В свете свойств группы движений — КиберПедия 

История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций...

В свете свойств группы движений

2017-10-16 303
В свете свойств группы движений 0.00 из 5.00 0 оценок
Заказать работу

Прежде всего, покажем как отношение пропорциональности на множестве пар отрезков может быть построено с опорой на теоремы Паппа и Дезарга в их аффинном варианте, а затем теорему Паппа докажем, используя специфическое положение осевых симметрий в группе движений. Сформулируем эти теоремы.

Теорема Паппа: Если тройки попарно противоположных точек А1, А2, А3 и В1, В2 , В3 шестивершинника А1В3А2В1А3В2 принадлежат прямым q и g соответственно и при этом А1В2 ║ А2В1 и А2В3║ А3В2, то А1В3║А3В1 (см. рис.20, левая часть)

 

Рис.20

Теорема Дезарга: Если вершины двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ попарно принадлежат трем пересекающимся в одной точке прямым a, b, c соответственно, то естьА и А¢ – прямой а, В и В¢ – прямой b и С и С¢– прямой с, и при этом АВ ║А¢В¢ и АС║А¢С¢, то ВС║В¢С¢ (рис.20, правая часть)

Отметим, что верны и обратные теоремы. Используем их при построении теории пропорциональности пар отрезков.

Определение: Упорядоченная пара отрезков а и b пропорциональна

упорядоченной паре отрезков c и d, если для отрезков ОА и ОВ, конгруэнтных соответственно отрезкам a и b, отложенным от вершины О неразвернутого угла Ðhk на стороне h, и отрезков ОC и OD, конгруэнтных соответственно отрезкам c и d, отложенным на стороне k названного угла, прямые АС и BD параллельны.

Прежде всего следует убедиться в том, что пропорциональность пар

(a, b) и (c, d) не зависит от выбора Ðhk.

В случае, когда ОА @ ОС и OB @ OD, прямые АС и BD параллельны (рис.21)

 

h

B

A

 

m

O

 

C

D k

 

Рис.21

 

Пусть m – медиатриса АС, тогда m проходит через О и m ^ AC (1).Очевидно, что h k, а значит в следствие того, что OB @ OD и B D. Таким образом, m ^ BD (2). На основании (1) и (2) заключаем, что АС║BD.

Теперь пусть имеем два неравных неразвернутых угла Ðhk и Ðh¢k¢ с вершинами О и О¢. На лучах h и от их начал, точек О и О¢, откладываем отрезки ОА и OB, O¢A¢ и O¢B¢, равные соответственно данным отрезкам a и b. На лучах k и от О и О¢ точно так же откладываем отрезки ОС и OD и О¢С¢ и O¢D¢ равные соответственно данным отрезкам c и d (рис.22).

 

Рис. 22

 

Пусть АС ║ ВD. Требуется доказать, что А′С′ ║ В′D′.

Строим угол Ðh′k1, конгруэнтный Ðhk и на k1 откладываем отрезки О′С1 и О′D1 соответственно конгруэнтные с и d, а значит О′С′ и О′D′.

Тогда С1С′║D1D′ в силу рассмотренного выше случая.

Существует движение, отображающее Ðhk в угол Ðh′k1, которое отобразит

А →А′, В→В′ и С→С1 D→D1. Параллельность прямых при движении сохраняется. Поэтому в следствии того, что АС║ВD и А′С1║ В′D1. Треугольники А′С1С′ и В′D1D′ находятся в условиях теоремы Дезарга, а потому А′С′║В′D′.Что и требовалось доказать.

Итак, отношение пропорциональности пар (а, b) и (c, d) – внутреннее свойство самих пар. В этом смысле данное выше определение пропорциональности корректно.

Заметим, что отношение пропорциональности – отношение эквивалентности на множестве пар отрезков. Рефлексивность отношения в сущности доказана нами выше. Симметричность – следствие существования движения, отображающего Ðhk в угол Ðkh, транзитивность – следствие теоремы Дезарга (см. рис. 23). Здесь (а,b) пропорциональна (c,d), а (c,d) пропорциональна (m, n). В ∆АСМ и ∆BDN АС║ВD и CМ║DN. Отсюда AM║BN. Что и означает пропорциональность

(а, b) и (m, n).

