Де 2. Аналитическая геометрия.

ДЕ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

ПРИМЕРЫ.

Вычисление определителей.

1. Определитель равен …(45= - разложение по 1-му столбцу.

2. Корень уравнения равен …(-3)

3. Корень уравнения равен … (– 1)

4. Определитель равен … (Общий множитель можно выносить их строки (столбца) определителя из каждой строки вынесли общий множитель 2).

5. Разложение определителя по строке может иметь вид …

6. Определитель равен …(-22)

7. Корень уравнения равен …(-1).

8. Определитель равен …(91)

Матрицы.

1. Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …(15 -5 5)

2. Умножение матрицы A на матрицу B возможно, если эти матрицы имеют вид …

			и
			и
			и
			и

3. Матрица , где и . Тогда элемент равен … 10.

4. Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …

5. Матрица , где и . Тогда элемент равен …(11).

6. Матрица имеет размерность 3×2, матрица – 3 ×4 и матрица С – 2×4. Тогда существует произведение матриц … (А ×С).

7. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен … (сумме произведений соответственных элементов i -й строки матрицы и j -го столбца матрицы ).

8. Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …

Системы линейных уравнений.

1. Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений заключается … (в последовательном исключении переменных)

2. Система не имеет решений, если равно …(-2)

3. Для невырожденной квадратной матрицы решение системы в матричной форме имеет вид … .

4. Однородная система имеет только одно нулевое решение, если принимает значения не равные …(2, при этом значении определитель не равен 0, т.е. система имеет одно, т.е. нулевое решение).

5. Единственное решение имеет однородная система линейных уравнений …

Определители остальных систем равны нулю (имеют пропорциональные строки или столбцы).

6. Фундаментальное решение может быть вычислено для системы вида …(только для однородной)

7. Система совместна и неопределенна, если равно …(1)

8. Решение системы линейных уравнений методом Крамера может иметь вид …

9. Базисное решение системы может иметь вид …

 

ДЕ 2. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

ПРИМЕРЫ.

Прямоугольные координаты на плоскости.

1. В треугольнике с вершинами , и проведена биссектриса . Тогда координаты точки равны … x= -7/3, y = 1.
2. Даны вершины треугольника , и . Тогда координаты точки пересечения медиан треугольника равны …(1;1) - точка пересечения, например, медиана АК и СМ, К(-3/2; 5/2), М(3;1).

3. Даны точки и . Тогда координаты точки , симметричной точке относительно точки , равны … (-7;4)(A – середина отрезка ВС ⟹ -3=(х_С+1)/2, 1=(у_С-2)/2)

4. Расстояние между точками и равно 2 при , равном …(1)

5. Точка симметрична точке относительно биссектрисы первого координатного угла. Тогда точка имеет координаты … (бисектриса 1-го координатного угла у=х).

6. Точки , и лежат на одной прямой. Тогда точка делит отрезок в отношении … (λ=|AB|:|BC|)

7. В треугольнике с вершинами , и проведена медиана , длина которой равна …(4=|AM|, M(4; -1))

8. Даны три вершины параллелограмма: , , . Тогда четвертая вершина , противолежащая вершине , имеет координаты …(-3;-1)

Прямая на плоскости.

1. Уравнение геометрического места точек, равноудаленных от двух данных точек и , имеет вид … (проходит через средину ВС и перепендикулярна вектору ВС=(4;2)).

2. Прямая линия проходит через точки и . Тогда она пересекает ось в точке … (уравнение прямой через 2 точки)

3. Площадь треугольника, образованного пересечением прямой с осями координат, равна …(54) (уравнение прямой в отрезках: х/9+у/12=1, отрезки, отсекаемые на осях: 9 и 12).

4. Прямые и …перпендикулярны (их нормальные векторы (4; -5) ⊥(5;4)).

5. Прямая отсекает на оси отрезок и имеет угловой коэффициент 2/3. Тогда ее уравнение имеет вид … (у=кх+b, k=2/3).

