Основы теории и условия подобия

Общие сведения

Как отмечено выше, физические процессы, изучаемые горной наукой, отличаются, как правило, большой сложностью и описываются системой дифференциальных уравнений и условиями однозначности (граничными условиями) с большим количеством переменных. Попытка аналитического решения таких задач наталкивается на серьезные трудности. В связи с этим, при решении практических задач большое значение приобретает экспериментальный путь исследований. С помощью эксперимента для определенных значений аргументов можно получить числовые значения искомых переменных и затем подобрать уравнения, описывающие результаты опытов. Однако, при изучении таких сложных процессов, как горные, не всегда легко проводить и экспериментальные исследования.

Для исследования влияния на процесс какой-либо одной величины остальные нужно сохранять неизменными, что не всегда возможно или затруднительно из-за большого количества переменных. Кроме этого, при этом нужно быть уверенным, что результаты, получаемые с помощью какой-либо установки (модели), можно перенести и на другие аналогичные процессы (образцы). Эти трудности дает возможность разрешить теория подобия.

С помощью аппарата теории подобия ряд размерных физических величин можно объединить в безразмерные комплексы, причем число их меньше числа исходных величин, из которых составлены эти комплексы. Полученные с помощью приемов теории подобия новые безразмерные комплексы можно рассматривать как новые переменные.

При введении в уравнения исследуемого процесса безразмерных комплексов число величин под знаком исходной функции сокращается, что упрощает исследование физического процесса. Следует отметить, что новые безразмерные переменные отражают влияние не только отдельных факторов, но и их совокупности, что позволяет легче определить связи в исследуемом процессе.

 

Условия подобия

Теория подобия дает возможность устанавливать такие условия, при которых результаты экспериментальных исследований в лабораторных условиях можно перенести на другие явления, подобные рассматриваемому явлению. Ввиду этого она является, прежде всего, теоретической базой эксперимента, в то же время – важным подспорьем для теоретических исследований. Хотя методами подобия вид исходной функции не может быть определен, эта теория облегчает в ряде случаев анализ изучаемого процесса и описание полученных результатов.

Условиями подобия являются: геометрическое подобие, подобия физических полей и физических явлений.

Геометрическое подобие соблюдается, если два тела, размещенные одно в другом, в результате равномерной деформации полностью совпадают.

Физическое поле характеризуется стационарностью (не зависит от времени) или нестационарностью (зависит от времени) процесса.

Подобие физических полей – подобие стационарных и нестационарных процессов.

Подобие физических явлений – механическое, гидромеханическое, тепловое подобие и др.

В частности, при рассмотрении механического процесса (при решении задач механики горных пород) условием механического подобия является: геометрическое (масштаб), кинематическое (время), динамическое (масса).

 

Геометрическое подобие

Рассмотрим геометрическое подобие. Пусть имеются два тела 1 и 2 с центрами тяжести О ₁ и О ₂ (рис. 2.1. а, б). Если поместить тело 2 внутри тела 1 так, чтобы центры тяжести их совпали, а затем тело 1 деформировать и вращать до тех пор пока, в результате равномерной деформации тела 1 все точки контура или границы обоих тел совпадут, то такие тела подобны. Такое расположение тел 1 и 2 называется сходственным расположением. Одновременные координатные оси О ₁ х ₁ и О ₂ х ₂; О ₁ у ₁и О ₂ у ₂, О ₁ z ₁ и О ₂ z ₂ также совпадут между собой, и

будут называться сходственными.

 

Рис. 2.1. Определение геометрического подобия:

а – тело; б – тело; в – совмещение тел 1 и 2

Нетрудно видеть, что при подобных телах 1 и 2 для любой точки в теле 1 может быть найдена сходственная точка в теле 2.

Проведем в телах 1 и 2 через две произвольные точки М ₁ N ₁ отрезок l ₁, М ₂ N ₂ – l ₂. Следовательно, отрезки l ₁ и l ₂ в результате равномерной деформации совпадут (рис. 2.1. в), т.е. l ₁ и l ₂ – сходственные линейные размеры, или сходственные параметры подобных тел. Очевидно, что в подобных телах сходственные криволинейные отрезки, а также замкнутые кривые могут быть совмещены в результате равномерной деформации. Примерами сходственных размеров могут явиться диаметры d ₁ и d ₂, высоты h ₁ и h ₂ двух подобных цилиндров и т.д.