 

 

Рис. 23

 

Введем для обозначения пропорциональности, как отношения эквивалентности, часто используемый в таком случае знак =, записывая при этом пару отрезков (а, b) в виде . Тогда запись представляет пропорциональность пар (а, b) и (c, d). Отметим теперь основные свойства пропорциональности пар отрезков.

Свойство 1. Если а @ b и с @ d, то .

Это свойство с очевидностью вытекает из определения, если мы признаем за параллельные прямые совпадающие прямые.

Свойство 2. Если , то любой из отрезков а, b, с, d может быть заменен ему конгруэнтным.

Свойство 3. Если и а @ b, то с @ d.

Отложив на сторонах углаÐhk соответствующим образом отрезки ОА, ОВ, ОС, ОD, мы получаем АС║BD. Так как точки А и В совпадают

(а @ b),то и прямые АС и BD совпадают. Поэтому совпадают и точки С и D, что и означает с @ d.

Свойство 4. Если , то .

В силу условия АС║BD для соответствующих отрезков ОА, ОВ и ОС, ОD.Отношение параллельности обладает свойством симметрии, поэтому BD║АС, т.е. пара отрезков ОВ, ОА пропорциональна паре ОD, ОС или .

 

Свойство 5. Если , то ( перемена местами средних членов пропорции).

 

 


Рис. 24

 

Смотрите рисунок 24. По условию АС║BD. Пусть ОС1@ с и ОВ1 @ b. Шестивершинник САВ1 ВDС1, как несложно видеть, находится в условиях теоремы Паппа: СА ║ BD по условию, С1С ║ В1В, т.к. ОС1 @ ОС и

ОВ1 @ ОВ.

Следовательно: АВ1║С1 D, что и означает: .

Свойство 6. Если и а @ с, то b @ d

Это свойство соответствует случаю, когда точки А и С, отвечающие отрезкам ОА и ОС, симметричны относительно прямой, содержащей биссектрису соответствующего угла Ðhk. В этом случае точки В и D, отвечающие отрезкам ОВ и ОD, так же симметричны, а потому ОВ@ОD,

т.е. b @ d.

Свойство 7. Если и , то .

Согласно свойству 5 из следует и а из следует .

По транзитивности , а отсюда по свойству 5 .

Свойство 8. Если , то .

Рис. 25

 

На сторонах угла Ðhk с вершиной О отложены отрезки ОА @ а,

ОВ @ b, (на стороне h). OC @ c и OD @ d (на стороне k) По условию АС║BD.

1. Через А проводим прямую параллельную k, через D – прямую, параллельную h. Точку пересечения этих прямых обозначим Р.

2. Через В проводим прямую, параллельную k, через С – прямую параллельную h. Точку пересечения этих прямых обозначим Q.

3. Докажем, что прямая РQ параллельна прямым АС и ВD. Точку пересечения BD и CQ обозначим L, а точку пересечения прямых АР и BD обозначим через М.

4. Рассмотрим треугольники ∆BLQ и ∆MDP. Нетрудно видеть, что они находятся в условиях теоремы Дезарга (в нашем ее представлении, эти треугольники находятся в условиях обратной теоремы), стороны треугольников попарно параллельны: BQ║AP, QL║PD и BL║MD.Значит, прямые соединяющие сходственные вершин В и М, L и D, Q и P принадлежат одному пучку. Но в этом пучке прямых ВМ, LD и QP, одна пара прямых – прямые параллельные, в нашем случае – это ВМ и LD (они совпадают). Следовательно, пучок прямых ВМ, LD и QP – пучок параллельных прямых, таким образом QP║BM, что то же самое QP║BD, а значит и QP║АС. Пусть QP пересекает h в точке А1, а k в точке С1.

