Наброски и зарисовки растений, плодов, цветов: Освоить конструктивное построение структуры дерева через зарисовки отдельных деревьев, группы деревьев...
Кормораздатчик мобильный электрифицированный: схема и процесс работы устройства...
Топ:
Выпускная квалификационная работа: Основная часть ВКР, как правило, состоит из двух-трех глав, каждая из которых, в свою очередь...
Характеристика АТП и сварочно-жестяницкого участка: Транспорт в настоящее время является одной из важнейших отраслей народного...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Интересное:
Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является...
Отражение на счетах бухгалтерского учета процесса приобретения: Процесс заготовления представляет систему экономических событий, включающих приобретение организацией у поставщиков сырья...
Уполаживание и террасирование склонов: Если глубина оврага более 5 м необходимо устройство берм. Варианты использования оврагов для градостроительных целей...
Дисциплины:
2017-10-09 | 439 |
5.00
из
|
Заказать работу |
|
|
Рассмотрим n векторов и 1, 2, …, n и n чисел .
def. Выражение вида l1 1 + l2 2 + … + l n n называется линейной комбинацией
векторов 1, 2, …, n.
def. Векторы 1, 2, …, n называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что
l1 1 + l2 2 + … + l n n = .
Например, , тогда l1 1 = - l2 2 - … - l n n,
1 = - 2 - … - n Þ 1 есть линейная комбинация 1, 2, …, n.
Итак, если векторы линейно зависимы, то хотя бы один из них можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов.
Справедливо и обратное утверждение.
def. Векторы 1, 2, …, n называются линейно независимыми, если равенство
l1 1 + l2 2 + … + l n n = возможно тогда и только тогда, когда
Замечания.
1) Любые два коллинеарных вектора на плоскости линейно зависимы.
2) Любые два неколлинеарных вектора на плоскости линейно независимы.
Таким образом, для того, чтобы два вектора на плоскости были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были неколлинеарные.
Теорема. Если на плоскости заданы два неколлинеарных вектора и , то любой третий вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , т.е.
l1 + l2 . (1)
Доказательство.
По условию векторы и – неколлинеарные.
1) Предположим, что неколлинеарен векторам и . Построим параллелограмм, где является диагональю, а стороны лежат на векторах и .
2) Пусть коллинеарен или , например, коллинеарен Þ
Теорема доказана.
Следствие 1. Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы.
Следствие 2. Если число данных векторов на плоскости больше трех, то они линейно зависимы.
l1 + l2 Þ l1 + l2 + 0 × + … + 0 × Þ линейно зависимые.
Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов на плоскости равно двум.
|
Аналогично доказывается:
1. Для того чтобы три вектора в пространстве были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы они были некомпланарные.
2. Если , , - три некомпланарных вектора пространства, то любой четвертый вектор пространства может быть представлен в виде линейно комбинации векторов , , .
l1 + l2 + l3 . (2)
3. Всякие четыре и более векторов пространства линейно зависимы.
Вывод. Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве равно трем.
def. Базисом на плоскости называется два любых линейно независимых вектора
плоскости, т.е. пара неколлинеарных векторов.
Базисом в пространстве называется три любых линейно независимых вектора пространства, т.е. тройка некомпланарных векторов.
Рассмотрим разложение (1) на плоскости l1 + l2 , где и - неколлинеарные.
Коэффициенты и называются координатами вектора в базисе , .
Аналогично для разложения (2): l1 + l2 + l3 , где , , - некомпланарные векторы пространства.
Коэффициенты называются координатами вектора в базисе , ,
Замечания.
1. Если определитель, составленный из координат двух векторов плоскости, отличен от нуля, то эти векторы линейно независимы на плоскости, т.е. образуют базис на плоскости.
2. Если определитель, составленный из координат трех векторов пространства R3, отличен от нуля, то эти векторы линейно независимы в пространстве, т.е. образуют базис в R3.
Пример 4.1. Доказать, что векторы 1 = (2; 0; 0), 2 = (0; 1; 0), 3 = (0; 0; 0,5) образуют базис в R3. Найти координаты = (2; - 4; 15) в этом базисе, т.е. разложить вектор по базису 1, 2, 3. Ответ: = 1 - 4 2 + 3 3.
|
|
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого...
Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ - конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой...
Таксономические единицы (категории) растений: Каждая система классификации состоит из определённых соподчиненных друг другу...
Особенности сооружения опор в сложных условиях: Сооружение ВЛ в районах с суровыми климатическими и тяжелыми геологическими условиями...
© cyberpedia.su 2017-2024 - Не является автором материалов. Исключительное право сохранено за автором текста.
Если вы не хотите, чтобы данный материал был у нас на сайте, перейдите по ссылке: Нарушение авторских прав. Мы поможем в написании вашей работы!