Расчёт погрешностей косвенных измерений

Пусть известны две независимо измеренных физических величины и с погрешностями и соответственно. Тогда справедливы следующие правила:

1. Абсолютная погрешность суммы (разности) есть сумма абсолютных погрешностей. То есть, если

то

Более разумная (учитывающая то, что величины и независимы и маловероятно, что их истинные значения одновременно окажутся на краях диапазонов) оценка получается по формуле:

На всех школьных олимпиадах допускается применение любой из этих двух формул. Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) слагаемых.

Таким образом, в результате сложения двух величин сначала вычисляется абсолютная погрешность величины, а после этого может быть вычислена относительная погрешность.

Пример:

Пусть величина , ,

Тогда

 

.

2. Относительная погрешность произведения (частного) есть сумма относительных погрешностей.

То есть, если

то

Как и в предыдущем случае, более разумной будет формула

Аналогичные формулы справедливы для случая нескольких (более двух) множителей.

Таким образом, в результате сложения двух величин сначала вычисляется абсолютная погрешность величины, а после этого может быть вычислена относительная погрешность.

Пример:

Пусть величина , ,

Тогда

3. Правило для возведения в степень. Если , то .

Пример:

Пусть

Тогда

4. Правило умножения на константу. Если .

Пример:

Пусть

Тогда

5. Более сложные функции величин разбиваются на более простые вычисления, погрешности которых можно рассчитать по формулам представленным выше.

Пример:

Пусть

Тогда

6. Если расчётная формула сложна и не сводиться к описанным выше случаем, то, школьники знакомые с понятием частной производной могут найти погрешность косвенного измерения следующим образом: пусть , тогда

или более простой оценкой:

Пример:

Пусть

Тогда

7. Школьники, не знакомые с производными, могут пользоваться методом границ, который состоит в следующем: пусть нам известно, что и для каждой величины диапазон в котором лежит её истинное значение. Рассчитаем минимальное и максимальное возможное значение величины на области задания величин :

За абсолютную погрешность величины возьмём полуразность максимального и минимального значения:

Пример:

Пусть

Тогда

Правила округления

При обработке результатов измерений часто приходится производить округление. При этом нужно следить, чтобы ошибка, возникающая при округлении, была хотя бы на порядок меньше остальных погрешностей. Однако оставлять слишком много значащих цифр [1]тоже неправильно, поскольку влечёт за собой потерю драгоценного времени. В большинстве случаев бывает достаточно погрешность округлить до двух значащих цифр, а результат до того же порядка, что и погрешность. При записи же конечного ответа принято оставлять в погрешности только одну значащую цифру, за исключением случая, когда эта цифра единица, тогда нужно оставить две значащих цифры в погрешности. Также часто порядок числа выносится за скобку, таким образом, чтобы первая значащая цифра числа осталась либо в порядке единиц, либо в порядке десятых.

Например, пусть были проведены измерения модуля Юнга стали и Алюминия и были получены следующие значения (до округления):

, , , .

Правильно записанный конечный ответ тогда будет иметь вид:

Построение графиков

Во многих задачах, предлагаемых на физических олимпиадах школьников, требуется снять зависимость одной физической величины от другой, а затем проанализировать эту зависимость (сравнить экспериментальную зависимость с теоретической, определить неизвестные параметры теоретической зависимости). График является наиболее удобным и наглядным способом представления данных и их дальнейшего анализа. Поэтому в критериях оценивания большинства экспериментальных задач присутствуют баллы за график, даже если построение графика не требуется явно в условии. Таким образом, если при решении задачи Вы сомневаетесь нужно ли в данной задаче построение графика или нет — сделайте выбор в пользу графика.

Правила построения графика

1. График строится на миллиметровой бумаге. Если на экспериментальном туре олимпиады миллиметровая бумага не была предоставлена сразу, нужно попросить её у организаторов.

2. График нужно подписать в верхней части, чтобы всегда можно было установить, какой участник строил этот график. В работе следует указать, что был построен соответствующий график, на случай если график будет потерян во время проверки.

3. Ориентация миллиметровой бумаги может быть как альбомная, так и книжная.

4. На графике обязательно должны присутствовать координатные оси. Вертикальная ось проводится в левой части графика, а горизонтальная ось в нижней части.

5. Вертикальная ось должна соответствовать значениям функции, а горизонтальная – значениям аргумента.

6. Оси на графике рисуются с отступом 1-2см от края миллиметровой бумаги.

7. Каждая ось должна быть подписана, то есть должна быть указана физическая величина, отложенная вдоль этой оси, и (через запятую) единица её измерения. Записи вида «», «» и «» эквивалентны, но первые два варианта предпочтительнее. Горизонтальная ось подписывается слева у верхнего конца, а вертикальная снизу у правого конца.

8. Оси не обязательно должны пересекаться в точке (0,0).

9. Масштаб графика и положение начала отсчёта на координатных осях выбираются так, чтобы наносимые точки располагались по возможности на всей площади листа. При этом нули координатных осей могут вообще не попадать на график.

10. Линии, проведённые на миллиметровой бумаге через сантиметр, должны попадать на круглые значения величин. С графиком удобно работать, если 1 см на миллиметровой бумаги соответствуют 1, 2, 4, 5 *10ⁿ единиц измерения по данной оси. Часть делений на оси нужно подписать. Подписанные деления должны находится на равном расстоянии друг от друга. Подписанных делений на оси должно быть не менее 4х и не более 10ти.

11. Точки на график нужно наносить так, чтобы они были чётко и ясно видны. Для того чтобы показать, что величина наносимая на график имеет погрешность, из каждой точки проводятся отрезки вверх и вниз, вправо и влево. Длина горизонтальных отрезков соответствует погрешности величины, отложенной по горизонтальной оси, длина вертикальных отрезков — погрешности величины, отложенной по вертикальной. Таким образом, обозначаются области определения экспериментальной точки, называемые крестами ошибок. Кресты ошибок обязательны к нанесению на графике, за исключением случаев: в условии задачи дано непосредственное указание не оценивать погрешности, погрешность составляет меньше 1 мм в масштабе соответствующей оси. В последнем случае необходимо указать, что погрешность значений слишком мала для нанесения по этой оси. В таких случаях считается, что размер точки соответствует ошибке измерения.

12. Стремитесь к тому, чтобы ваш график был удобен, понятен и аккуратен. Стройте его карандашом, чтобы можно было исправить ошибки. Не подписывайте рядом с точкой соответствующее ей значение — это загромождает график. Если на одном графике показано сразу несколько зависимостей, используйте разные символы или цвета для точек. Для определения, какой тип экспериментальных точек, какой зависимости соответствует, используйте легенду графика[2]. На графике допускаются зачёркивания (если подвёл ластик или под рукой не оказалось хорошего карандаша), но делать их нужно аккуратно. Не стоит использовать штрих-корректор — это выглядит некрасиво.

Примечание: все вышеперечисленные правила происходят исключительно из соображений удобства работы с графиком. Однако, при проверке работ на олимпиадах жюри пользуются этими правилами как формальными критериями: плохо выбран масштаб — минус полбалла. Поэтому на олимпиаде следует неукоснительно придерживаться этих правил.

Пример:

Справа приведен график, построенный не по критериям, а слева, построенный по указанным выше правилам.