5. Полученный выше результат означает, что пары отрезков (ОА1, ОА) и (ОС1,ОС) пропорциональны

6. Докажем, что ОА1 @ а + b, а ОС1 @ с + d.

а) CQ @ OB @ b из параллелограмма OBQC

b) CQ @ AA1 из параллелограмма ACQA1

Из а) и b) следует АА1@ b

Точно также, рассматривая параллелограммы OAPD и CAPС1, заключаем СС1 @ d.

Но ОА1@ОА+АА1, а ОС1=ОС+СС1, что и приводит нас к результату:

ОА1@ а + b и ОС1= с + d.

6. Теперь рассматриваем пары (ОА1, ОА) и (ОС1,ОС). Так как А1С1 это и есть прямая PQ, а PQ║АС, то пары (ОА1,ОА) и (ОС1,ОС) пропорциональны. Это и означает, что .

 

Замечание. 1.Если рассматривать числовые пропорции, представляющие равенства двух числовых отношений, то для числовых пропорций выполняются все те свойства, которые мы получили для пропорциональности пар отрезков. Таким образом, пропорциональность, как отношение на множестве пар элементов тех или иных множеств (множеств отрезков, множеств чисел) характеризуется перечисленными выше свойствами 1-8.

2. Традиционная теория пропорций, берущая свое начало в работе французского математика XVIII – XIX в.в. А.Лежандра «Элементы геометрии», базируется на понятии числовой пропорции, к которой мы переходим, заменяя отрезок его длиной. Как видим, базовые результаты этой теории (свойства пропорций) полностью совпадают с результатами приведенного выше геометрического построения пропорциональности отрезков.

3. Арифметическое определение пропорциональности отрезков в геометрии не может быть использовано непосредственно. Поэтому рассматривается теорема «о пропорциональных отрезках отложенных на сторонах угла». Эта теорема фактически заменяет арифметическое определение пропорций его геометрическим эквивалентом, каковым и является рассмотренное нами геометрическое определение пропорциональности.

4. При геометрическом определении пропорций обнаруживается фундаментальная роль теорем Паппа и Дезарга. Показав, что эти теоремы можно доказать, используя свойства группы движений, мы отчетливо увидим значение последних для евклидовой геометрии в целом.

Перейдем к доказательству теорем Паппа и Дезарга на основе свойств группы движений плоскости. Начнем с построения счисления симметрий, которое и позволит нам доказать указанные выше теоремы. Будем рассматривать отображения множества движений плоскости на себя, которые определим, используя алгебру движений плоскости.

Отображение D на себя определим функционально: всякому d из множества D ставим в соответствие d¢, которое определяется по формуле

d¢=d0 ◦d ◦ d-10, где d0 –некоторое фиксированное движение из D.

Нетрудно убедиться в том, что всякое такое отображение D ® D при фиксированном d0 есть взаимно однозначное отображение. Более того, это отображение сохраняет групповую структуру D, а потому является автоморфизмом этой группы.

Будем обозначать образ элемента d группы D при ее автоморфизме, определенном фиксированным d0, в степенном виде: т.е. .

Такое обозначение оправдывается следующими свойствами этих отображений:

1. = d2 ◦ (d1 ◦ d ◦ d1-1) ◦ d2-1= (d2 ◦ d1) ◦ d ◦ (d2 ◦ d1)-1 =

2. (d2 ◦ d1)d = d ◦ (d2 ◦ d1) ◦ d-1= (d ◦ d2 ◦ d-1) ◦ (d ◦ d1 ◦ d-1) = d2 d ◦ d1d

3. (d-1) = d1◦ d-1 ◦ d1-1 = (d1 ◦ d ◦ d1-1)-1 =

Пусть А - неподвижная точка d. d0 задает автоморфизм D и .

d0 (А) обозначим А0. Имеем: А0 А А А0, то есть

А0 А0. Иначе говоря, если для d есть инвариантная точка, то ее образ при d0 является инвариантной точкой для d¢. Верно и обратное: если

А0 – неподвижная точка для некоторого d¢, то ее прообраз А при движении d0, задающем автоморфизм D, есть неподвижная точка для движения d.

