Математическая обработка результатов исследований

 

При выполнении дипломной работ студентами производится математическая обработка полученных результатов, поскольку это позволяет нагляднее проследить динамику отдельных изменений, получить средние величины, уточнить ожидаемые данные и обеспечивает современное представление по оформлению работ.

При исследовании продовольственных товаров в практике встречаются нижепредставленные задачи.

Задача 1. Построение доверительных интервалов для математического ожидания при малом объеме выборки (до 20).

Исследуемый продукт, поступающий в розничную торговую сеть, от одного поставщика в течение нескольких дней по одному или группе показателей. Необходимо уточнить соответствие качества этого продукта требованиям стандарта. Как ритмично поставщик обеспечивает качество вырабатываемого продукта?

Пример. При оценке качества пива "жигулевское" по кислотности на момент поступления в торговую сеть в течение нескольких дней были получены следующие результаты в см³ 1 н щелочи на 100 см³ пива: 1,8, 1,8, 1,9, 2,5, 2,2, 2,8, 2,6, 2,4.

Необходимо определить среднюю величину кислотности пива, исправленное стандартное отклонение средней величины от частных измерений и установить доверительные границы, в пределах которых с вероятностью р=0,95, находится среднее значение х и, таким образом, выявить соответствует ли по кислотности пиво требованиям ГОСТа. Составим вспомогательную таблицу 1.

 

Таблица 1 – Вспомогательная таблица при обработке результатов

 

№п/п	Результат отдельного определения		(х- )	(х- )2
	1,8 1,8 1,9 2,5 2,2 2,8 2,6 2,4	2,25	-0,45 -0,45 -0,35 +0,25 -0,05 +0,55 +0,35 +0,15	0,2025 0,2025 0,1225 0,0625 0,0025 0,3025 0,1225 0,0225
Сумма	18,0		0,00	1,0400

Продолжение Приложения Б

 

1. Вычислим среднее значение х n – частных значений х_i (среднее арифметическое):

 

.

(Б.1)

 

2. Определяем "исправленное" стандартное отклонение (среднеквадратичное отклонение):

 

= .

(Б.2)

 

3. Определяем возможные отклонение ε среднего значения х в зависимости от принятой доверительной вероятности рх (устанавливается самим исследователем, обычно 0,95 и выше) и числа наблюдений n. e определяет точность метода, рассчитывается по формуле:

 

.

(Б.3)

 

где t_p1 – коэффициент Стьюдента при заданной надежности и числе степеней свободы (n). В химическом анализе пищевых продуктов вполне достаточна надежность a=0,95, т.е. 95 %-ная вероятность нахождения результата анализа в доверительном интервале х + e. Коэффициент Стьюдента находят в таблице 2.

 

Таблица 2 – Доверительные значения критерия Стьюдента

 

n	Уровень Р	n	Уровень Р
0,95	0,99	0,999	0,95	0,99	0,999
	12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23	63,68 9,93 5,84 4,60 4,06 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17	636,62 31,60 12,92 8,61 6,87 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59	¥	2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 2,09 1,96	3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 2,86 2,58	4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 3,88 3,29

Продолжение Приложения Б

 

Из таблицы для n=8 и р_х=0,95, t_p1=2,37.

.

4. Устанавливаем доверительные границы х₁, и х₂, в пределах которых находится среднее значение Х.

 

=2,25-0,32=1,93. =2,25+0,32=2,57.

(Б.4)   (Б.5)

 

Таким образом, пиво "Жигулевское" при поступлении в торговую сеть имеет среднюю кислотность в пределах 1,93-2,57 см³ 1 н щелочи на 100 см³, что соответствует требованиям (1,8-2,8 см³) ГОСТа.

Задача 2. Нахождение корреляционных зависимостей между случайными величинами.

