h.

2. Построение геометрического места точек, из которых отрезок виден под данным углом ограничивается лишь условием, что Ða меньше развернутого, но больше нулевого угла.

3. Построение геометрического места точек, удаленных от данной прямой на данное расстояние не имеет ограничений, кроме одного- h не должно быть нулевым отрезком.

4. Наличие общей точки у построенных геометрических мест совпадает с условием наличия общих точек у прямой и окружности: расстояние от центра окружности до прямой меньше либо равно радиусу окружности. Это соотношение нужно выразить через данные из условия задачи, т.е. через а, a и h.

5. Если обозначить через О центр окружности, содержащей одну из дуг первого геометрического места точек, а середину отрезка ВС - буквой H (рис.59), то соотношение между h, а и a можно найти, рассматривая прямоугольный треугольник ВОН, у которого ВН@ , ÐВОН@Ða. Пусть ОК – перпендикуляр, опущенный из О на соответствующую прямую, входящую в состав второго геометрического места точек. Отрезок ОК не должен превосходить радиуса окружности, чтобы входящая в состав второго геометрического места точек прямая имела с окружностью, по крайней мере, одну общую точку. Иначе говоря, ОК £ ОВ есть условие существования общих точек у построенных нами геометрических мест точек.

 

Рис.59

 

 

Из D ВОН @ @ . ОК @ КН – НО @ h – НО.

Из D ВОН НО @ ВО × cosa @ a × . Таким образом,

ОК @ h – a × @ .

Отсюда и получаем неравенство £ .

Эти выкладки соответствуют случаю острого угла a. Последнее неравенство сводится к неравенству 2 h sina - a cosa £ a.

В случае, когда угол a - тупой, аналогичные выкладки приводят к неравенству 2 h sina + a cosa £ a. Именно эти неравенства и представляют условия существования решения задачи как фигуры, обладающей соответствующими свойствами.

Второй вопрос – это вопрос о числе решений задачи. В математическом смысле оно одно - это соответствующая последовательность постулатов и известных задач, на которые мы ссылались, обосновывая шаги построения. С точки зрения вопроса о числе фигур, удовлетворяющих условиям задачи ситуация иная и неоднозначная. Если ставить вопрос в зависимость от числа точек пересечения соответствующих геометрических мест точек, то, при условии выполнения указанных нами выше соотношений между данными величинами задачи, могут существовать либо два, либо четыре треугольника, которые мы должны считать искомыми фигурами. В этом смысле можно говорить о двух или соответственно четырех решениях поставленной нам задачи. Если же решение, как фигура, удовлетворяющая требованиям задачи, ищется с точностью до равенства, т.е. различаются лишь те решения – фигуры, которые неравны между собой, то мы должны будем признать единственность решения нашей задачи. Таким образом, ответ на вопрос о числе решений задачи на построение фигуры неоднозначен и зависит прежде всего от того, что мы согласимся принимать за решение задачи.

2. Второй общий метод решения задач на построение есть метод, базирующийся на использовании геометрических преобразований, а потому и называется он методом геометрических преобразований. В литературе в зависимости от вида используемых преобразований этот метод делят на отдельные виды: метод параллельного переноса, метод вращения, метод гомотетии, метод симметрии и т.п.

Здесь мы лишь в обзорном порядке характеризуем суть этого метода в целом.

Если в процессе анализа условий задачи мы обнаруживаем, что, применив какое-либо преобразование к отдельным элементам или ко всей искомой фигуре F, мы приходим к фигуре, построение которой нам известно, или его легко выполнить, то построить фигуру F можно, выполнив сначала построение соответствующей вспомогательной фигуры, а затем построение ее образа, или образов соответствующих ее элементов при преобразовании обратном тому, которое мы использовали в процессе анализа условий задачи и разработке плана ее решения. В результате получаем либо искомую фигуру в целом, либо ее недостающие элементы.

Такой способ решения задачи, базирующийся на применении геометрических преобразований, и называют методом преобразований.

К сожалению, какого-либо более детального описания этого метода, а тем более общего алгоритма применения геометрических преобразований в решении конструктивных задач не существует. Освоение метода обеспечивается практической работой: чем больше решается задач, тем успешнее решающий находит подходящее геометрическое преобразование, помогающее ему решить поставленную задачу.

 

 

Пример. Построить треугольник, вписанный в данный треугольник АВС, стороны которого были бы перпендикулярны сторонам треугольника АВС.

 

Анализ

 

1.Пусть D РQR – искомый треугольник, у которого PQ ^ АВ, QR ^ АС и RP ^ ВС (рис.60).

2. Примем точку А за центр гомотетии, а точку Р′ на отрезке АВ, за образ точки Р в гомотетии с центром А.