Отсюда следует, что количество неподвижных точек плоскости относительно d и d¢ одно и тоже, более того, если d представлено произведением осевых симметрий, то и d¢ оказывается представленным произведением такого же числа осевых симметрий как и d, причем оси этих симметрий расположены по тому же типу, что и оси симметрий в представлении d. Это позволяет заключить, что вид движения при автоморфизме D сохраняется. В частности, автоморфизм D переводит осевую симметрию sа в осевую симметрию , центральную симметрию sА в центральную симметрию , где а0 =d0 (а) и А0=d0(А).

Между множеством прямых плоскости и множеством ее осевых симметрий устанавливается взаимно однозначное соответствие sа «а, точно также и между множеством центральных симметрий плоскости и множеством точек плоскости – взаимно однозначное соответствие sА «А. Поэтому верны следующие соотношения:

1. d(А)=В тогда и только тогда, когда sАd =sВ;

2. d(а)= b тогда и только тогда, когда sаd = sb.

Соотношения 1. и 2. позволяют выразить некоторые основные отношения между точками и прямыми на языке алгебраических отношений между осевыми и центральными симметриями. Для удобства в дальнейшем обзоре счисления симметрий будем обозначать осевые и центральные симметрии так же, как обозначают прямые и точки, т.е. малыми и большими буквами латинского алфавита, например, а и А. Покажем примеры перевода некоторых отношений между точками и прямыми на язык алгебры центральных и осевых симметрий.

1. «Точка А принадлежит прямой а» эквивалентно любому из соотношений: а А = а, или Аа = А. Так как а А = а означает

А ◦ а ◦ А-1 = а, то получаем

А ◦ а = а ◦ А. Иначе говоря, «А принадлежит прямой а» на языке алгебры автоморфизмов D означает, что имеет место коммутативность для осевой и центральной симметрий, т.е. равенство А ◦ а = а ◦ А.

2. а^b эквивалентно а b = а или b a = b. Отсюда аb = bа при а ¹ b. Иначе говоря, коммутативность умножения осевых симметрий при различии их осей означает ортогональность соответствующих прямых.

3. Равенство В◦А=C◦D при различных А, В, С и D означает, что АВСD – параллелограмм. Иначе говоря, оно имеет место тогда и только тогда, когда АВСD – параллелограмм.

Итак, А,В,С,D – последовательные вершины параллелограмма, τ – параллельный перенос, отображающий А в B. Тогда D C. Из условия следует, что t ◦А◦t-1=В. Отсюда получаем А◦В= (t ◦ t)-1. Точно так же для точек D и С получаем D ◦ C=(t ◦ t)-1 . Оба равенства легко приводятся к виду В◦А= t◦t и С ◦D=t◦t. Отсюда В◦А= С ◦D.

Обратное доказывается в обратном порядке с опорой на тот факт, что для любых центральных симметрий А и В В ◦ А – параллельный перенос, а для всякого параллельного переноса t¢ найдется такой параллельный перенос t, что t¢=t ◦ t.

4. «Прямые а, b и с принадлежат одному пучку» тогда и только тогда, когда а ◦ b ◦ с = d (т.е. осевая симметрия).

5. «Точки А, В и С коллинеарны» эквивалентно (А ◦В ◦ С)2= 1.

Ограничившись этими примерами, перейдем к доказательству теоремы Паппа. Сначала рассмотрим три утверждения, играющие, как мы увидим, вспомогательную роль для доказательства этой теоремы, естественно их назвать по этой причине леммами.

Лемма 1: Если АВСD – параллелограмм и прямые а,b,с и d проходят

через вершины А, В, С и D этого параллелограмма, причем аbсd, то а ◦ b = d ◦ с.

Рис.26

 

По условию: А ◦ а = а ◦ А (1)

В ◦ b = b ◦ В (2)

С ◦ с = с ◦ С (3)

D ◦ d = d ◦ D (4)

 

Перемножим почленно равенства (1), (2), и (3).