6. Прямые и пересекаются в точке, лежащей на оси абсцисс. Тогда эта точка имеет координаты …(2;0)

7. Прямая задана в параметрическом виде . Тогда ее общее уравнение имеет вид …

Кривые 2-го порядка.

1. Фокусы эллипса имеют координаты и , а его эксцентриситет равен 0,6. Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид …

2. Вершина параболы имеет координаты … (выделение полного квадрата по x: (x-1)²=2(y-7))

3. Радиус окружности равен … (2) (выделение полного квадрата по х и по у)

4. Уравнение директрисы параболы, проходящей через точки , и симметричной относительно оси , имеет вид …

Решение:
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало координат и симметричной относительно оси имеет вид: , а уравнение директрисы: . Параметр находится из условия, что точка принадлежит параболе, то есть , . Тогда уравнение директрисы параболы примет вид: .

5. Соотношение в прямоугольной декартовой системе координат задает …(параболу)

6. Центр окружности имеет координаты …

7. Расстояние между фокусами гиперболы равно …(10)

8. Асимптоты гиперболы задаются уравнениями … y=3x/2 и y= - 3x/2.

Плоскость в пространстве.

1. Плоскость проходит через точку и отсекает на осях абсцисс и ординат в положительных направлениях отрезки длины 3 и 5 соответственно. Тогда общее уравнение плоскости имеет вид … (можно просто подставить координаты точки в данные уравнения).

2. Общее уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно прямой , имеет вид … (из уравнения прямой нормальный вектор плоскости (2,3,-1)).

3. Плоскость, проходящая через точки и параллельно оси , задается уравнением … (z –в уравнении отсутствует, координаты точек удовлетворяют уравнению)

3. Геометрическое место точек, удаленных от плоскости на 2 единицы, может иметь вид …

4. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и , имеет вид … (нормальный вектор плоскости – векторное произведение векторов а и b, а координаты точки удовлетворяют уравнению)

5. Общее уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости , имеет вид … (можно подставить координаты точки в данные уравнения)

6. Уравнение плоскости, проходящей через точки , и , имеет вид …

7. Плоскости и перпендикулярны при значении , равном … m=4.

ПРИМЕРЫ

1. Непрерывность функции. Точки разрыва.

1. Точка является точкой разрыва функции … (для остальных функций х=2 не входит в область определения)

2. Для функции точка является точкой …(разрыва 2-го рода, т.к. предел 1/(2х-5) в точке 2,5 равен ± ∞, 3^+∞⇾∞).

3. Количество точек разрыва функции равно …(4: f(x) не существует при х²-4 =0 (х= ±2) и при 1/(х²-4)=1).

4. Для функции точка является точкой … (разрыва 1-го рода, т.к. предел 2/(х+3) в точке х=-3 равен ± ∞, 4^+∞⇾∞, а f(x)⇾0, 4^-∞⇾0, а f(x)⇾-5).

5. Количество точек разрыва функции равно …(3), знаменатель не существует при х=0, х=-1 и х=-2, при этом точка х=-1 –устранимая т. разрыва.)

6. Точка разрыва функции равна …

7. Количество точек разрыва функции равно …(2)

Точка разрыва функции равна …(2)

ДЕ 4. Векторный анализ.

ПРИМЕРЫ

ДЕ 5. Функциональный анализ

ПРИМЕРЫ

1. Мера плоского множества

1. Мера плоского множества равна …(4)

2. Мера плоского множества , где А = и равна …()

3. Плоская мера отрезка [0; 1], лежащего на оси в плоскости равна …(0)

4. Мера плоского множества, изображенного на рисунке, равна …()

5. Мера плоского множества, изображенного на рисунке,
равна …()

6. Мера плоского множества равна …(4,5)

7. Плоская мера множества равна …(0)

8. Мера плоского множества равна …

Элементы теории множеств

1. Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …(3)

2. Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …(1)

3. Даны множества: , . Тогда число целых чисел, принадлежащих их объединению равно …(9)

4. Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …(2)

5. Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …(1)