Так как при равномерной деформации все размеры тела изменяются в одинаковое число раз, то для двух подобных тел должно выполняться соотношение

,

(2.1)

 

где	х 1, у 1, z 1	–	координаты тела 1;
		–	параметры тела 1;
	х 2, у 2, z 2	–	координаты тела 2 (сходственные);
		–	сходственные параметры тела 2;
	Сl	–	множитель подобия, показывающий во сколько раз нужно изменить размеры одного тела, чтобы оба тела совпали.

При моделировании физических процессов большие удобства дает переход на безразмерные зависимости между параметрами.

Выразив все члены равенства (2.1) через один из сходственных членов, например, через параметр , и обозначив

(2.2)

получим

(2.3)

 

откуда

и т.д. (2.4)

 

При этом X, У, Z являются безразмерными величинами, выраженными в долях сходственных параметров и , которые выбраны произвольно в качестве единиц измерения или масштаба длин.

Таким образом, равенства (2.3) и (2.4) выражают весьма существенное свойство геометрически подобных систем: если в качестве масштабов для измерения длин выбрать сходственные параметры подобных систем, то у них (систем) безразмерные координаты сходственных точек, а также безразмерные сходственные параметры соответственно равны.

Соотношения, полученные из выражения (2.2)

 

(2.5)

 

называются масштабными преобразованиями, причем .

Пользуясь изложенными сведениями о геометрическом подобии, можно доказать основное свойство геометрически подобных систем: если в качестве масштабов выбрать сходственные параметры, то уравнения, описывающие подобные геометрические системы, после приведения их (с помощью масштабных преобразований) к безразмерному виду станут тождественно одинаковы.

Выше были рассмотрены подобные системы. Однако возможны случаи, когда совмещение двух геометрических систем может быть осуществлено только путем неравномерной деформации (неодинаковой для всех направлений). Такие системы называют аффинными.

Две системы аффинны, если для каждой точки А ₁ системы 1 с координатами x ₁, y ₁, z ₁ может быть найдена точка А ₂ с координатами x ₂, y ₂, z ₂, чтобы удовлетворялись соотношения:

 

(2.6)

 

где l, m, n – параметры;

C_х, C_у, C_z – множители аффинности.

Точки А ₁ и А ₂ являются сходственными точками аффинных систем, или аффинно-сходственными точками. Параметры l ₁ и l ₂ , m ₁ и m ₂, n ₁ и n ₂ являются сходственными точками аффинных систем или аффинно-сходственными параметрами. Параметры называются соответственными оси х;

и соответственными осями у и z.

Для аффинных систем справедливо следующее положение: если отношения сходных масштабов координатных осей х _0,1 и х _0,2 ; у _0,1 и у _0,2; z _0,1 и z _0,2 равны отношениям соответственным этим осям сходственных параметров, т.е.:

(2.7)

 

то функции или уравнения, которые описывают аффинные системы, после приведения с помощью аффинно-масштабных преобразований к безразмерному виду становятся тождественно одинаковыми.

Докажем это положение. Для этого возьмем две аффинные системы, описывающие в общем случае следующими уравнениями

 

(2.8)

 

Координаты и параметры уравнения (2.8) удовлетворяют равенствам (2.6).

Для приведения уравнений (8) к безразмерному виду введем аффинно-масштабные преобразования:

 

(2.9)

 

(2.10)

 

Масштабы координатных осей x _0,1 и x _0,2; y _0,1 и y _0,2; z _0,1 и z _0,2 в уравнениях (2.9) и (2.10) удовлетворяют равенствам (2.7).

Подставив масштабные преобразования (2.9) и (2.10) в равенство (2.6), получим

(2.11)

 

Как видно из соотношений (2.11), безразмерные координаты аффинно-сходственных точек и аффинно-сходственные безразмерные параметры аффинных систем соответственно равны.

Существенное отличие этого вывода от аналогичного вывода, полученного для подобных систем, заключается в том, что все безразмерные коэффициенты и параметры систем выражены в долях одного и того же масштаба. Безразмерные же координаты и соответственные им параметры аффинных систем выражены в долях различных масштабов.

