Лекция №10. Динамическое описание систем

Функционирование сложной системы можно представить как совокупность двух функций времени: x(t) - внутреннее состояние системы; y(t) - выходной процесс системы. Обе функции зависят от u(t) - входного воздействия и от f(t) - возмущения.

Для каждого t Î T существует множество z ÎZ.

Z=Z₁ ´ Z₂... ´ Z_n - множество n мерного пространства. Состояние системы z(t) - точка или вектор пространства Z с обобщенными координатами z₁, z₂, z₃, z₄,....., z_n.

U=T ´ Z - фазовое пространство системы.

 

Детерминированная система без последствий

 

Детерминированная система без последствий - система состояние которой z(t) зависит только от z(t0) и не зависит от z(0)... z(t0), т.е. z(t) зависит от z(t0) и не зависит от того каким способом система попала в состояние z(t0).

Для систем без последствия еее состояние можно описать как:

z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, x_L]_t0^t},

где {(t, x_L]_t0^t} - множество всевозможных отрывков входных сообщений, соответствующих интервалу (t0, t]. H - оператор переходов системы.

tÎT, t0ÎT, z(t0) ÎZ, (t, x_L]_t0^tÎ {(t, x_L]_t0^t}.

Формальная запись отображения:

T ´ T ´ {(t, x_L]_t0^t} ® Z.

Начальные условия H{t0, t0, z(t0), (t, x_L]_t0^t0 } = z(t0).

 

Если (t, x_L1]_t0^t = (t, x_L2]_t0^t, то H{t0, t, z(t0), (t, x_L1]_t0^t } = H{t0, t, z(t0), (t, x_L2]_t0^t}

Если t0<t1<t2 и t0, t1, t2 Î T, то H{t0, t2, z(t0), (t, x_L]_t0^t2 } = H{t2, t1, z(t1), (t, x_L2]_t1^t2}, так как (t, x_L]_t0^t2 есть сочленение отрезков (t, x_L]_t0^t1 и (t, x_L]_t1^t2.

 

Оператор выходов системы G реализует отношение

{(t, t0)} ´ Z ´ (t, x_L)_T} ® Y,

y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, x_L2]_t0^t).

(x, y) Î X ´ Y - расширенное состояние системы.

 

Динамическая система без последствий (динамическая система Кламана) -упорядоченное множество (T, X, Z, Y, {(t, x_L)_T, H, G), удовлетворяющие поставленным выше требованиям:

1. T является подмножеством действительных чисел.

2. {(t, x_L)_T}- множество отображений T®X, удовлетворяющие сочленению отрезков.

3. Оператор переходов H реализует {(t, t0)} ´ Z ´ (t, x_L)_T} ® Y.

4. Оператор выходов системы G задается видом y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, x_L2]_t0^t).

 

Детерминированные системы без последствия с входными сигналами двух классов

 

Расширение понятие системы идет по трем путям:

1. учет специфики воздействий;

2. учет последствий;

3. учет случайных факторов.

 

Учет специфики воздействий

Вводится понятие управляющих сигналов u Î U; u=M(t), или если сигнал u Î U описывается набором характеристик. U = U₁ ´ U₂ ´ U_L.

Отличие от предыдущего случая, то что множество моментов времени t_u и t_x могут не совпадать.

Вводится расширенное множество X^*= X ´ U, таким образом состояние системы описывается вектором x = (x, u) = (x₁, x₂,...., x_n, u₁, u₂,...., u_L).

 

 

Рис.

С учетом этого предыдущие формулы приобретают вид.

оператор переходов:

z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, x_L, u_M]_t0^t}, или

z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, x_L]_t0^t, (t, u_M]_t0^t }, что соответствует отображению

T ´ T ´ {(t, x_L]_T}´ {(t, u_M]_T} ® Z.

 

Детерминированные системы с последствием

 

Большой класс систем характеризуется тем, что для представления их состояния необходимо знать состояние системы на некотором множестве моментов времени.

z(t)= H{t,(t_B0, z_w)_t0, (t, x_L]_t0^t, (t, u_M]_t0^t },

{(t, t0)} ´ {(t_B0, z_w)_t0} ´ Z ´ {(t, x_L]_T} ® Z.

