Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим...
Автоматическое растормаживание колес: Тормозные устройства колес предназначены для уменьшения длины пробега и улучшения маневрирования ВС при...
Топ:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Методика измерений сопротивления растеканию тока анодного заземления: Анодный заземлитель (анод) – проводник, погруженный в электролитическую среду (грунт, раствор электролита) и подключенный к положительному...
Марксистская теория происхождения государства: По мнению Маркса и Энгельса, в основе развития общества, происходящих в нем изменений лежит...
Интересное:
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Мероприятия для защиты от морозного пучения грунтов: Инженерная защита от морозного (криогенного) пучения грунтов необходима для легких малоэтажных зданий и других сооружений...
Влияние предпринимательской среды на эффективное функционирование предприятия: Предпринимательская среда – это совокупность внешних и внутренних факторов, оказывающих влияние на функционирование фирмы...
Дисциплины:
2017-10-11 | 4163 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Многогранник — тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников, называемых гранями многогранника. Стороны и вершины этих многоугольников называются соответственно рёбрами и вершинами многогранника.По числу граней различают 4-гранники, 5-гранники и т.д. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани,называется диагональю многогранника.
История открытия многогранника уходит корнями в древние времена. Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне [13].
Многогранник является пространственной фигурой (пространственным телом).Наглядно тело надо представлять себе как часть пространства, занятую физическим телом и ограниченную поверхностью. Многогранники изучаются в разделе стереометрия. Раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства пространственных фигур. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять [19].
Примерами многогранников являются:
Куб — многогранник, поверхность которого состоит из шести квадратов.У куба (правильный гексаэдр) все грани – квадраты; в каждой вершине сходится по три ребра. Куб представляет собой прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.Частный случай параллелепипеда и призмы. Куб имеет 12 ребер, 6 граней, 8 вершин [3].
Параллелепипед — многогранник, поверхность которого состоит из шести параллелограммов.Грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин, называются противолежащими. У параллелепипеда противолежащие грани параллельны и равны. Диагональю параллелепипеда, как и многогранника, вообще, называется отрезок, соединяющий вершины параллелепипеда, не лежащие в одной его грани [3].
|
Прямоугольный параллелепипед — параллелепипед, у которого грани— прямоугольники.Длины рёбер прямоугольного параллелепипеда, выходящих из одной вершины, называются его измерениями или линейными размерами. У прямоугольного параллелепипеда три измерения [3].
Прямой параллелепипед — это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники [3].
Наклонный параллелепипед — это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям [3].
Призма — многогранник, поверхность которого состоит из двух равных многоугольников, называемых основаниями призмы, и параллелограммов, имеющих общие стороны с каждым из оснований.Многоугольники, называются основаниями призмы, а отрезки, соединяющие их соответствующие вершины – боковыми рёбрами призмы.Основания призмы равны и лежат в параллельных плоскостях. Боковые рёбра призмы равны и параллельны. Поверхность призмы состоит из двух оснований и боковой поверхности.Боковая поверхность любой призмы состоит из параллелограммов, у каждого из которых две стороны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми рёбрами.Высотой призмы называется любой из перпендикуляров, проведённых из точки одного основания к плоскости другого основания призмы [3].
Прямая призма — называется, если её рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В противном случае призма называется наклонной.Боковыми гранями являются прямоугольники.Боковое ребро прямой призмы является её высотой [3].
Правильная призма — прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники [3].
Пирамида — многогранник, поверхность которого состоит из многоугольника, называемого основанием пирамиды, и треугольников, имеющих общую вершину. Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань – треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной – сторона основания пирамиды. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведённый из вершины пирамиды к плоскости основания.Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром[3].
|
Правильная пирамида — пирамида, в основании которой правильный многоугольник и все боковые рёбра которой равны [16]. Осью правильной пирамиды называется прямая, содержащая ее высоту.Боковые грани правильной пирамиды – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины к стороне основания, называется апофемой [3].
Тела Платона - многогранник, все грани которого представляют собой правильные и равные многоугольники, называют правильными. Углы при вершинах такого многогранника равны между собой.
Существует пять типов правильных многогранников. Эти многогранники и их свойства были описаны более двух тысяч лет назад древнегреческим философом Платоном, чем и объясняется их общее название.
Каждому правильному многограннику соответствует другой правильный многогранник с числом граней, равным числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково[3]. К ним относятся:
Тетраэдр(огонь) - правильный четырехгранник. Он ограничен четырьмя равносторонними треугольниками (это - правильная треугольная пирамида).У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер.
У правильного тетраэдра грани – правильные треугольники; в каждой вершине сходится по три ребра.Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников [3].
