Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Топ:
Оснащения врачебно-сестринской бригады.
Теоретическая значимость работы: Описание теоретической значимости (ценности) результатов исследования должно присутствовать во введении...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Принципы управления денежными потоками: одним из методов контроля за состоянием денежной наличности является...
Дисциплины:
2017-10-11 | 857 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
В общем случае задача Коши решения в аналитическом виде не имеет, поэтому ее решают численными методами, простейшим из которых является метод Эйлера.
Для этого зададимся на оси 0x достаточно малыми шагами . Будем рассматривать решение в точках с координатами (рис. 4.2):
, , . (4.3)
Введем обозначения:
; (4.4)
Из начального условия нам известно значение функции в точке : . Для определения значения в точке запишем следующее равенство:
(4.5)
Для проверки подставляем значение интеграла .
Рис. 4.2. Схема разбиения.
Далее, воспользуемся уравнением (4.1) и заменим под знаком интеграла на :
(4.6)
Поскольку значение подынтегральной функции на интервале нам известно только в точке , воспользуемся численным интегрированием по формуле левых прямоугольников:
(4.7)
Таким образом, приближенное значение можно получить по формуле
Аналогично можно получить приближенные значения:
и т.д.
Пользуясь таким алгоритмом, последовательно получим решение для любого количества точек разбиения. Вышеизложенный подход для решения задачи Коши называется методом Эйлера. Общий вид метода Эйлера:
– задано
(4.8)
Заметим, что в сложных практических случаях для решения применяются различные модифицированные алгоритмы, связанные с уточнением шага разбиения на каждом шаге пересчета. Среди такого рода модификаций наиболее употребляемыми являются методы типа Рунге-Кутта, излагаемые в соответствующей специализированной литературе. Приведем простейший вариант уточнения метода Эйлера.
Пусть значение , вычисленное по формуле (4.8) будет неокончательным (промежуточным). Обозначим его , т.е.
(4.9)
Тогда для определения значения интеграла
|
нам на интервале интегрирования известны значения подынтегральной функции в двух точках: и . Поэтому можно воспользоваться формулой трапеции, которая на порядок точнее формулы левых прямоугольников:
(4.10)
Таким образом, общий вид уточненного алгоритма метода Эйлера имеет вид
(4.11)
Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) n-го порядка
Математическая формулировка задачи
(4.12)
– начальные условия (4.13)
Сведение задачи Коши для ОДУ n-го порядка к задаче Коши для системы n ОДУ 1-го порядка
Введем (n-1) дополнительные неизвестные функции по правилу:
, , …, (4.14)
Тогда вместо уравнения (4.12) получим систему ОДУ 1-го порядка:
, (4.15)
Соответственно, начальные условия приводятся к виду
– начальные условия (4.16)
Вариант метода Эйлера решения задачи Коши для системы ОДУ 1-го порядка.
Наиболее простым и естественным для численного решения задачи Коши (4.15)-(4.16) представляется следующий алгоритм метода Эйлера:
– для первого уравнения использовать интегрирование по формуле левых прямоугольников (без уточнения),
– для остальных – по формуле трапеции, т.е.:
– задано (начальные условия)
(4.17)
Задача об изгибе консоли (задача Коши)
Задание.
Рассмотрим задачу об изгибе консоли, жестко закрепленной с левого края (рис. 4.3).
Определить прогиб консоли (решить задачу Коши)
(Л4.1)
методом Эйлера.
Рис. 4.3. К задаче об изгибе консоли.
Варианты задания.
– изгибающие моменты в балке (рис. 4.3);
– жесткость балки; – числовой параметр,
– длина балки; – номер группы, – номер студента по журналу.
Принять для расчета на ЭВМ число точек .
Предварительные построения.
Сводим основное уравнение исходной задачи второго порядка к системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:
(Л4.2)
где .
|
|
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Биохимия спиртового брожения: Основу технологии получения пива составляет спиртовое брожение, - при котором сахар превращается...
Состав сооружений: решетки и песколовки: Решетки – это первое устройство в схеме очистных сооружений. Они представляют...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!