Где {(t_B0, z_w)_t0} - семейство всевозможных состояний системы.

 

Стохастические системы

Системы функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими. Для их описания вводится случайный оператор:

w Î W - пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A).

Случайный оператор H₁, переводящий множество X в множество Z:

z = H₁(x, w), реализующий отображение множества W в множество {X®Z }

Оператор переходов будет представлен соответственно:

z(t)= H₁{t,t0,z(t0, w₀), (t, x_L]_t0^t, w`},

y(t) = G₁(t, z(t), w``).

Где w₀, w’, w’’ - выбираются из W в соответствии с P₀(A), P_x(A), P_y(A).

При фиксированных w’, w’’ - система со случайными начальными состояниями.

При фиксированных w₀, w’’ - система со случайными переходами.

При фиксированных w₀, w’ - система со случайными выходами.

Агрегатное описание систем

 

Агрегат - унифицированная схема, получаемая наложением дополнительных ограничений на множества состояний, сигналов и сообщений и на операторы перехода а так же выходов.

t Î T - моменты времени; x Î X - входные сигналы; u Î U - управляющие сигналы; y Î Y - выходные сигналы; z Î Z - состояния, x(t), u(t), y(t), z(t) - функции времени.

Агрегат - объект определенный множествами T, X, U, Y, Z и операторами H и G реализующими функции z(t) и y(t). Структура операторов H и G является определяющей для понятия агрегата.

Вводится пространство параметров агрегата b=(b1, b2,...,bn) Î B.

 

Оператор выходов G реализуется как совокупность операторов G` и G``. Оператор G` выбирает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор G`` - содержание сигналов.

у=G``{t, z(t),u(t),b}.

В общем случае оператор G`` является случайным оператором, т.е. t, z(t), u(t) и b ставится в соответствие множество y с функцией распределения G``. Оператор G` определяет момент выдачи следующего выходного сигнала.

 

Операторы переходов агрегата. Рассмотрим состояние агрегата z(t) и z(t+0).

Оператор V реализуется в моменты времени t_n, поступления в агрегат сигналов x_n(t). Оператор V1 описывает изменение состояний агрегата между моментами поступления сигналов.

z(t’_n + 0) = V{ t’_n, z(t’_n), x(t’_n), b}.

z(t) = V1(t, t_n, z(t+0),b}.

 

Особенность описания некоторых реальных систем приводит к так называемым агрегатам с обрывающимся процессом функционирования. Для этих агрегатов характерно наличие переменной соответствующий времени оставшемуся до прекращения функционирования агрегата.

 

Все процессы функционирования реальных сложных систем по существу носят случайный характер, по этому в моменты поступления входных сигналов происходит регенерация случайного процесса. То есть развитие процессов в таких системах после поступления входных сигналов не зависит от предыстории.

 

Автономный агрегат - агрегат который не может воспринимать входных и управляющих сигналов.

Неавтономный агрегат - общий случай.

 

Частные случаи агрегата:

Кусочно-марковский агрегат - агрегат процессы в котором являются обрывающими марковскими процессами. Любой агрегат можно свести к марковскому.

Кусочно-непрерывный агрегат - в промежутках между подачей сигналов функционирует как автономный агрегат.

Кусочно-линейный агрегат. dz_v(t)/dt = F^(v)(z_v).

 

Представление реальных систем в виде агрегатов неоднозначно, в следствие неоднозначности выбора фазовых переменных.

 

Иерархические системы

Иерархический принцип построения модели как одно из определений структурной сложности. Иерархический и составной характер построения системы.

Вертикальная соподчиняемость.

Право вмешательства. Обязательность действий вышестоящих подсистем.

Страты - уровни описания или абстрагирования. Система представляется комплексом моделей - технологические, информационные и т.п. со своими наборами переменных.

Слои - уровни сложности принимаемого решения:

1. срочное решение;

2. неопределенность или неоднозначность выбора.

Разбитие сложной проблемы на более простые: слой выбора способа действия, слой адаптации, слой самоорганизации.

 

Многоэшелонные системы. Состоит из четко выраженных подсистем, некоторые из них являются принимающими решения иерархия подсистем и принятия решений.

 

Декомпозиция на подсистемы - функционально-целевой принцип, декомпозиция по принципу сильных связей.