Подставляя преобразования (2.9) и (2.10) в уравнение (2.8) получим

 

(2.12)

 

Из (2.11) следует, что

 

(2.13)

 

(2.14)

 

Учитывая, что равенства (2.13) сохраняют свою силу для любой пары сходственных точек (т.е. при любых Х, У, Z), то функции F ₁ и F ₂ тождественно равны

 

что и требовалось доказать.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Два подобных эллипсоида, у которых начало координат взято в

центре, а направления координатных осей и главных осей эллипсоида совпадают, описываются уравнениями.

 

и , (а)

 

где – главные оси эллипсоида.

Так как эллипсоиды подобны, то в сходственных точках должно быть

 

. (б)

 

Составим безразмерные уравнения эллипсоидов. Для этого примем за масштабы главные полуоси а ₁ и а ₂. Тогда масштабные преобразования

 

(в)

 

Вводя масштабные преобразования в уравнения эллипсоидов (а), получим

 

и (г)

 

Из условий (в) имеем

 

 

Из условия (б) следует

 

и т.д.,

то

и т.д.

или

и т.д.

 

Следовательно, уравнения эллипсоидов можно записать в виде одного безразмерного уравнения

причем А ₁= А ₂ = 1.

Пример 2. Те же эллипсоиды, если их безразмерные полуоси не равны
при при при , но для подобных эллипсоидов имеет место равенство отношений одноименных полуосей

 

,

а для аффинных

.

 

Покажем, что совмещение аффинных эллипсоидов возможно осуществить путем неравномерной деформации.

Введем аффинные масштабные преобразования, в которых масштабы в разных направлениях различны.

 

 

Подставив их в уравнения эллипсоидов, получим

 

и .

 

Для того чтобы эти уравнения были тождественны, необходимо соблюдение условий

А ₁= А ₂; В ₁= В ₂; С ₁= С ₂; Х ₁= Х ₂ и т.д.

или

и т.д.,

откуда получим

(а)

 

Тогда имеем одно уравнение эллипсоида в безразмерном виде

. (б)

 

Следовательно, с помощью аффинных масштабных преобразований, удовлетворяющих условию (а), уравнения эллипсоидов сведены к единому безразмерному уравнению (б), которое является тождественно одинаковым для всех подобных эллипсоидов.

Следует иметь ввиду, что масштабные преобразования являются частным случаем аффинно-масштабных преобразований, когда масштабы различных осей равны друг другу, т.е. . В соответствии со сказанным можно представить, что уравнение

 

 

где F – функция определенного вида при одинаковых масштабах координатных осей, т.е. при х ₀= у ₀= z ₀ описывает целый класс геометрических подобных систем. Если в двух системах имеет место неравенство хотя бы двух из одноименных безразмерных параметров (например, (), то такие системы будут не подобными, а аффинными.

Приведенные выше свойства подобных и аффинных геометрических систем будут использованы в дальнейшем при рассмотрении подобия физических полей, которые являются формальным аналогом геометрической аффинности.

 

Подобие физических полей

Подобие стационарных полей. Стационарным полем любой физической величины j называется совокупность значений этой величины во всех точках изучаемого пространства или объема. Стационарное поле не изменяется во времени. Обычно математическая формулировка определяется уравнением

 

j = f (x,y,z) (2.15)

Однако такой прием аналитического описания поля физической переменной j является не совсем правильным. Действительно, под значением j понимают любую физическую переменную (температуру, скорость, плотность, концентрацию и т.д.) Согласно правилу Фурье размерность правой части должна соответствовать размерности левой. Поэтому под знак функции f кроме координат x,y,z должны быть введены еще некоторые физические параметры с различными размерностями, с тем, чтобы размерности правой и левой части уравнения (22) были одинаковы. Кроме физических параметров под знак функции следует ввести геометрические параметры .

 

(2.16)

 

Допустим, что имеется две геометрически подобные системы, у которых поля физических переменных j₁ иj₂ имеют одинаковую размерность, т.е.

 

(2.17)

 

где – сходственные геометрические параметры подобных систем;

– соответственно, физические одноименные параметры (имеют одинаковую размерность).