Иногда количество частных измерений какой-либо случайной величины невелико, например, равно 7-8. Имеется возможность установить графическую и математическую (в виде уравнения) зависимость этой случайной величины от како-то другой переменной величины, т.е. установить зависимость х и у, а также определить степень тесноты связи между ними с помощью коэффициента корреляции. Это необходимо в том случае, когда измеряется какой-то показатель (или группа показателей) при хранении продукта в течение определенного срока. Например, важно проследить динамику нарастания кислотности молока в процессе хранения при определенной температуре или изменение влажности колбасы при различных режимах и сроках хранения; или установить математическую зависимость между изменением содержания витамина С и сроком хранения яблок и т.д.

Пример 1. Необходимо установить математическую зависимость и графическую зависимость содержания летучих жирных кислот (ЛЖК) в говяжьем мясе 1 сорта 1 категории от времени хранения при температуре 0-4 ⁰С.

Содержание ЛЖК (см³) 0,05, 0,1, 0,15, 0,25, 0,35, 0,45 и срок хранения (час) 1,3,6,9,12,15.

Наносим на корреляционное поле системы координат точки по полученным экспериментальным данным, соединяем их и получаем графическую зависимость между у (содержание ЛЖК) и х (время хранения) – рисунок 1.

 

продолжение Приложения Б

 

 

Рисунок 1 – Содержание летучих жирных кислот в говяжьем мясе 1 сорта 1 категории при хранении (0-4 ⁰С)

 

Для установления математической зависимости между указанными переменными величинами необходимо выявить характер графика. Визуально определяем (по расположению точек), что связь между х и у может быть выражена уравнением вида у=ах+в.

Для нахождения коэффициента «а» и «в» необходимо составить систему 2-х уравнений и решить ее. Но предварительно строим расчетную таблицу 3.

 

Таблица 3 – Расчетная таблица

 

х	х2	у	у2	ху	=0,0294х-0,0035 Данные полученные по найденному уравнению
		0,05 0,1 0,15 0,25 0,35 0,45	0,0025 0,01 0,0225 0,0625 0,1225 0,2025	0,05 0,3 0,9 2,25 4,2 6,75	0,026 0,085 0,173 0,261 0,350 0,440
Сумма 46		1,35	0,4225	14,45

 

bn+a = ; b .   6в+46а=1,35; 46В+496а=14,45;

(Б.5)   (Б.6)

продолжение Приложения Б

 

а=(1,35/46)-(6/46)а; а=0,029-0,13в;

46в+496(0,029-0,13в)=14,45; 18,48в=-0,066;

в=-0,0035; а=0,029-0,13·(-0,0035)=0,0294.

 

Уравнение принимает вид =0,0294х-0,0035. По этому уравнению находим новые значения и заносим их в таблицу 3.

Затем строим (рисунок 1) новый выровненный график (используя новые значения ), который показывает усредненную динамику накопления ЛЖК в мясе в зависимости от срока хранения. Причем, это уравнение действительно при значениях 1≤х≤15.

Находим коэффициент корреляции, показывающий тесноту связи между указанными величинами. По таблице 4 определяем, что теснота связи весьма высокая.

 

(Б.7)

 

Таблица 4 – Зависимость между коэффициентом корреляции и теснотой связи

 

Величина коэффициента корреляции	Теснота связи
0,11-0,30 0,30-0,50 0,50-0,70 0,70-0,90 0,90-0,99	слабая умеренная заметная высокая весьма высокая

 

.

 

Пример 2. Построить калибровочный график по оптической плотности стандартных растворов нитрита для определения содержания нитрита в мясопродуктах.

Данные: содержание нитрита (мкг/см³) в стандартных растворах: 0,2, 0,4, 0,6, 0,8, 1,0, оптическая плотность (усл. ед.) стандартных растворов нитрита 0,15, 0,37, 0,50, 0,73, 0,86.

По экспериментальным данным строим предварительный график (рисунок 2). Поскольку график представляет зигзагообразную линию, то пользоваться им, как калибровочным, нельзя.

