Аппарат полного проецирования

 

Выше было указано, что бы обеспечить взаимно-однозначное соответ­ствие между фигурами Ф пространства и их двумерными изображениями необходимо чтобы аппарат проецирования имел несколько плоскостей проецирования.

Рассмотрим аппарат полного проецирования (метод трех изображений). Для этого введём три плоскости проекций (рис. 14):

 

 

Рис. 14

π₁ – горизонтальная плоскость проекций;

π₂ – фронтальная плоскость проекций;

π₃ – профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π₁^π₂^ π ₃), а их линии пересечения образуют оси:

– пересечение плоскостей π₁ иπ₂образуют ось 0 Х (π₁ ∩π₂ = 0 Х);

– пересечение плоскостей π₁ иπ₃образуют ось 0 Y (π₁ ∩π₃ = 0 Y);

– пересечение плоскостей π₂ иπ₃образуют ось 0 Z (π₂ ∩π₃ = 0 Z).

Точка пересечения осей считается точкой начала отсчета (точка 0).

Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.

Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 14 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I октанте.

Проецирование ортогональное с центрами проецирования S ₁, S ₂ и S ₃ соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоско­стей проекций.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S ₁, S ₂ и S ₃ выходят проецирующие лучи l ₁, l ₂ и l ₃. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А ₁ – горизонтальная проекция точки А;

– А ₂ – фронтальная проекция точки А;

– А ₃ – профильная проекция точки А.

Точка в пространстве характеризуется своими координатами A (x, y, z). Точки A_x, A_y и A_z соответственно на осях 0 X, 0 Y и 0 Z показывают координаты x, y и z точки А. На рис. 14 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.

 

Эпюр точки

Чтобы получить чертёж точки А (рис. 15), в аппарате проецирования (рис. 14) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А ₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0 Х, до совмещения её с плоскостью π ₂. Затем плоскость π ₃ с проекцией точки А ₃, вращают против часовой стрелки вокруг оси 0 Z, до совмещения её с плоскостью π ₂. Направление поворотов плоскостей π ₂ и π ₃ показано на рис. 13 стрелками. Полученный таким образом чертёж называется эпюром. При этом прямые А ₁ А_х и А ₂ А_х станут располагаться на общем к оси 0 Х перпендикуляре А ₁ А ₂, а прямые А ₂ А_х и А ₃ А_х станут располагаться на общем к оси 0 Z перпендикуляре А ₂ А ₃. Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.

Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.

На практике построение эпюра точки А (x_A, y_A, z_A) осуществляется по числен­ным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последовательности (рис. 15). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.

1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А ₁ на эпюре.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А ₂ на эпюре.

 

Рис. 15

6. Через точку А ₂ параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А_z.

7. На горизонтальной линии связи от точки А_z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение профильной проекции точки А ₃ на эпюре.

 

Характеристика точек

Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.

Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирова­ния, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерные признаки точек частного положения приведены в табл. 1 и на рис. 16–19.

Таблица 1

Математические признаки точек частного положения

Точка принадлежит	Численные значения координат точки
x	y	z
плоскости π1	≠0	≠0	=0
плоскости π2	≠0	=0	≠0
плоскости π3	=0	≠0	≠0
оси 0 X	≠0	=0	=0
оси 0 Y	=0	≠0	=0
оси 0 Z	=0	=0	≠0
точки 0	=0	=0	=0
центру S 1	≠0	≠0	∞
центру S 2	≠0	∞	≠0
центру S 3	∞	≠0	≠0

 

На рис. 16 приведены характерные признаки принадлежности точек плоскостям проекций на эпюре Монжа: точка А Ì π₁ (рис 16 а); точка В Ì π₂(рис 16 б); точка С Ìπ₃ (рис 16 в). Такими признаками являются принад­леж­ность двух проекций точки осям.

 

Рис. 16

На рис. 17 приведены характерные признаки принадлежности точек осям на эпюре Монжа: точка А Ì0 X (рис 17 а); точка В Ì 0 Y (рис 17 б); точка С Ì0 Z (рис 17 в). Такими признаками являются принадлежность двух тож­дественно совпадающих проекций точки осям эпюра.

На рис 18 на эпюре Монжа показан характерный признак точки А принадлежащей началу координат, т.е. все три проекции точки тождественно совпадают и принадлежат началу координат.

На рис. 19 приведены характерные признаки принадлежности точек центрам проецирования на эпюре Монжа: точка А Ì S ₁ (рис 19 а); точка В Ì S ₂(рис 19 б); точка С Ì S ₃ (рис 19 в). Такими признаками являются принадлежность двух проекций точки проекциям центров проецирования.

 

Рис. 17

Рис. 18

 

 

Рис. 19

Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка на рис. 13.

В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскостиπ₃; координата y от плоскости π₂; координата z от плоскости π₁. Следует отметить, что знаки при численных значениях указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится (табл. 2).

Расположение проекций точки, относительно осей, на эпюре зависит от того в каком октане она находится (рис. 20).

 

Рис. 20

Таблица 2

Определение номера октана от знаков координат

Номер октана	Знак при координате
x	y	z
I	+	+	+
II	+	-	+
III	+	-	-
IV	+	+	-
V	-	+	+
VI	-	-	+
VII	-	-	-
VIII	-	+	-

 

На рис. 20 показано расположение проекций относительно осей для точки: А находящейся в I октане; В находящейся во II октане; C находящейся в III октане; D находящейся в IV октане; E находящейся в V октане; G находящейся в VI октане; K находящейся в VII октане; L находящейся в VIII октане.