6. Даны два множества: и . Тогда количество целых значений , принадлежащих разности множеств \ , равно …(4)

7. Даны множества: и . Тогда число элементов, принадлежащих их пересечению равно (3: π, 2π, 3π)

8. Даны три множества: , и . Тогда число элементов множества равно …(5)

Отображения множеств

1. Прообразом множества при отображении является …

2. Прообразом множества при отображении является …

3. Биективное (взаимно однозначное!) отображение отрезка на отрезок может быть задано функцией …

4. Отображение, действующее из отрезка на действительную числовую ось и имеющее обратное отображение, может быть задано функцией …

5. Отображение действует по правилу: Тогда имеет вид …

6. Обратимым на является отображение …

7. Образом отрезка при отображении является отрезок …

8. Пусть задано отображение . Тогда имеет вид …

ДЕ 6. Комплексный анализ.

ПРИМЕРЫ

ДЕ 7. Гармонический анализ

ПРИМЕРЫ

Периодические функции

1. Период функции равен …

2. Наименьший положительный период функции равен …

3. Наименьший положительный период функции равен …

4. Период функции равен …

5. Основной период функции равен … .

 

6. Период функции равен …

7. Основной период функции равен …()

Гармонические колебания

1. Точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону . Тогда период колебаний равен …(4)

2. Точка совершает гармонические колебания вдоль оси по закону: . Тогда начальная фаза колебаний равна …

3. Максимальное значение скорости точки, совершающей гармонические колебания, с амплитудой , и угловой частотой , равно …

4. Гармонические колебания с частотой 0,5 амплитудой колебания и начальной фазой, равной нулю, описывается уравнением …

5. Модуль скорости точки, совершающей гармонические колебания, с амплитудой , угловой частотой и начальной фазой , в момент времени равен …

6. Амплитуда гармонических колебаний равна , период равен 4 и начальная фаза равна . Тогда смещение колеблющейся точки от нулевого положения при равно …

ДЕ 8. Ряды.

ПРИМЕРЫ.

Сходимость числовых рядов.

1. Сумма числового ряда равна … (3/2)(сумма 2-х геометрических прогрессий со знаменателями 1/3 и 1/2).

2. Даны числовые ряды: А) , В) .
Тогда … ряд А) сходится, ряд В) расходится (общий член ряда В) не стремится к 0, а ряд А) сходится по признаку Лейбница)

3. Сумма числового ряда равна … (геометрическая прогрессия, знаменатель q= -2/7)

4. Даны числовые ряды: А) , В) .
Тогда … ряд А) сходится, ряд В) расходится (А) сходится по радикальному признаку Коши, В) расходится по 1-му признаку сравнения с гармоническим рядом).

5. Даны числовые ряды: А) , В) .
Тогда … ряд А) расходится, ряд В) сходится (общий член ряда А) не стремится к 0, а ряд В) сходится, например, по признаку Даламбера)

6. Даны числовые ряды:А) .В) ,
Тогда … ряд А) сходится, ряд В) расходится (ряд А) сх-ся по радикальному признаку Коши, В) расходится по необходимому признаку)

7. Числовой ряд сходится при , равном …(2)

8. Даны числовые ряды: А) ,В) .
Тогда … ряд А) сходится условно, ряд В) сходится абсолютно

9. Сумма числового ряда равна …

3.Ряд Тейлора (Маклорена).

1. Если , то первые три (отличные от нуля) члена разложения этой функции в ряд Маклорена имеют вид … ,

2. Ряд Маклорена для функции имеет вид …

3. Ряд Маклорена для функции имеет вид …

4. Если , то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …(9) (a ₃ – коэффициент перед (х-1)³ , a ₃ =f’’’(1)|/3!).

5. Если , то коэффициент разложения данной функции в ряд Тейлора по степеням равен …(0)

6. Разложение в ряд Тейлора функции в окрестности точки имеет вид …

7. Ряд Маклорена для функции имеет вид …

 

ПРИМЕРЫ

Типы уравнений.