продолжение Приложения Б

 

Рисунок 2 – Содержание нитрита

 

Линию необходимо выровнять, для чего данные обрабатываем методами математической статистики. По характеру расположения точек в поле системы координат устанавливаем, что связь между х (содержание нитрита) и y (оптическая плотность) может быть выражена уравнением у=ах+в.

По табличным данным составляем систему 2-х уравнений и решаем ее методом подстановки (предыдущий пример).

 

5в+3а=2,61; а=0,92;

3в+2,2а=1,92 в=-0,03.

 

Таблица 5 – Вспомогательная таблица при обработке результатов

 

х	х2	у	у2	ху	=0,92х-0,03 Данные полученные по найденному уравнению
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0	0,04 0,16 0,36 0,64 1,00	0,15 0,37 0,50 0,73 0,86	0,0225 0,1369 0,2500 0,5329 0,7396	0,030 0,148 0,300 0,548 0,860	0,15 0,34 0,52 0,71 0,89
Сумма 3,0	2,2	2,61	1,68	1,92

 

Уравнение имеет вид =0,92х-0,03.

продолжение Приложения Б

 

По этому уравнению определяем новые значения , заносим в таблицу 5 и по ним строим калибровочный график 2, которым пользуемся в дальнейшей работе.

Определяем коэффициент корреляции:

 

 

По таблице устанавливаем, что теснота связи между Х и У весьма высокая.

 

Пример 3. Построить калибровочный график по оптической плотности стандартных редуцирующих сахаров для последующего использования с целью определения содержания редуцирующих сахаров и общего сахара в кондитерских изделиях.

Данные: содержание редуцирующих сахаров (мг) 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, оптическая плотность (усл. ед.) 0,755, 0,744, 0,705, 0,660, 0,621, 0,525, 0,412, 0,277.

По этим данным строим предварительный график в системе координат. Характер расположения точек в корреляционном поле таков, что просматривается криволинейная (параболическая) зависимость между х (содержание редуцирующих сахаров) и у (оптическая плотность). Но не все точки, нанесенные по нашим данным, располагаются на кривой линии (графике), поэтому этой линией пользоваться в качестве калибровочного графика нельзя. Экспериментальные данные необходимо подвергнуть математической обработке. Но обработка будет иная, чем в предыдущих случаях, поскольку параболическая зависимость описывается уравнением вида у=сх²+вх+а. Необходимо определить значение трех коэффициентов " а ", " в ", " с ". Составим расчетную таблицу 6.

 

 

Продолжение Приложения Б

 

Таблица 6 – Вспомогательная таблица при обработке результатов

 

х	у	х2	х	х4	ху	ху	=-0,008х2+0,198х-0,447
	0,781 0,755 0,744 0,705 0,660 0,621 0,525 0,412 0,277				9,372 9,815 10,416 10,575 10,560 10,557 9,450 7,828 5,540	112,464 127,824 145,824 158,625 168,960 179,469 170,100 148,732 110,800	0,781 0,792 0,785 0,754 0,703 0,653 0,541 0,429 0,297
	5,480				84,113	1322,569

 

По табличным данным составляем систему трех уравнений:

 

;

(Б.8)

 

5,48=9а+144в+2364с;

 

;

(Б.9)

 

84,113=144а+2364в+39744с;

 

;

(Б.10)

 

1322,569=2356а+39744в+68262с.

 

Решаем эту систему с помощью определений III порядка:

 

а1	в1	с1	=а1в2с3+а3в1с2+а2в3с1-а3в2с1-а1в3с2-а2в1с3
а2	в2	с2
а3	в3	с3

 

Для этого находим Δ, Δа, Δв, Δс:

 

 

окончание Приложения Б

 

 

 

После вычисления находим: с= -0.008, в= 0.198, а= -0.447.

Искомое уравнение принимает вид: =-0.008х²+0.198х-0.447.

По этому уравнению находим новые значения , заносим их в таблицу и строим график. Получаем калибровочную кривую, которой пользуемся в дальнейшей работе.

 

Рисунок 3 – Содержание нитрита