3. Эта гомотетия отобразит Q в Q′, а R в R′, так что ∆ P′Q′ R′ будет гомотетичен D PQR, а потому P′Q′ ^ АВ, Q′R′ ^ АС и R′P′ ^ ВС.

4. Таким образом, D P′Q′ R′ удовлетворяет всем условиям нашей задачи кроме одного: его вершина R′ не принадлежит отрезку ВС. Треугольник, удовлетворяющий всем условиям кроме отмеченного выше легко построить. Но любой такой треугольник, как и треугольник P′Q′R′ гомотетичен искомому D PQR.

5. Вследствие этого луч АR′ пересечет отрезок ВС в вершине R искомого

D PQR. Отсюда, треугольник PQR можно строить как треугольник, гомотетичный треугольнику, являющемуся решением задачи с ослабленным требованием о его расположении относительно D АВС: стороны треугольника должны быть ортогональны сторонам данного, а из трех его вершин сторонам данного в обязательном порядке должны принадлежать только две вершины.

 

Рис.60

 

Построение.

 

1. Строим DP′Q′ R′так, чтобы Р′ принадлежит АВ, Q′ принадлежала АС, а

P′Q′ ^ АВ, Q′ R′ ^ АС и R′ P′ ^ ВС (изв. задача).

2. Строим прямую АR′ (пост.1).

3.Отмечаем точку пересечения AR′ с СВ (пост.3).

4.Строим D PQR гомотетичный D P′Q′ R′ в гомотетии с центром А, которая отображает точку R′ в точку R (изв. задача).

D PQR – искомый.

Доказательство того, что D PQR искомый, а так же исследование решения задачи оставляем в виде самостоятельной работы читателю.

Переходим к рассмотрению третьего общего метода решения задач на построение.

 

3. Третий общий метод – метод алгебраический, так как в этом случае связи между искомыми и известными геометрическими величинами выражаются в алгебраической форме. Такое представление соответствующих связей удобно сделать, если стандартизируются сами величины и выбирается тот их вид, который позволяет использовать общие зависимости алгебраического вида между ними. Как известно, алгебраическую зависимость между геометрическими величинами представляет, прежде всего, так называемая теорема косинусов, теорема, выражающая связь между сторонами и углами треугольника, а так же теоремы, которые можно рассматривать как ее следствия - это, прежде всего, теорема Пифагора. Кроме этого, могут использоваться и другие теоремы: о хордах, проходящих через одну точку круга, о касательной и секущей.

В этих теоремах фигурируют, прежде всего, отрезки, поэтому их использование предполагает возможность свести решение задачи на построение фигуры F к задаче о построении отрезков и, более того, возможность выражения любого искомого отрезка через известные отрезки, т.е. отрезки, определяемые условиями задачи. Последнее как раз и может быть достигнуто в общей форме с помощью перечисленных выше теорем. Остается лишь вопрос о возможности свести задачу на построение к построениям именно отрезков. Обосновать эту возможность можно, используя тот же прием, которым мы пользовались для описания сути метода геометрических мест точек.

Итак, пусть искомая фигура F определяется конечным множеством точек А, В,…, С, М, N,… К, из которых точки А, В,…С можно рассматривать как известные, а точки М, N,…, К – как искомые. Соединяя каждые две известные точки и каждую известную с каждой неизвестной отрезками, получаем множество отрезков а, b,..., с, х, у,…z, в котором отрезки а, b,…, с можно считать известными, а отрезки

х, у,…, z – искомые отрезки. Эти отрезки образуют множество треугольников с известными и неизвестными элементами. Эту процедуру формирования конечного множества треугольников, связанных с точками

А, В,…, С, М, N,…, К, определяющими искомую фигуру F, называют триангуляцией. Используя соответствующие связи между элементами этих треугольников, в общем случае, удается представить связи между отрезками а, b,…, с, х, у, z в виде уравнений, совокупность которых относительно искомых отрезков естественно рассматривать как систему уравнений: ,

 

решения которой относительно х, у,…, z предстают в виде функций от известных отрезков а, b,…, с: x = f1(a, b, …., c), y = f2(a, b, …., c),…,z =

= fn(a, b,…, c).

Остается лишь осуществить построение этих отрезков по их функциональным зависимостям от отрезков а, b,…, с, используя допущенные к построениям средства, например, циркуль и линейку. Построение отрезков х, у,…, z приводит нас к точкам

А, В,…, С, М, N,…, К, которые и определяют искомую фигуру F. Именно такого вида построение искомой фигуры и составляет суть метода, названного алгебраичеcким. На деле, в конкретном случае, бывает удобнее конструировать соответствующую систему уравнений и без такой полной триангуляции, какую мы описали выше.