1. Уравнение является …(однородным относительно и дифференциальным уравнением первого порядка)

2. Уравнение является … (уравнением в полных дифференциалах)

3. Уравнение является …(дифференциальным уравнением первого порядка в полных дифференциалах)

4. Уравнение является … (уравнением с разделяющимися переменными)

5. Уравнение является … (линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка)

6. Уравнение является …(уравнением Бернулли)

7. Уравнение является … (линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка)

8. Уравнение является … уравнением с разделяющимися переменными.

ПРИМЕРЫ

Определение вероятности.

1. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет годных, равна …(1/22),

2. Из урны, в которой лежат 3 белых и 7 черных шара, наудачу по одному извлекают два шара без возвращения. Тогда вероятность того, что только один из извлеченных шаров будет белым, равна …(7/15),

3. Внутрь круга радиуса 4 наудачу брошена точка. Тогда вероятность того, что точка окажется вне вписанного в круг квадрата, равна …

4. Из урны, в которой находятся 6 черных шаров и 4 белых шара, вынимают одновременно 3 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных два шара будут черными, равна …(1/2)

5. При наборе телефонного номера абонент забыл две последние цифры и набрал их наудачу, помня только, что эти цифры нечетные и разные. Тогда вероятность того, что номер набран правильно, равна …(1/20)

6. Из урны, в которой находятся 6 белых шаров и 4 черных шара, вынимают одновременно 4 шара. Тогда вероятность того, что среди отобранных 3 шара будут белыми, равна …(8/21)

7. В партии из 12 деталей имеется 5 бракованных. Наудачу отобраны три детали. Тогда вероятность того, что среди отобранных деталей нет бракованных, равна …(7/44)

8. Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков не меньше девяти, равна …(5/18)

9. В урну, в которой лежат 6 белых и 5 черных шаров добавляют два белых шара. После этого наудачу по одному извлекают три шара без возвращения. Тогда вероятность того, что все три шара будут белыми, равна …(28/143)

10. Игральная кость бросается два раза. Тогда вероятность того, что сумма выпавших очков – семь, а разность – три, равна …(1/18)

ПРИМЕРЫ

ПРИМЕРЫ

Операции над высказываниям.

1. Отрицание высказывания «» равносильно высказыванию …«»

2. Таблица истинности для формулы представляет собой … .

3. Для функции , заданной таблицей,

СДНФ имеет вид …

4. Высказывание «» означает, что …« – любое число»

5. Из трех логических выражений:



эквивалентными являются …( и )

6. На вопрос, кто из трех учащихся изучал логику, был получен правильный ответ: если изучал первый, то изучал и второй, но неверно, что если изучал третий, то изучал и второй. Тогда логику …(изучал третий учащийся)

7. Отрицанием высказывания «Если я сдам зачет, то пойду в кафе с друзьями или на вечеринку» является высказывание: «Я сдам зачет и не пойду ни в кафе с друзьями, ни на вечеринку»

8. Формулой, равносильной формуле , является …

 

Ориентированные графы.

1. Матрица смежности графа, изображенного на рисунке,

 

2. Матрица инцидентности орграфа, изображенного на рисунке,

имеет вид …

3. Матрице инцидентности соответствует граф …

 

4. Длина минимального пути из вершины в в ненагруженном орграфе, заданном матрицей смежности: (5)

5. Кратчайший путь из вершины в вершину для нагруженного орграфа, представленного на рисунке,(9)

6. Матрица смежности орграфа, изображенного на рисунке,
имеет вид …

 

7. Орграф задан матрицей смежности
Тогда матрица сильной связности этого орграфа имеет вид…

8. Матрица инцидентности мультиграфа G, изображенного на рисунке,

имеет вид …

9. Число сильной связности орграфа, представленного на рисунке,

равно …(6)

ДЕ 13. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

ПРИМЕРЫ.

ДЕ 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА.

ПРИМЕРЫ.

Вычисление определителей.

1. Определитель равен …(45=