 

Метод двух изображений

Аппарат проецирования для метода двух изображений. На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 20). Кроме того, на оси 0 Х назначается начало отсчета (точка 0) и из него перпендикулярно оси 0 Х в плоскостях проекций π₁иπ₂ проводят оси 0 Y и 0 Z соответственно.

 

Рис. 20

В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 20 они обозначены римскими цыфрами.

Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I квадранте.

Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А.

Из центров проецирования S ₁ и S ₂ выходят проецирующие лучи l ₁ и l ₂. Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:

– А ₁ – горизонтальная проекция точки А;

– А ₂ – фронтальная проекция точки А.

Эпюр точки методом двух изображений. Чтобы получить эпюр точки А (рис. 21), в аппарате проецирования (рис. 20) плоскость π₁ с полученной проекцией точки А ₁ вращают по часовой стрелке вокруг оси 0 Х, до совмещения её с плоскостью π₂. Направление поворота плоскости π ₁ показана на рис. 20 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А ₁ А ₂.

Рис. 21

На практике построение эпюра точки А (x_A, y_A, z_A) осуществляется по чис­ленным значениям ее координат x_A, y_A и z_A в следующей последовательности (рис. 21).

1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0).

2. На оси OX откладывается численное значение координаты x_A точки А и получают положение точки А_х.

3. Через точку А_х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.

4. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y_A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А ₁ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положи­тельные значения располагаются ниже оси OX, а отрицательные выше.

5. На вертикальной линии связи от точки А_х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z_A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А ₂ на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX, а отрицательные ниже.

Характеристика точек в методе двух изображений. Характерные призна­ки точек частного положения на эпюре Монжа (рис. 22):

Рис. 22 Рис. 23

– точки, принадлежащие плоскостям проекций – одна из проекций точки принадлежит оси 0 Х (А Ì π₁, В Ì π₂);

– точки, принадлежащие оси 0 Х – оби проекции точки тождественно совпадают и принадлежат ось (С Ì0 Х);

– точки, принадлежащие центрам проецирования – одна из проекций точки располагается в бесконечности от оси 0 Х (D Ì S ₁, E Ì S ₂).

Расположение проекций точек общего положения на эпюре Монжа в зависимости от квадранта в котором они находятся приведены на рис. 23: точка А находящейся в I квадранте; В находящейся во II квадранте; C находящейся в III квадранте; D находящейся в IV квадранте.

 

Конкурирующие точки

Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конку­рирующих точек на эпюре является совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости их проекций относительно наблю­дателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.

На пространственной модели проецирования (рис. 24) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S ₁→ А → В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В. И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π₁ (т.е. z_A > z_A).

 

Рис. 24 Рис.25

Если видима сама точка A, то видима и её проекция A ₁. По отношению к совпадающей с ней проекцией B ₁. Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.

Уберем на модели точки А и В. Останутся их совпадающие проекции на плоскости π₁ и раздельные проекции – на π₂. Условно оставим и фронталь­ную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S ₁. Тогда по цепочке изображений ⇩ → A ₂ → B ₂ можно будет судить о том, что z_A > z_B и что видима и сама точка А и её проекция А ₁.

Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π₂. Поскольку общий проецирующий луч этих точек l ₂параллелен оси 0 Y, то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y_C > y_D. Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D ₂ будет закрыта проекцией точки С ₂ на плоскости π ₂.

Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 25).

Судя по совпадающим проекциям А ₁≡ В ₁ сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0 Z. Значит сравнению подлежат координаты z_A и z_B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z_A > z_B. Из этого следует, что видима проекция А ₁.

Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 25) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0 Y. Поэтому из сравнения y_C > y_D делаем вывод, что видима проекция С₂.

Общее правило. Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.

Задача определения видимости конкурирующих точек имеет большое практическое значение. Поскольку окончательная обводка чертежа геометрической фигуры производится с учетом видимости её элементов.

 

1.10. Контрольные вопросы

1. Что изучает начертательная геометрия?

2. Какие задачи решает начертательная геометрия?

3. Что называется чертежом?

4. Какие специальные символы существуют для обозначения параллель­ности, перпендикулярности, пересечения, скрещивания? Какие обозначения вы знаете, кроме этих?

5. Основные элементы аппарата проецирования.

6. Виды проецирования.

7. В чем сущность центрального проецирования?

8. В чем сущность параллельного проецирования?

9. Чем отличается ортогональное проецирование от косоугольного?

10. Как проецируются точка и линия?

11. В чем заключается сущность инвариантов «Точка пересечения двух линий», «Принадлежность» и «Параллельность переноса объекта»?

12. Как называются плоскости проекций π₁,π₂и π₃?

13. Как образуются оси 0 Х, 0 Y и 0 Z?

14. Как получается проекции точи в аппарате проецирования?

15. Зачем нужны центры проецирования S₁, S₂ и S₃?

16. Как осуществляется переход от аппарата проецирования к плоскому чертежу?

17. Чем отличается эпюр от аппарата проецирования?

18. Алгоритм построения точки на эпюре Монжа.

19. Какие точки относятся к точкам общего положения?

20. Какие точки относятся к точкам частного положения?

21. Характерные признаки точек частного положения на эпюре Монжа.

22. Что характеризуют численные значения координат х, y и z точки?

23. В чем заключается сущность метода двух изображений и чем он отличается от метода трех изображений?

24. Характерные признаки точек общего и частного положений на эпюре при использовании метода двух изображений?

25. Какие точки называются конкурирующими и в чем заключается их конкуренция?

26. Характерный признак конкурирующих точек на эпюре и порядок определения видимости их проекций.