Приведем примеры конкретных случаев использования алгебраического метода в решении конструктивных задач.

Пример1: Построить три окружности с центрами в вершинах данного треугольника АВС так, чтобы каждая окружность касалась двух других.

 

Анализ.

 

Пусть окружности (А, х), (В, у) и (С, z) – искомые окружности. Тогда, в случае их внешнего касания друг друга (рис.61) имеем х + у = с, х + z = b и у + z = а, где а @ ВС, b @ АС, с @ АВ, а в случае, когда две окружности, например, (А, х) и (В, у) касаются друг друга внешним образом, а окружность (С, z) касается двух первых внутренним образом (рис.62), имеем х + у = с, z – х = b и z – у = а.

 

 

Рис. 61 Рис. 62

 

Рассмотрим первый случай, предоставив второй читателю. В этом случае имеем систему уравнений: . Решая эту систему, находим значения радиусов искомых окружностей в виде функций от а, b и c:

х = , у = , z = .

Перед нами возникает задача построения отрезка, представленного в виде функции от известных отрезков. Для этого необходимо алгебраические операции над известными отрезками интерпретировать геометрически. В данном случае нужны интерпретации операций сложения и вычитания, а также умножения отрезка на число. Пока считаем это известным для читателя. Тогда построения искомых окружностей выглядят следующим образом.

 

 

Построение.

 

1. строим отрезки х, у и z по их алгебраическим выражениями через известные отрезки а, b и c, которые мы нашли, проводя анализ решения задачи, т.е. по

х = , у = , z = (изв. задача).

2. Строим окружности (А, х), (В, у) и (С, z) (пост.2).

Провести доказательство того, что указанные окружности в пункте 2 «Построения» являются искомыми, а также выполнить исследование решения задачи предоставляется читателю в виде самостоятельной работы. Кроме того, читателю в качестве упражнения рекомендуется описать и второй случай задачи, соответствующий второму случаю взаимного расположения искомых окружностей (рис.62).

Пример 2. Даны: прямая а, отрезок m и две точки Р и Q, не принадлежащие прямой а. Построить окружность, проходящую через P и Q и отсекающую от прямой а отрезок, конгруэнтный отрезку m.

 

Анализ

 

Рассмотрим общий случай взаимного расположения прямой а и прямой, проходящей через Р и Q, когда эти прямые пересекаются в точке О (рис.63).

 

Рис.63

 

Допустим. Что окружность (S, r) – искомая. Пусть точки Х и У – точки пересечения (S ,r) с а.

1. Обозначим отрезки ОР и ОQ через р и q, а отрезки ОХ и ОУ через х и у соответственно.

2. По теореме о секущих проведенных к окружности через одну точку,

ОР × ОQ = ОУ × ОХ или р·q = у·х.

3. Кроме этого, если О лежит вне (S, r), то у – х = m.

4. Таким образом, получаем систему уравнений .

5. Решив эту систему, получим выражения отрезков х и у через отрезки р и q:

х = и y = .

Достаточно построить один из них, чтобы получить три точки, определяющие искомую окружность (S, r).

 

 

Построение

 

1. Строим точку О – пересечение прямых а и РQ (пост 1).

2. Строим отрезок х, который выражается через отрезки р, q и m в виде

х = (изв. задача).

3. На прямой а от точки О откладываем отрезок ОХ, равный х (изв. задача).

4. Через точки Р, Q и Х проводим окружность (изв. задача).

5. Построенная окружность – искомая.

«Доказательство» и «Исследование» в составе рассматриваемого решения задачи, а также случай, когда прямые а и РQ параллельны, рекомендуем выполнить читателю самостоятельно.

 

30. Рассмотренные выше примеры использования алгебраического метода решения конструктивной задачи, показывают, что при построении искомых отрезков приходится использовать некоторые основные операции с отрезками для представления искомого отрезка в виде функции данных отрезков. Это, прежде всего, операции сложения и вычитания отрезков и операция умножения отрезка на число. Геометрическое определение этих операций, в целом, известно читателю по опыту средней школы. Однако, умножение отрезка на число, в первую очередь, требует уточнения. Эта операция определяется в геометрии конструктивно, т.е. описывается процедура построения соответствующего отрезка, и поэтапно в соответствии с видом числового множителя. Мы рассмотрим случай, когда средствами построения являются линейка и циркуль.

1). Отрезок умножается на натуральное число:

а × n = .

Таким образом, а ×2= а + а, а × 3= а ×2 + а = (а + а) + а и т.д.

Произведение а на n будем записывать и как: n а.