Пусть j₁ иj₂ разделяются в своих системах так, что любой паре сходственных точек, т.е. при равенстве отношений

 

, (2.18)

 

имеет место равенство отношений

, (2.19)

 

При этом в общем случае .

Такие физические поля называются подобными стационарными. В подобных физических полях для сходственных одноименных физических параметров имеют место равенства

 

(2.20)

 

причем, в общем случае .

Таким образом, подобные стационарные физические поля с формально-геометрической точки зрения являются аффинными, т.к. их совмещение может быть осуществлено путем неравномерной деформации, т.е. если в качестве масштабов выбрать сходственные величины (геометрические, физические), то в сходственных точках подобных стационарных полей безразмерные координаты и безразмерные физические переменные соответственно равны.

Действительно, введя в равенство (2.18) и (2.19) масштабные преобразования

 

(2.21)

(2.22)

 

получим после сокращения на и

(2.23)

 

или (2.24)

 

Дополним преобразования (2.21) и (2.22) преобразованиями физических параметров

ý (2.25)

 

где – масштабы физических параметров ,… и сходственные масштабы одноименных физических параметров ,…

Докажем равенство сходственных безразмерных параметров.

Введя масштабные преобразования (2.25) в выражение (2.20)

 

(2.26)

 

Но из выражения (2.20)

 

, т.е.

 

или , что и требовалось доказать.

Подобие нестационарных полей. Нестационарным полем любой физической переменной y называется совокупность мгновенных их значений этой переменной во всех точках изучаемого пространства или объема. Значения переменной y изменяется во времени. Математически эта формулировка описывается уравнением

 

y = f (x, y, z, t), (2.27)

 

где t – время.

Исходя из предыдущих рассуждений о равенстве левой и правой части уравнения (34), запишем

 

. (2.28)

 

Допустим, в двух геометрических подобных системах поля имеют одинаковую размерность и заданы уравнениями

 

, (2.29)

 

где t ₁, t ₂ – сходственные моменты времени.

Два промежутка времени t ₁ и t ₂ называются сходственными, если они имеют общее начало отсчета и связаны преобразованием подобия вида

 

. (2.30)

 

Нестационарные поля y₁ и y₂ – подобны, если в каждой паре сходственных точек, т.е. при равенствах

,

и в сходственные моменты времени, т.е. при равенствах отрезков времени для первой и второй систем

(2.31)

 

будет иметь место равенство

 

. (2.32)

 

В общем случае множители подобия .

Следовательно, нестационарные физические поля также являются аффинными системами, и совмещение этих полей может быть достигнуто при неравномерной деформации. Таким образом, нестационарные физические поля обладают теми же свойствами, что и аффинные системы.

Так же как и для стационарного поля, в данном случае с помощью масштабных преобразований можно доказать, что у подобных нестационарных физических полей безразмерные одноименные координаты сходственных точек и безразмерные сходственные моменты времени равны, т.е.

 

. (2.33)

 

(2.34)

 

то (2.35)

 

При этом в общем случае .

В качестве простейшего примера рассмотрим скоростное поле течения жидкости в трубе при ламинарном режиме течения. Из гидродинамики известно, что это поле описывается уравнением

, (а)

 

где	w	–	скорость в любой точке, находящейся на расстоянии r от оси трубы;
	wос	–	скорость на оси трубы;
	b	–	радиус трубы.

Допустим, имеем две трубы различных диаметров, тогда уравнения скоростных полей для них можно записать в виде

 

(б)

 

. (в)

 

Для приведения уравнений (б) и (в) к безразмерному виду введем масштабные преобразования

 

. (г)

 

Из этих соотношений

 

.

 

Введя масштабные преобразования (г) в уравнения (б) и (в), получим

 

; (д)

. (е)

Нетрудно видеть, что при R ₁ = R ₂ или , т.е. в геометрически сходственных точках, должны быть W ₁ = W ₂ или

 

 

Следовательно, поля скоростей в обеих трубах подобны.

Подобие физических явлений

Понятия подобия может быть распространено на любые физические процессы. Можно говорить, например, о подобии движения тел или потоков жидкости; о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения; о подобии температур и тепловых потоков и т.д. Однако, чтобы использовать понятие подобия, необходимо знать условия подобия рассматриваемых явлений.