А ◦ а ◦ В ◦ b ◦ C ◦ c = а ◦ А◦ b ◦ B ◦ c ◦ C (5)

Преобразуем в отдельности левую и правую части равенства (5), используя (2) и коммутативность умножения параллельных переносов:

А ◦ а ◦ В ◦ b ◦ C ◦ c = А ◦ (а ◦ b) ◦ (В ◦ C)◦ c = (А ◦ В ◦ C) ◦ (а ◦ b ◦ c). Точно так же получаем а ◦ А ◦ b ◦ В ◦ c ◦ C= (а ◦ b ◦ c) ◦ (А ◦ В ◦ C).

Из условия «А, В, С, D - вершины параллелограмма» получаем

А ◦ В = D ◦ C, а отсюда А ◦ В ◦ C =D.

Из параллельности а, b и с получаем а ◦ b ◦ c = d1

С учетом этих результатов равенство (5) предстает в виде D ◦ d 1 = d1 ◦ D. Это означает, что D Î d 1, иначе d 1 проходит через D, но d 1 принадлежит пучку прямых а, b и с, а потому d 1а, d 1b, d1c, а это означает и параллельность прямых d 1 и d. Так как d 1 и d проходят через одну точку D, то d 1 = d. Таким образом, а ◦ b ◦ c = d. Отсюда а ◦ b = d ◦ c.

Лемма 2. Если d11, d12 , d13 и d21, d22 ,d23 - движения плоскости, причем восемь из девяти возможных произведений вида d1id2j

(i, j = 1,2,3) являются осевыми симметриями, то и соответствующее девятое произведение – осевая симметрия.

Для удобства «осевая симметрия» в дальнейшем заменяется на «прямая». Представим все произведения d1id2j в таблице 1.

 

  d21 d22 d23
d11 d11 ◦ d21 d11◦ d22 d11 ◦ d23
d12 d12 ◦d21 d12 ◦d22 d12 ◦ d23
d13 d13 ◦d21 d13 ◦d22 d13 ◦d23

 

Таблица 1

 

Пусть все элементы на пересечениях строк и столбцов таблицы кроме d13 d23 являются прямыми. Тогда (d1id2j)-1= d1id2j для всех возможных значений i и j, кроме i = j = 3.

Запишем очевидные два ряда равенств

(d11 d21)-1 ◦ (d11d22) = (d12 d21)-1 ◦ (d12 d22) = (d13 d21)-1(d13 d22) (1) и (d11 d21)-1(d11d23) = (d12d21)-1(d12 d23) ( 2 )

Каждая скобка в равенствах (1) и (2) есть прямая. Каждое из равенств сводится к соотношению вида аbc = d. Это значит, что прямые, являющиеся «скобками» в равенстве (1), принадлежат одному пучку и точно так же для равенства (2). Эти два пучка имеют пару общих прямых (d11 d21)-1 и (d12 d21)-1, а потому совпадают. Итак, все прямые d1id2j, кроме d13 d23 - прямые, принадлежащие одному пучку.

(d13 d21)-1 ◦ (d13d23) = (d11 d21)-1 ◦ (d11 d23), отсюда

d13 d23= (d13 d21) ◦(d11 d21)-1 ◦ (d11d23).

В правой части имеем, произведение трех прямых одного пучка. Это означает, что d13 d23 прямая.

Лемма 3. Пусть прямая g пересекает стороны с 1 , с 2 и с 3 треугольника С1С2С3 в точках В1, В2 и В3 соответственно, причем через точки В1, В2, С1, С2 , С3 проведены параллельные между собой прямые b1, b2, а1, а2, а3 так, что при этом а1а 2= b 2b 1. Тогда прямая b 3, для которой b3 ◦ b2 = а2 ◦ а3 проходит через В3 (рис.27).