2). Умножение на целое число вносит новую ситуацию. Когда целое число – число отрицательное, то отрезок умножается на число противоположное данному отрицательному множителю в том случае, если результат такого умножения вычитается из некоторого отрезка, например: имеем а – n b:

b умножаем на n, а затем n b вычитаем из а. Произведения же вида – n b вне контекста соответствующего алгебраического выражения в геометрии не рассматриваются. В этом смысле умножение отрезка на отрицательное число в геометрии не определяется.

3). если числовой множитель – число рациональное, то новое определение необходимо лишь для случая, когда это число не будет целым. В этом случае оно – число дробное и представляется дробью, например: .

Тогда а× есть р а × , р а согласно с пунктом 1) есть некоторый отрезок b. Таким образом, определение отрезка а × сводится к определению

b × . Для определения b используем известную теорему о делении отрезка на q равных частей (см. рис.64):

 

Рис.64

 

 

1. Строим АВ @ b

2. Проводим из А луч l, не обязательно, но желательно под острым углом к АВ.

3. На l от точки А последовательно откладываем произвольно взятый отрезок е q раз.Получаем отрезок АЕq @ q е.

4. Строим прямую ВЕq и через Е 1, для которой АЕ1 есть e, проводим прямую параллельную ВЕq.

5. Эта прямая пересекает АВ в точке С такой, что АС× q @ АВ. Таким образом, за b × принимаем отрезок АС. Отрезок АС и называем произведением а на число .

4). Пусть теперь числовой множитель – число иррациональное. Обозначим его через a. В этом случае нет общего конструктивного приема, позволяющего определить произведение отрезка а на число a. Эта операция оказывается, прежде всего, зависимой от допущенных средств построения. Если мы ограничиваемся использованием циркуля и линейки, то а × a можно будет определить лишь в случае, когда a - иррациональное число квадратичной иррациональности. Отметим случай, когда a - простая квадратичная иррациональность, т.е. a представляется как , где

r – число рациональное. В этом случае имеем а × , что заменяем на или

a × r есть отрезок, который мы можем построить циркулем и линейкой. Обозначим его через b, предстает в виде .

Теорема о высоте прямоугольного треугольника, опущенной на гипотенузу, позволяет рассматривать как высоту такого треугольника с гипотенузой а + b. Построение этого отрезка можно выполнить циркулем и линейкой, что графически представлено на рис. 65 Перечислим шаги построения.

Рис.65

 

1. Строим АВ @ а + b. При этом АС @ а и ВС @ b.

2. Строим окружность с диаметром АВ.

3. Через С проводим прямую n перпендикулярно АВ.

4. Отмечаем точку Н пересечения n с окружностью

Отрезок СН – искомый. Именно его и считаем результатом умножения отрезка а на число .

 

При более сложной квадратичной иррациональности вида и т.п. используется рассмотренное нами построение. Эту процедуру мы опишем позднее.

 

40. Рассмотрим теперь критерий разрешимости конструктивной задачи циркулем и линейкой.

Пусть функция х = f (а, b,…, с) представляет отрезок х выраженным через отрезки а, b,…, с с помощью операций, имеющих соответствующие геометрические толкования. С другой стороны можно переменные

х, а, b,…, с рассматривать как длины соответствующих отрезков, а потому аналитически представленная функция f (а, b,…, с) может рассматриваться как функция числовых аргументов.

Как известно длина отрезка, как число, зависит от выбора единичного отрезка. В следствие этого умножение длин отрезков на какое-то положительное число k можно истолковывать как результат соответствующего перехода от одной единицы измерения к другой. Так как функция f(а,b,…,с) выражает зависимость между отрезками, и зависимость между их длинами имеет ту же аналитическую форму, не зависящую от выбора единичного отрезка, то изменение длин отрезков

х, а, b,…, с в k раз не меняет самой функциональной зависимости отрезка х от отрезков а, b,…, с. Именно этот факт и выражается равенством

kх = f(kа, kb,…, kс). Подставляя сюда вместо х его выражение через а, b,…, с, мы и получим равенство f (kа, kb,…, kс)= kf (а, b,…, с).

Это равенство выполняется для любого положительного k, что и означает однородность функции f (а, b,…, с) относительно переменных а, b,…, с. Так как число k в это равенство входит в 1-ой степени, то и говорят, что функция f (а, b,…, с) – однородная функция первой степени однородности.

Итак, нами получено свойство функции, выражающей отрезок через другие отрезки: если некоторый отрезок х находится в функциональной зависимости от отрезков а, b,…, с, то функция f (а, b,…, с) является однородной первой степени однородности.

Отметим теперь, прежде всего, три функциональны


Поделиться с друзьями:

Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...

Индивидуальные и групповые автопоилки: для животных. Схемы и конструкции...

Типы оградительных сооружений в морском порту: По расположению оградительных сооружений в плане различают волноломы, обе оконечности...

Папиллярные узоры пальцев рук - маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.138 с.