1. Понятие подобия физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются одинаковыми уравнениями, как по форме, так и по содержанию. Если же аналитические описания двух каких то явлений одинаковы по форме, но различны по физическому содержанию, то такие явления называются аналогичными. Такая аналогия существует, например, между явлениями теплопроводности и диффузии.

2. Обязательной предпосылкой подобия физических явлений должно быть геометрическое подобие, т.е. подобные явления протекают в геометрически подобных системах.

3. При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины (имеющие один и тот же смысл и одинаковую размерность) и лишь в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени, т.е. отвечающие условиям

 

 

4. Подобие двух физических явлений означает подобие всех физических величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это означает, что любая физическая переменная первого явления в сходственных точках пространства и в сходственные моменты времени пропорциональна однородной с ней величине второго явления, т.е.

 

(температура);

(скорость);

(давление).

 

При этом в общем случае .

Большинство физических процессов, подлежащих изучению при разработке полезных ископаемых и при строительстве подземных сооружений, описывается условиями подобия, которые могут быть разделены на три группы: условия механического (силового) подобия, гидромеханического подобия и теплового подобия.

Условия механического подобия. Из второго закона механики Ньютона для двух явлений имеет место

 

P 1 = m 1 a 1; P 2 = m 2 a 2.

(2.36)

Приведем эти уравнения с помощью масштабных преобразований к безразмерному виду. После подстановки

 

р 1 = р 1,0 Р 1; р 2 = р 2,0 Р 2; m 1 = m 1.0 M 1; m 2 = m 2.0 M 2; a 1 = a 1.0 A 1; a 2 = a 2.0 A 2,

(2.37)

 

и соответствующих преобразований получим

 

(2.38)

 

Очевидно, уравнения (2.38) будут тождественно одинаковыми в том случае, если коэффициенты в скобках будут равны между собой

 

или (2.39)

Откуда

С _р = С_тС_а (2.40)

 

Если массу выразить через объем и плотность, а ускорение через линейные размеры и время, то получим

 

(2.41)

 

 

или (2.42)

Следовательно, для обеспечения условий механического подобия должно соблюдаться уравнение связей (2.42) между множителями подобия.

Условие гидромеханического подобия (случай несжимаемой вязкой жидкости).

Предполагаем, что процессы движения жидкости происходят в геометрически подобных системах, т.е. должно соблюдаться условие (2.1).

Законы, описывающие движение жидкости.

Уравнение сплошности для двух систем

 

(2.43)

 

Соответственно, уравнения движения жидкости, в частности в направлении х

(2.44)

 

где	vx, vy, vz	–	проекции скорости на оси;
	r	–	плотность жидкости;
	gx	–	проекции ускорения силы тяжести на оси;
	р	–	удельное давление жидкости;
	m	–	коэффициент вязкости жидкости.

Учитывая большую громоздкость формул, приведение их к безразмерному виду сделаем иначе, не прибегая к масштабным преобразованиям. Так как устанавливаются условия, обеспечивающие подобие процессов, то допустим, что процессы, протекающие в двух системах, подобны, и для этого определим, какие требования должны быть выполнены. Для подобных систем должно быть справедливо

 

(2.45)

 

На основании этого все переменные второй системы могут быть выражены через переменные первой, а именно

 

и т.д. (2.46)

 

Подставив (2.46) в (2.43) и (2.44) получим для второй системы

 

; (2.47)

. (2.48)

 

Очевидно, уравнения (2.43) и (2.44) будут подобны в том случае, если коэффициенты, состоящие из множителей подобия, могут быть сокращены и для этого они должны представлять собой:

из уравнения (2.47) следует

 

, (2.49)

 

а из уравнения (2.48):

(2.50)

 

Таким образом, получены уравнения связи между множителями подобия. Следовательно, произвольно выбирать масштабы моделирования отдельных параметров нельзя, т.к. они связаны между собой зависимостями (2.49) и (2.30).