Рис. 27

 

Запишем условия теоремы на языке счисления симметрий:

1. а1 ◦ а2 = b2◦ b1, а2 ◦ а3 = b3 ◦ b2;

2. с1 ◦ а3 ◦ с2, с2 ◦ а1 ◦ с3, с3 ◦ а2 ◦ с1 – прямые,

3. с1 ◦ b1 ◦ g, с2 ◦ b2 ◦ g - прямые.

Обратимся к двум тройкам движений с1 ◦ b1, c2 ◦ b2, c3 ◦ b3 и

b1◦ a2 ◦ c3, b2 ◦ a3 ◦ c1, g. В силу равенств 1. b1 ◦ a2 = b2 ◦ a1 и b2 ◦ a3 = b3 ◦ a2 (меняем при этом в каждом равенстве порядок сомножителей).

Поэтому b1 ◦ a2 ◦ c3 = b2 ◦ a1 ◦ c3 и b2 ◦ a3 ◦ c1 = b3 ◦ a2 ◦ c1.

Составим таблицу произведений двух троек движений: с1◦ b1, c2 ◦ b2,

c3 ◦ b3 и b1 ◦ a2 ◦ c3, b2 ◦ a3 ◦ c1, g.

 

 

  b1 ◦ a2 ◦ c3 b2 ◦ a3 ◦ c1 g
с1◦ b1 c1 ◦a2 ◦ c3 (b1◦ b2 ◦ a3) c1 ◦ b1◦ g
c2 ◦ b2 c2 ◦ a1 ◦c3 c2 ◦ a3 ◦ c1 c2 ◦ b2 ◦ g
c3 ◦ b3 (b3◦ b2 ◦ a1) с3 ◦ a2 ◦ c1 c3 ◦ b3 ◦ g

 

Таблица 2

В силу условия 2. с1 ◦ а2 ◦ с3, с2 ◦ а1 ◦ с3, с2 ◦ а3 ◦ с2, с3 ◦ а2 ◦ с1 – прямые. По условию леммы а1, a2, a3, b1, b2, b3 – прямые, принадлежащие одному пучку. Поэтому b1 ◦ b2 ◦ a3 и b3 ◦ b2 ◦ a1 являются прямыми, а значит (b1 ◦ b2 ◦ a3) и (b3◦ b2 ◦ a1) – прямые. В таблице 2. содержатся еще две прямые c1 ◦ b1◦ g и c2 ◦ b2 ◦ g в силу условия 3. Таким образом, восемь движений из девяти, содержащихся в таблице 2 есть прямые. В силу леммы 2 девятое движение

c3 ◦ b3 ◦ g – прямая, а это значит, что прямые с3, g, b3 принадлежат одному пучку, который определяется прямыми c3 и g. Но c3 и g по условию имеют общую точку B3. Значит, b3 проходит через В3.

Теорема Паппа ( аффинный вариант): Если две тройки точек А1, А2, А3 и В1, В2, В3, являющихся попарно противоположными вершинами шестиугольника А1В3А2В1А3В2, принадлежат двум прямым и при этом А1В2 ║ А2В1 и А2В3 ║ А3В2, то и А1В3 ║ А3В1.

 

Рис.28

 

1. Обозначим прямые, на которых лежат А1, А2, А3 и В1, В2, В3 буквами q и g соответственно.

2. Через В2 проведем прямую с2 параллельно прямой q. Она пересекает А2В3 в точке С1, а прямую А2В1 в точке С3. Четырехугольники А1В2С3А2 и А2С1В2А3 – параллелограммы по условию теоремы и по построению прямой с2.

3. Через точки С1, С3 и А2 проводим прямые а1, а3 и а2 параллельно прямой А3В1, которую еще обозначим b1. Точно так же через В2 и А1 проводим прямые b2 и b3 параллельно b1, то есть А3В1.

4. По лемме 1 а1 ◦ а2 = b2 ◦ b1 и a2 ◦ a3 = b3 ◦ b2. Обозначив С1С3 через с2, С1А2 через с3 и А2С3 через с1, получаем: с1 ◦ а3 ◦ с2, с2 ◦ а1 ◦ с3, с3 ◦ а2 ◦ с1, с1 ◦ b1 ◦ g и c2 ◦ b2 ◦ g – прямые.