Октаэдр(воздух) - правильный восьмигранник. Он состоит из восьми равносторонних и равных между собой треугольников, соединенных по четыре у каждой вершины.У октаэдра грани – правильные треугольники, но в отличие от тетраэдра в каждой его вершине сходится по четыре ребра.Правильный октаэдр двойственен кубу. Он является полным усечением тетраэдра. Правильный октаэдр является квадратной двойственной пирамидой в любом из трёх ортогональных направлений. Он также является треугольной антипризмой в любом из четырёх направлений.Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр [3].
|
Гексаэдр(земля) - правильный шестигранник. Это куб, состоящий из шести равных квадратов [3].
Додекаэдр - правильный двенадцатигранник, состоит из двенадцати правильных и равных пятиугольников, соединенных по три около каждой вершины. Додекаэдр имеет 12 граней (пятиугольных), 30 рёбер и 20 вершин (в каждой сходятся 3 ребра) [3].
Икосаэдр(вода) - состоит из 20 равносторонних и равных треугольников, соединенных по пять около каждой вершины. Число ребер равно 30, число вершин — 12. Икосаэдр имеет 59 звёздчатых форм [3].
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые. Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторонуот плоскости каждой его грани. Тетраэдр, параллелепипед и октаэдр — выпуклые многогранники.Ясно, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. Легко можно доказать, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 360° [1, с. 60].
Для выпуклого многогранника верна теорема Эйлера В + Г − Р = 2, где В — количество вершин многогранника, Г — количество граней, Р — количество рёбер[1, с. 60].
Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Призма, пирамида и усеченная пирамида – частные случаи призматоида. Все боковые грани призматоида являются треугольниками или четырехугольниками, причем четырехугольные грани – это трапеции или параллелограммы[22].
Так же многогранник делится на правильный и не правильный. Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны. Правильные многогранники известны с древнейших времён.В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками.Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал[3]. Существует и полуправильные многогранники — в общем случае это различные выпуклые многогранники, которые, не являясь правильными, имеют некоторые их признаки, например: все грани равны, или все грани являются правильными многоугольниками, или имеются определённые пространственные симметрии. Определение может варьироваться и включать различные типы многогранников, но в первую очередь сюда относятся, архимедовы тела.
|
Звёздчатый многогранник ( звёздчатое тело) — это невыпуклый многогранник, грани которого пересекаются между собой. Как и у не звёздчатых многогранников, грани попарно соединяются в рёбрах (при этом внутренние линии пересечения не считаются рёбрами).Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам [3].
Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые (конгруэнтные) правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников (Платоновых тел), данные многогранники не являются выпуклыми телами [3].
В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо [2].
Полуправильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются правильные или звёздчатые многоугольники, но не обязательно одинаковые. При этом строение всех вершин должно быть одинаковым (условие однородности). Г. Коксетер, М. Лонге-Хиггинс и Дж. Миллер в 1954 году перечислили 53 таких тела и выдвинули гипотезу о полноте своего списка. Только значительно позже в 1969 году Сопову С. П. удалось доказать, что представленный ими список многогранников действительно полон [3].
Многие формы звёздчатых многогранников подсказывает сама природа. Например, снежинки — это плоские проекции звёздчатых многогранников. Некоторые молекулы имеют правильные структуры объёмных фигур.
Свойства многогранников:
Свойство 1. В выпуклом многограннике все грани являются выпуклыми многоугольниками.
Свойство 2. Выпуклый многогранник может быть составлен из пирамид с общей вершиной, основания которых образуют поверхность многогранника.
Свойство 3. Выпуклый многогранник лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.
Свойство 4. В любом выпуклом многограннике найдется грань с числом ребер меньшим или равным пяти [13].
|
Не все перечисленные виды многогранников изучаются и применяются в начальной школе. Чаще всего ученики на уроках математики знакомятся с кубом, многоугольником, пирамидой, цилиндром, параллелепипедом. Примером авторов учебников являются ИстоминаА.И. 3 класс, Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н., Бука Т.Б. 3 класс, Демидова Т.Е., Козлова С.А., Тонких А.П. 3 класс; так же начинают, знакомятся во 2 классе это пример учебников Дорофеев Г.В., Миракова Т.Н. 2 класс.
Таким образом, рассмотрели понятия многогранника и его свойства. Перечислили виды многогранника. Ознакомились с историей открытия многогранника. Установили, что многогранники имеют большое значение в природе и для человека. Так, например, многогранники применяются в конструировании.
|
|
Типы сооружений для обработки осадков: Септиками называются сооружения, в которых одновременно происходят осветление сточной жидкости...
История развития хранилищ для нефти: Первые склады нефти появились в XVII веке. Они представляли собой землянные ямы-амбара глубиной 4…5 м...
Историки об Елизавете Петровне: Елизавета попала между двумя встречными культурными течениями, воспитывалась среди новых европейских веяний и преданий...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!