Рассматривая члены соотношения (2.50) попарно, имеем

 

	(2.51)
	(2.52)
	(2.53)
	(2.54)

 

Условия (2.51)-(2.54) можно представить в виде критериев подобия. Для этого подставим вместо констант подобия их значения из уравнений (2.45) и сгруппировав все величины по индексам, получим

 

= Н ₀ (критерий гомохронности) (2.55)

 

= F _r (критерий Фруда) (2.56)

 

= Е _u (критерий Эйлера) (2.57)

 

= R _e (критерий Рейнольдса) (2.58)

Следовательно, чтобы получить гидромеханическое подобие систем, необходимо для любых сходственных точек иметь одни и те же значения подобия Н ₀, F _r, Е _u, R _e.

Одновременное соблюдение условий (2.55)-(2.58) встречает на практике большие затруднения или просто невозможно. В связи с этим при моделировании стремятся выполнить условия наиболее существенных, определяющих критериев подобия, которые устанавливаются в зависимости от типа изученной задачи и целей исследования. Так, при исследовании движения воды в пористых средах при очень малых числах Рейнольдса, т.е. в области линейной зависимости осредненной фильтрации от градиента давления, критерии Рейнольдса и Фруда не определяют движения, и при моделировании фильтрации должны быть выполнены иные специфические условия подобия. Опытами по моделированию интерференции скважин при водонапорном режиме установлено, что в области линейного закона фильтрации для однородной жидкости осуществляется потенциальное течение. Это обосновывает возможность широкого применения в конкретных гидромеханических расчетах при проектировании разработки нефтяных месторождений электрических аналогий (метод ЭГДА).

Приближенное подобие при моделировании физических процессов применяют также в случаях, если известны не все определяющие параметры изучаемого процесса или среди определяющих параметров имеются такие, влияние на процесс которых наиболее значительно по сравнению с другими, а также, если при наличии переменных параметров или анизотропии невозможно обеспечить условия подобия.

В указанных случаях моделирования используют те параметры, которые известны, или исключают из рассмотрения параметры, влияние которых незначительно. Степень приближения в каждом конкретном случае моделирования устанавливают на основании результатов исследований модели.

При решении конкретных задач к дифференциальным уравнениям (2.43), (2.44) и критериям подобия (2.55)-(2.58) необходимо присовокупить частные особенности, характеризующие свойство среды, ее форму и размеры, особенности протекания процесса на ее границах и т.д., которые однозначно выделяют рассматриваемый процесс из целого класса однородных процессов.

Условие теплового подобия. Тепловое подобие процессов означает подобие температурных полей и тепловых потоков в геометрически и гидромеханически подобных системах.

Пусть имеем две подобные между собой системы, тепловые процессы в которых описываются следующими уравнениями.

 

;

(2.59)

 

.

(2.60)

 

Уравнение теплообмена (из законов Ньютона и Фурье)

 

(2.61)

 

, (2.62)

 

где		–	нормальная производная к оси х
	t	–	температура тела (жидкости);
	vx, v y v z	–	проекции скорости на оси x, y, z;
	а	–	коэффициент температуропроводности;
	α	–	коэффициент теплоотдачи;
	λ	–	коэффициент теплопроводности.

 

Допустим, что системы подобны, т.е.

 

. (2.63)

 

Заменяя переменные второй системы (2.60) и (2.62) через переменные первой, получим

 

(2.64)

 

(2.65)

 

Из условия тождественности уравнения (2.59), (2.60) и (2.64), (2.65) имеем

 

(2.66)

Откуда

; (2.67)

 

; (2.68)

 

(2.69)

Подставив вместо констант подобия их значения из (2.63), получим критерии подобия

 

= F ₀ (критерий Фурье) (2.70)

 

= Р _е (критерий Пекле) (2.71)

 

= N _u (критерий Нуссельта) (2.72)

 

Таким образом, чтобы обеспечить тепловое подобие двух или нескольких систем, необходимо, чтобы в сходственных точках критерии подобия F ₀, Р _е, N _u имели одни и те же значения. Здесь также необходимо отметить, что одновременное выполнения условий гидромеханического и теплового подобия невозможно. Поэтому в каждой конкретной задаче при моделировании должны соблюдаться только основные определяющие критерии подобия.

 

ОСНОВЫ ТЕОРИИ РАЗМЕРНОСТЕЙ

Основные понятия теории размерностей

Необходимой предпосылкой теории подобия является математическое опис