Таким образом, треугольник С1А2С3 и прямые g, a1, a2, а3, b1, b2, b3 находятся в условиях леммы 3. Следовательно, b3 проходит через В3, иначе говоря А1В3 и есть прямая b3, которая по построению параллельна А3B1.

Итак, А1В3 ║ А3В1.

Теорема Паппа предстала следствием наличия у группы D системы инволютивных образующих, каковыми в случае двумерного пространства являются осевые симметрии.

Теорема Дезарга, ее выше сформулированный аффинный вариант, является следствием теоремы Паппа. Доказательство этой теоремы в такой форме позаимствуем у Д.Гильберта (см. Д.Гильберт «Основания геометрии»). Для удобства формулировку теоремы повторим.

Теорема Дезарга (аффинный вариант): Если вершины двух треугольников АВС и А¢В¢С¢ попарно принадлежат трем пересекающимся в одной точке прямым а, b, c соответственно, то есть А и А¢ –прямой а, В и В¢ прямой b, С и С¢ – прямой с, и при этом АВ ║ А¢В¢ и АС ║ А¢С¢, то ВС ║ В¢С¢.

Используем рисунок 29.

Рис.29

 

Рассмотрим случай: стороны АС и А¢С¢, АВ и А¢В¢ непараллельны

прямым b, c соответственно.

1. Через А проводим прямую, параллельную b, которая пересекает А¢С¢ в точке L, а прямую с в точке М.

2. Прямые B¢L и АВ пересекаются в точке N.

3. Соединяем N c O и M.

4. К шестиугольнику ONALA¢B¢ применима теорема Паппа: NA║А¢В¢ (из АВ║А¢В¢) и AL║OB¢ (построение шага 1), а потому ON ║ A¢L, что тоже самое ON ║ A¢C¢.

5. Теперь применяя теорему Паппа к шестиугольникам ONMACB и ONMLC¢B¢ получаем MN║ CB для первого шестиугольника и MN║ C¢B¢ для второго шестиугольника. Отсюда по транзитивности отношения параллельности получаем CB ║ C¢B¢ или, что то же самое: ВС║ В¢С¢.

 

Общий вывод: Базовые для теории пропорций факты оказались следствиями свойства группы движений, состоящего в наличие у этой группы системы инволютивных образующих. Это значит, что группа D является базой теории подобия, составляющей большую часть геометрии Евклида.

Перейдем теперь к рассмотрению основ теории подобия в лице теории преобразований подобия.

 

Лекция 4

 

Преобразования подобия

Определение: Отображение множества всех точек пространства на себя, при котором произвольно взятые пары точек (А, В) и

(C, D) отображаются на такие пары (А¢, В¢) и (C¢, D¢), что (то есть пара отрезков (А¢В¢, АВ) пропорциональна паре отрезков (С¢D¢, CD), называется преобразованием подобия пространства.

 

Основное понятие, используемое в определении – «пропорциональность пар отрезков», поэтому следствия этого определения базируются, в первую очередь, на понятии о пропорциональности с точки зрения его основных свойств, а не самого определения пропорциональности. Это означает, что теория подобия не зависит от трактовки пропорциональности отрезков, а значит, в частности, и не является следствием понятия длины отрезка, как это представляется при сложившейся в педагогической практике традиции построения теории подобия. Мы можем использовать ту трактовку пропорциональности, которая представлена в нашей третьей лекции (чисто геометрическая), явно демонстрируя, с одной стороны, независимость теории подобия от понятия длины, а значит и от понятия числа, а с другой стороны, получая отчетливую картину связи теории подобия с группой движений плоскости ее свойствами, обнаруживая в явном виде фундаментальную роль движений пространства в евклидовой геометрии.

Рассмотрим основные свойства подобий пространства:

Свойство 1. Если точка В лежит между точками А и С, то В¢ лежит между точками А¢и С¢.

Так как В лежит между А и С, то АС @ АВ+ВС. С другой стороны, , а значит (в силу свойства 5 пропорций). Отсюда по свойству 8 пропорций . Заменяем первый член пропорции АВ+ВС на АС получаем (1). по условию. Отсюда в силу свойства 5пропорций (2). Сопоставляя (1) и (2), получаем пропорцию , которая согласно свойствам 4 и 5 ведет к А¢С¢ @ А¢В¢ + В¢С¢. Эта конгруэнтность, в свою очередь, означает, что В¢ лежит между А¢ и С¢.

 

Свойство 2. Если В не лежит между А и С, то В¢ не лежит между А¢ и С¢.

Доказательство проводится методом от противного с использованием свойств пропорции так же, как это было сделано при доказательстве предыдущего свойства. Советуем читателю проделать это самостоятельно в качестве упражнения.

Ряд следующих свойств представляют собой следствия первых двух, поэтому будем называть их следствиями.

Следствие 1: Подобное преобразование пространства является взаимно однозначным отображением множества точек пространства на себя.

Доказательство опирается на признак принадлежности трех точек одной прямой и свойство 1.

Следствие 2: Образом прямой является прямая.

Пусть речь идет об образе прямой а. Возьмем на ней две различные точки А и В и пусть А′ и В′ – их образы. Существует прямая А′В′, которую обозначим а′. Теперь предстоит доказать: 1. образ каждой точки прямой а есть точка прямой а′ и 2. каждая точка прямой а′ является образом точки прямой а.

Пусть М Î а и М → М′. Для точек А, М и В возможно одно из трех: М лежит между А и В, А лежит между М и В или В лежит между А и М. Для любого из этих случаев

М′ – точка, которая связана с А′ и В′ отношением «лежать между», апотому М′ Î а′.

Точно также доказывается и обратное.

Следствие 3: Образом плоскости является плоскость.

 

Пусть речь идет о образе плоскости a. В этом случае отмечаем в a три точки А, В и С общего положения. Пусть А′, В′, С′ - их образы. Обозначим плоскость, проходящую через них через a′. Докажем, что a′ - образ плоскости a. Для этого доказываем: 1. образ любой точки М плоскости a принадлежит a′ и 2. любая точка плоскости a′ является образом точки плоскости a. Для точек принадлежащих прямым АВ, АС и ВС, А′В′, А′С′ и В′С′ утверждения справедливы в силу следствия 2. Пусть М не принадлежит ни АВ, ни АС, ни ВС, а М′ – образ точки М (рис.30).

 

 

Рис. 30

 

Прямая МС пересекает одну из прямых АВ, ВС или АС. Для определенности положим, что N – точка пересечения АВ и МС. Так как А′В′ образ прямой АВ, то N′ принадлежит А′В′. Так как М′С′ – образ прямой МС, то N′ принадлежит М′С′. Таким образом, N′ общая точка прямых А′В′ и М′С′. Точки N′и С′ принадлежат a′, значит М′ принадлежит a. Первое утверждение доказано, образ любой точки a есть точка a′.

Второе утверждение доказывается точно так же.

 

Следствие 4: Образом отрезка является отрезок.

Следствие 5: Образом луча является луч.

Следствие 6: Образом полуплоскости с граничной прямой а является полуплоскость с граничной прямой а¢.

Следствие 7: Образом полупространства с граничной плоскостью a является полупространство с граничной плоскость a′.

Эти следствия доказываются аналогично предыдущим с использованием отношений: «лежать между» для точек, «лежать по одну сторону от прямой», «лежать по одну сторону от


Поделиться с друзьями:

Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...

Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...

Организация стока поверхностных вод: Наибольшее количество влаги на земном шаре испаряется с поверхности морей и океанов (88‰)...

Эмиссия газов от очистных сооружений канализации: В последние годы внимание мирового сообщества сосредоточено на экологических проблемах...



© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!

0.015 с.